馮必鳴, 聶萬勝, 鄭剛

(裝備學(xué)院 航天裝備系, 北京 101416)

基于hp自適應(yīng)偽譜法的可調(diào)推力最優(yōu)離軌研究

馮必鳴, 聶萬勝, 鄭剛

(裝備學(xué)院 航天裝備系, 北京 101416)

根據(jù)不同最優(yōu)化指標(biāo)要求,利用hp自適應(yīng)偽譜法,對比分析了固定推力和可調(diào)推力制動離軌時的參數(shù)變化情況。通過研究發(fā)現(xiàn),以燃料最省為優(yōu)化指標(biāo),采用可調(diào)推力制動時,飛行器過渡段飛行時間更長,燃料消耗相對較小;而在時間最短指標(biāo)要求下,可調(diào)推力制動雖消耗大量燃料,但能大大縮短過渡段飛行時間,有利于航天器在執(zhí)行緊急任務(wù)時的快速返回。

hp自適應(yīng)偽譜法; 固定推力; 制動離軌; 過渡軌道

0 引言

返回式航天器的發(fā)展經(jīng)歷了從簡單的膠卷艙到復(fù)雜航天飛機(jī)的漫長歷程。長期以來,眾多學(xué)者根據(jù)再入點參數(shù)約束開展了固定推力制動離軌最優(yōu)控制規(guī)律的研究,已取得豐碩的成果[1-2]。隨著航天事業(yè)的發(fā)展,空間活動越來越多樣化,對航天器離軌/變軌的要求越來越高,使得多種新型軌道機(jī)動方式脫穎而出,出現(xiàn)了例如小推力和可調(diào)推力作用下航天器空間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道[3-4]等問題。目前,大多數(shù)文獻(xiàn)在解決連續(xù)小推力軌道轉(zhuǎn)移[5]時,多采用局部配點法[6](h方法)和全局配點法[7](p方法)求解最優(yōu)控制問題。上述兩種方法單純采用增加時間分段或增加多項式階數(shù)的方式來調(diào)整計算精度,而hp自適應(yīng)法則是根據(jù)計算精度需要,同時調(diào)整時間段和多項式的階數(shù),進(jìn)而獲得更高的計算精度,尤其適合多階段、狀態(tài)量變化復(fù)雜的最優(yōu)控制問題求解[8]。

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),由于連續(xù)小推力制動時間過長,在要求航天器快速返回的情況下并不適用。本文受月球登陸器最優(yōu)控制問題[9]的啟發(fā),擬采用hp自適應(yīng)偽譜法,研究可調(diào)推力作用下航天器燃料最省和時間最短離軌情況,尋求既能夠滿足再入點要求,又能夠達(dá)到優(yōu)化指標(biāo)的離軌制動方式,以滿足新的航天任務(wù)需要。

1 考慮地球自轉(zhuǎn)的最優(yōu)制動離軌模型

1.1 飛行器過渡段相對運(yùn)動方程

根據(jù)地球自轉(zhuǎn)時飛行器相對于慣性坐標(biāo)系的關(guān)系,建立以相對參數(shù)表示的飛行器制動離軌運(yùn)動方程[10]:

dR/dt=Vsinγ

dθ/dt=Vcosγsinψ/(Rcosφ)

dφ/dt=Vcosγcosψ/R

dV/dt=Tcosαcosβ/M-grsinγ-gφcosγ×

cosψ+ω2Rcosφ(sinγcosφ-

cosγsinφcosψ)

dγ/dt= (1/V)[Tsinα/M+V2cosγ/R-

grcosγ+gφsinγcosψ+

2ωVcosφsinψ+ω2R×

cosφ(cosγcosφ+sinγsinφcosψ)]

dψ/dt= (1/V)[Tcosαsinβ/(Mcosγ)-

V2cosγsinψtanφ/R-gφsinψ/cosγ+

2ωV(cosφtanγcosψ-sinφ)-

ω2Rsinφcosφsinψ/cosγ]

dM/dt=-T/Ve

式中,狀態(tài)參數(shù)R,θ,φ,V,γ,ψ分別為地心距、經(jīng)度、緯度、相對速度、相對傾斜角(與當(dāng)?shù)厮骄€夾角,下偏為負(fù))和相對航向角(以正北方向開始度量,右偏為正);控制參數(shù)α,β,T分別為推力角、推力偏角以及推力大小;ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度。

