趙 拓，趙華新，徐 敏

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000）

半群理論是泛函分析領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，而指數(shù)公式又是其中的重要研究內(nèi)容，文獻(xiàn)[1]給出了C0半群的指數(shù)公式文獻(xiàn)[2]將其推廣到雙參數(shù)C0半群的指數(shù)公式T（s，t）x=本研究考慮 C 半群和雙參數(shù) C 半群的指數(shù)公式.

設(shè)X是Banach空間，所有算子都是有界線性算子，B（X）表示X上的有界線性算子全體構(gòu)成的Banach空間.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]設(shè)C∈B（X）為單射算子，如果強(qiáng)連續(xù)的有界線性算子族{T（t），t≥0}?B（X）滿足：

1）T（0）=C；

2）T（s+t）C=T（s）T（t），s，t≥0；

3）‖T（t）‖≤Meωt，t≥0，其中 ω 和 M為常數(shù).則稱算子族{T（t），t≥0}為一指數(shù)有界的C半群，簡稱 C 半群，記作{T（t）}t≥0∈G（M，ω）.

定義 2[4]設(shè) C 半群{T（t）}t≥0∈G（M，ω）.C 半群的無窮小生成元定義如下：

這里C-1表示算子C：X→R（C）的逆.

定義3[5]設(shè)C為B（X）上的一對(duì)一算子，若雙參數(shù)算子族{W（s，t）}s，t≥0∈B（X）滿足：

1）W（0，0）=C；

2）W（s1，t1）W（s2，t2）=CW（（s1，t1）+（s2，t2）），s1，t1，s2，t2≥0；

3）映射（s，t）→W（s，t）x 強(qiáng)連續(xù)，?s，t≥0 及?x∈X.

則稱{W（s，t）}s，t≥0為雙參數(shù)強(qiáng)連續(xù) C 半群，簡稱雙參數(shù)C半群.

定義 4[5]設(shè){W（s，t）}s，t≥0為雙參數(shù) C 半群.其無窮小生成元的線性變換φ：R+2→L（X）為其中 A1和 A2分別是單參數(shù) C 半群{W（s，0）}s≥0和{W（0，t）}t≥0的無窮小生成元.即

2 主要結(jié)果

定理 1 設(shè){T（t）}t≥0∈G（M，ω）是 X 上以 A 為無窮小生成元的單參數(shù)C半群，若C2=C，A（h）x=則對(duì)一切x∈X，有

證明 由條件知存在常數(shù)M≥‖C‖，ω∈R，使得‖T（t）‖≤Meωt.?h＞0 有 A（h）=為有界線性算子.故etA(h)是可定義的.因?yàn)?/p>

所以 A（h）與 T（t）是可交換的.因?yàn)?/p>

由于 0＜h≤1，故?x∈D（A），有

令h→0+，則有

定理證畢.

定理 2 設(shè){W（s，t）}s，t≥0是 X上的雙參數(shù) C 半群，若C2=C，且下式成立，

則對(duì)于一切x∈X，有

證明 設(shè){W（s，t）}s，t≥0的無窮小生成元為（A1，A2）.易知 A1和 A2分別為單參數(shù) C 半群{W（s，0）}s≥0和{W（0，t）}t≥0的無窮小生成元.

因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)h＞0，A1（h）和A2（h）都是有界的，所以 esA1（h）和 etA2（h）可定義.

因?yàn)閧W（0，t）}t≥0是單參數(shù) C 半群，存在常數(shù)M0≥‖C‖，ω0∈R，使得‖W（0，t）‖≤M0eω0t，故

對(duì)于0＜h≤1，有

于是有

由于A1（h）和A2（h）可交換，所以對(duì)于一切x∈X，有

由定理1可得

而‖etA2（h）‖與‖W（s，0）‖分別在 s，t的有限區(qū)間上一致有界，因此，令h→0+，可得

由A1（h）和A2（h）是有界可交換的，則對(duì)一切h＞0，有

所以

定理證畢.

[1]夏道行.線性算子半群及對(duì)偏微分方程的應(yīng)用[M].北京：世界圖書出版公司，2006.

[2]蔡亮，宋曉秋，禹曉紅.雙參數(shù)C0半群的指數(shù)公式與預(yù)解式[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，28（4）：44—45.

[3]陳文忠.C-無窮小生成元表達(dá)式[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1993，32（2）：135—140.

[4]CAO D X，SONG X Q，RONG R.The asymptotic behavior and strong or weak stability for C-semigroup[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)：數(shù)學(xué)半年刊，2005，5（1）：107—114.

[5]許強(qiáng).關(guān)于雙參數(shù)C半群的一些結(jié)果[J].河南科學(xué)，2012，30（11）：1564—1565.