關(guān)于靜電場中能量概念的討論

劉克杰

[摘要]本文利用靜電場理論分別對靜電能、自能、互能以及電勢能進(jìn)行了分析和討論，從本質(zhì)上描述出靜電能、自能、互能以及電勢能的區(qū)別和聯(lián)系，從而使得讀者對與靜電場能量相關(guān)的幾個(gè)基本概念有了更清晰的認(rèn)識。

[關(guān)鍵詞]靜電能 自能 互能 電勢能

一、帶電體系的靜電能與自能

靜電能即為電場的能量。移動一個(gè)帶電體系中的電荷，就要抵抗電荷之間的靜電力做一定的功δA從而帶電體系的靜電能將改變δW，二者的關(guān)系是：

δA=δW （1）

這里δA和δW，都是可正可負(fù)。例如把同號電荷移近時(shí)，δA>0，δW>0即靜電能增加；把異號電荷移近時(shí)，δA<0 ，δW<0即靜電能減少。

上面說的只是靜電能的變化，靜電能本身的數(shù)值是相對的。要談一個(gè)帶電體系所包含的全部靜電能有多少，必須說明相對于何種狀態(tài)而言。我們設(shè)想，帶電體系中的電荷可以無限分割為許多小部分，這些部分最初都分布在無限遠(yuǎn)的位置上，通常規(guī)定處在這樣的狀態(tài)靜電能為零。

設(shè)帶電體系由若干個(gè)帶電體組成，帶電體系的總靜電能W由各帶電體之間的相互作用能W互和每個(gè)帶電體的自能W自組成。即為

W=W自+W互 （2）

把每一個(gè)帶電體看作一個(gè)不可分割的整體，將各個(gè)帶電體從無限遠(yuǎn)移到現(xiàn)在的位置所做的功，等于他們之間的相互作用能；把每一個(gè)帶電體各部分電荷從無限分散的狀態(tài)聚集起來時(shí)所做的功，等于這個(gè)帶電體的自能。

二、點(diǎn)電荷的相互作用能

電荷之間存在著相互作用的電場力，當(dāng)電荷之間相互位置發(fā)生變化時(shí)，電場力要做功，而且，這種功與變化的路徑無關(guān)，這表明電荷之間有相互作用能（電勢能）。帶電系統(tǒng)所以具有電勢能，是因?yàn)槿魏挝矬w的帶電過程都是電荷之間相對遷移的過程，在遷移電荷的過程中，外界必須消耗能量以克服電場力做功。例如，用電池給電容器充電時(shí)就消耗電池中的化學(xué)能，根究能量守恒和轉(zhuǎn)化定律，外界所提供的能量轉(zhuǎn)化為帶電系統(tǒng)的靜電能。當(dāng)帶電系統(tǒng)的電荷減少時(shí)，或改變他們之間的相對位置時(shí)，靜電能就轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。例如，當(dāng)以充電的電容器放電時(shí)，它儲存的電能就會轉(zhuǎn)化為熱、光、聲等形式的能量。下面先討論點(diǎn)電荷組中點(diǎn)電荷間的相互作用能.

（一）兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用能

設(shè)帶電體系由兩個(gè)點(diǎn)電荷q1和q2組成，它們之間的距離是r12。在計(jì)算功w時(shí)，可以有不同的方式。例如可以首先把q1放置在它應(yīng)在的位置上固定下來，然后再把q2由無窮遠(yuǎn)處搬來，放到與q1相距r12遠(yuǎn)的地方，當(dāng)然也可以反過來進(jìn)行，結(jié)果是一樣的。

現(xiàn)在采用第一種方法，在搬用q1時(shí)體系中沒有其他電荷電場，因而不須做功。搬用q2時(shí)，它已經(jīng)處在q1的電場中，因而須抵抗電場力F12=q2E1做功：

（3）

其中 （4）

它是q1在p2點(diǎn)產(chǎn)生的電勢。

同樣也可以證明，以第二種方法搬用，須要做的功為

它是q2在p1點(diǎn)產(chǎn)生的電位。

可見兩種計(jì)算方式所得結(jié)果一致：

如上所述，這個(gè)A就等于q1，q2之間的相互作用能W互，把它寫成對于q1，q2對稱的形式，則有

（7）

（二）多個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用能

我們設(shè)想把n個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2......qn依次由無限遠(yuǎn)的地方搬用到它們應(yīng)在的位置上根據(jù)場強(qiáng)和電勢疊加原理不難看出，搬運(yùn)n個(gè)電荷的功用通式來表達(dá)

（8）

（9）

Uji代表第j個(gè)電荷在第i個(gè)電荷所在的位置上產(chǎn)生的電位。因此建立這帶電體系的總功為：

（10）

可以證明，建立多個(gè)點(diǎn)電荷組成的體系時(shí)，總功A與搬運(yùn)電荷的順序無關(guān)。為此只須證明A的表達(dá)式可以寫成對電荷標(biāo)號i、j完全對稱的形式

（11）

由于式中距離rij與rji顯然相等，所以式中qiUji可以寫成：

（qiUjt+qjUij） （12）

因而A可以改寫成

（13）

其中

三、 連續(xù)分部電荷系的靜電自能

一個(gè)帶電體所帶的電量Q，可以看成是在無限遠(yuǎn)處，處于分散狀態(tài)下的無限多 聚集起來形成的。聚集過程中克服靜電斥力作正功，所以“消耗”的能量轉(zhuǎn)化為靜電自能 ，式中的u是帶電體出dq外，其它電荷在電荷元dq處產(chǎn)生的電勢。若這個(gè)帶電體的體密度是ρ，那么靜電自能可以有如下的表示 。顯然把帶電體Q看作是由無限多的dq所組成，靜電自能也叫物體的固有能，其實(shí)也是物體相互作用能的一種體現(xiàn)。

四、 電荷在外電場中的電勢能

當(dāng)一個(gè)電荷放在外電場中，則這個(gè)電荷就有一定的電勢能。例如對一個(gè)電子加速器兩電極產(chǎn)生的電場對電子來說是外電場，則從陰極K到陽極A外電場對電子所做的功為AKA=-eUKA，這就是電子在外電場中的點(diǎn)位能差WKA，普遍的說，一個(gè)電荷q在外電場中P、Q兩點(diǎn)中的電位能差為WpQ=APQ=qUpQ。若取Q為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并令U（∞）=0，W（∞）=0，則電荷q在外電場中的P點(diǎn)的電勢能為W（p）=qU。

對于孤立的帶電體顯然也可以說為互能，但習(xí)慣上常把若干個(gè)不連續(xù)的點(diǎn)電荷組成的體系點(diǎn)電荷之間的相互作用能或若干個(gè)不連續(xù)的帶電體間的相互作用能稱為互能，而對于一個(gè)孤立帶電體常說它的自能，電勢能或靜電能。

通過上面的討論，我們對靜電場的能量所涉及到靜電自能、互能、電勢能等概念進(jìn)行了分析和討論，描述出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，使初學(xué)者對這些概念的本質(zhì)有更深刻更清晰的理解。

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（作者單位：包頭師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院）