1.2 最優(yōu)控制問題求解

1.2.1 一般優(yōu)化問題描述

本文應(yīng)用Radau偽譜法求解最優(yōu)控制問題,為不失一般性,考慮Bolza形式的最優(yōu)控制,具體形式見文獻(xiàn)[11]。

1.2.2 hp自適應(yīng)更新方法

將整個優(yōu)化過程劃分為K個時間段,每個時間段內(nèi)的配點數(shù)量為Nk,自適應(yīng)算法在每一時間段內(nèi)設(shè)定一個離散狀態(tài)方程和路徑約束的最大誤差值εd,如果每個時間段內(nèi)的計算精度大于εd,則對整個過程重新劃分。劃分方法有兩種:一是增加每個時間段內(nèi)Lagrange多項式的階數(shù);二是增加時間分段的數(shù)量[11]。

在前1～(K-1)個時間段內(nèi)采用Nk階多項式近似表示控制變量:

由于最后一個時間段K的最后一個點不屬于LGR配點,因此,在第K個時間段內(nèi)的控制變量采用Nk-1階多項式近似表示為:

式中,l=1,…,L。

(1)更新方式確定

事先設(shè)定一個曲率閾值rmax,如果rkrmax,則將需要劃分更多的時間段。

(2)每個時間段內(nèi)Lagrange多項式階數(shù)的確定

式中,X為任意常數(shù),控制每一段內(nèi)配點數(shù)的增長情況。

(3)每一時間段內(nèi)重新分段數(shù)目的確定

設(shè)第k個時間段內(nèi)重新劃分的段數(shù)為nk,則可用下式[12]表示:

式中,Y為任意常數(shù),控制段數(shù)的增長情況。

2 典型事例驗證

根據(jù)文獻(xiàn)[1]提供的標(biāo)準(zhǔn)航天飛機(jī)過渡段飛行參數(shù),驗證優(yōu)化方法的可行性。結(jié)果如圖1所示。

航天飛機(jī)制動時高度為280 km,質(zhì)量為88 000 kg,相對速度為7 363 m/s,傾斜角為0.011°,由兩臺推力為26 000 N的軌控發(fā)動機(jī)提供制動力,發(fā)動機(jī)燃?xì)獬隹谒俣葹? 000 m/s;制動結(jié)束時質(zhì)量為84 870 kg,高度為122 km,再入相對速度為7 453 m/s,再入傾斜角為-1.604°。本文根據(jù)燃料最省的要求計算得到航天飛機(jī)再入時的相對速度為7 452 m/s,再入傾斜角為-1.6°,燃料消耗為3 000 kg。計算結(jié)果說明該方法在研究最優(yōu)制動離軌問題時是可行的。

圖1 航天飛機(jī)燃料最省飛行參數(shù)變化情況Fig.1 Flight parameters of space shuttle in minimal fuel consumption

3 不同制動方式對比分析

不考慮發(fā)動機(jī)側(cè)向作用的情況下(即β=0°),以單臺推力為2 500 N,真空比沖為2 930 N·s/kg的軌控發(fā)動機(jī)為例,假設(shè)推進(jìn)艙總共4臺發(fā)動機(jī),分別針對5 000 N,10 000 N固定推力和5 000 N,10 000 N變推力研究總質(zhì)量3 000 kg的飛行器在燃料最省和飛行時間最短兩種條件下,不同推力制動離軌時主要參數(shù)的變化情況。

3.1 燃料最省方案

圖2所示為固定推力制動和可調(diào)推力制動兩種情況下,過渡段飛行速度、傾斜角的對比情況。從圖中不難看出,兩種制動方式都能夠使再入點指標(biāo)參數(shù)達(dá)到期望值,但是采用可調(diào)推力制動時,過渡段飛行軌跡更為平緩,飛行時間較固定推力制動時長250 s以上。

圖2 燃料最省條件下飛行參數(shù)對比Fig.2 Comparison of flight parameters in minimal fuel consumption

從圖2所示不同制動方式下速度和傾斜角的對比中發(fā)現(xiàn),在燃料最省條件下,兩種制動方式得到的速度都呈現(xiàn)出先減小再增大的變化規(guī)律,而且傾斜角的變化趨勢也基本一致。不同的是,可調(diào)推力制動時,初期傾斜角變化比較平緩,而在后半段出現(xiàn)明顯的折點,這是由于軌控發(fā)動機(jī)再次工作,使傾斜角在短時間內(nèi)發(fā)生較大改變。圖3為可調(diào)推力制動時飛行器總體質(zhì)量、推力角和推力變化情況。

圖3 燃料最省條件下控制量和質(zhì)量對比Fig.3 Comparison of control parameters and mass in minimal fuel consumption

從圖3(a)可知,軌控發(fā)動機(jī)進(jìn)行了兩次點火,兩次點火作用時,推力角均采用線性變換,雖然在兩次點火間計算得到的推力角變化復(fù)雜,但是由于兩次點火之間沒有推力作用,推力角可在較長時間內(nèi)采用線性規(guī)律轉(zhuǎn)換到需要的狀態(tài)。對比圖3(b)所示固定推力制動時的變化情況不難看出,采用可調(diào)推力制動時,燃料消耗相對較小,以最大推力10 000 N為例,采用可調(diào)推力制動時燃料消耗較固定推力制動要節(jié)省30～40 kg。

3.2 時間最短方案

圖4為可調(diào)推力制動和固定推力制動兩種條件下,過渡段飛行速度、傾斜角變化的對比情況。與燃料最省時的變化情況不同,最短時間要求下,可調(diào)推力制動時的速度先增大后減小,而燃料最省和傳統(tǒng)固定推力制動時的速度變化都是先減小后增大;而且可調(diào)推力制動時,初期傾斜角變化較快,過渡段飛行軌跡較陡。

圖4 時間最短條件下飛行參數(shù)對比Fig.4 Comparison of flight parameters in shortest time condition

通過與固定推力制動的情況相比較不難看出,可調(diào)推力制動時,過渡段飛行時間明顯小于固定推力制動時的情況。固定推力制動時過渡段飛行時間至少需要1 200 s,而可調(diào)推力制動時過渡段飛行時間為800 s,大大縮短了過渡段飛行時間。

圖5 時間最短條件下控制量和質(zhì)量對比Fig.5 Comparison of control parameters and mass in shortest time condition

圖5為兩種推力制動時控制參數(shù)的變換情況?？烧{(diào)推力制動時,首先以最大推力沿速度垂直方向改變傾斜角,使飛行器以較大傾斜角加速離軌,并在第二次點火作用時,以最大推力沿速度反方向制動,快速減小再入速度,以達(dá)到指定的再入?yún)?shù);固定推力制動時,大推力發(fā)動機(jī)的工作時間較短,而且兩次點火制動幾乎都采用最大推力的作用形式;而推力較小時,第一次點火作用后期有一段推力逐漸減小的過程,對于發(fā)動機(jī)的調(diào)節(jié)能力要求較高。雖然可調(diào)推力制動可以大大縮短飛行器過渡段飛行時間,但是燃料消耗量也隨之增加,全過程消耗燃料約625 kg,比固定推力制動多消耗近300 kg燃料。

4 結(jié)束語

通過本文研究發(fā)現(xiàn),利用hp自適應(yīng)偽譜法解決可調(diào)推力制動離軌的多階段最優(yōu)控制問題是可行的,并且采用可調(diào)推力發(fā)動機(jī)制動離軌時,在節(jié)省燃料方面并沒有太大優(yōu)勢,而且過渡段飛行時間較固定推力制動時更長;在減小過渡段飛行時間方面,可調(diào)推力制動的優(yōu)勢十分明顯,適用于航天器快速返回的情況,雖然快速離軌時燃料消耗較大,但能夠較大幅度地縮短過渡段飛行時間;無論是要求燃料最省還是飛行時間最短,采用可調(diào)推力制動離軌,發(fā)動機(jī)都進(jìn)行了多次點火,這樣能夠增強(qiáng)飛行器外層空間過渡段飛行的隱蔽性,增加軌跡的預(yù)測難度。

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Optimaldeorbitresearchofspacecraftwithvariablethrustbasedonhp-adaptivepseudospectralmethod

FENG Bi-ming, NIE Wan-sheng, ZHENG Gang

(Department of Space Equipment, Academy of Equipment, Beijing 101416, China)

Considering different optimal objects, the hp-adaptive pseudospectral method was used to analyze the comparison of flight parameters when the vehicle deorbit with the control of fixed thrust and variable thrust. The results showed that with the index of minimal fuel, using variable thrust would take more time during transition than using fixed thrust, and could economize little fuel; however, with the index of shortest time, variable thrust could shorten the flying time obviously during transition by consuming more fuel, and was propitious to the spacecraft rapid return with emergency missions.

hp-adaptive pseudospectral method; fixed thrust; deorbit; transition orbit

V448.2

A

1002-0853(2013)04-0354-05

2012-11-19;

2013-03-21; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間:2013-06-06 12:24

馮必鳴(1984-)，男，四川瀘州人，博士研究生，研究方向為飛行器軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)。

(編輯：方春玲)