李小飛，嚴(yán) 證

(1.長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，中國(guó) 荊州 434020；2.茨城大學(xué)理學(xué)部，日本 茨城 3108512)

設(shè)A是單位圓盤U={z:|z|<1,z∈C}內(nèi)的單葉解析函數(shù)族且有泰勒展開式

(1)

我們用K(γ)(0≤γ<1)表示γ階凸函數(shù)族：

定義A中函數(shù)族β-UCV(α):

和函數(shù)族β-K(α):

這里-1≤α≤1,β>0,z∈U.容易驗(yàn)證，f(z)∈β-K(α)當(dāng)且僅當(dāng)zf′(z)∈β-UCV(α).對(duì)此函數(shù)族及其特殊類型的函數(shù)族，文獻(xiàn)[1～5]進(jìn)行過研究并得到了一些十分重要的結(jié)論.Breaz等[6]特別研究了函數(shù)族β-UCV(α),β-K(α)的凸性.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)ρ>1,用N(ρ)[7]表示A中滿足下面不等式的f(z)組成的函數(shù)族：

N(ρ)的定義是有意義的，如f(z)=(1/(2ρ-1)){1-(1-z)2ρ-1}.用MD(α,β)表示A中滿足下面不等式的f(z)構(gòu)成的函數(shù)族：

用ND(α,β)表示A中滿足下面不等式的f(z)構(gòu)成的函數(shù)族：

這里α>1,β≤0,z∈U.容易驗(yàn)證,f(z)∈ND(α,β)當(dāng)且僅當(dāng)zf′(z)∈MD(α,β).函數(shù)族MD(α,β)和ND(α,β)由Nishiwaki等[8]引入.設(shè)g(z)∈A且

(2)

f(z),g(z)的卷積(或Hadamard乘積)定義為

對(duì)于fi(z)∈A,γi>0(i=1,2,…,n),Frasin[9]定義了積分算子函數(shù)In(z)如下

定義一類解析函數(shù)族MDg(α,β)

這里α>1,β≤0,z∈U.特別地，

文獻(xiàn)[11]對(duì)積分算子函數(shù)Gn(z)做過研究.

文獻(xiàn)[14]對(duì)積分算子函數(shù)Fn(z)做過研究.

文獻(xiàn)[14]對(duì)積分算子函數(shù)Fγ(z)做過研究.

2 主要結(jié)果

定理1若函數(shù)f(z)∈A由(1)定義，g(z)由(2)定義，且滿足下面不等式

(3)

則f(z)∈MDg(α,β),這里α>1,β≤0,z∈U.

證假設(shè)f(z)由(1)定義，g(z)由(2)定義且不等式(3)成立，即

為方便計(jì)算，令

所以f(z)∈MDg(α,β).

推論1若函數(shù)f(z)∈A由(1)定義，且滿足下面不等式

則f(z)∈MD(α,β).

證在定理1中令bj=jk即可.

推論2[8]若函數(shù)f(z)∈A由(1)定義，且滿足下面不等式

則f(z)∈MD(α,β).

證在定理1中令bj=1即可.

推論3[8]若函數(shù)f(z)∈A由(1)定義，且滿足下面不等式

則f(z)∈MD(α,β).

證f(z)∈ND(α,β)當(dāng)且僅當(dāng)zf′(z)∈MD(α,β),在推論2中用jaj替換aj即可.

證由In(z)的定義，得

經(jīng)變形，得

證在推論4中令α1=α2=…=αn=α,β1=β2=…=βn=β.

證在推論4中令n=1即可得證.

證在推論7中令α1=α2=…=αn=α,β1=β2=…=βn=β.

推論9若f(z)∈MD(α,β),α>1,β≤0,則Gn(z)∈N(ρ),這里ρ=1+(α-1)γ.

證在推論7中令n=1即可得證.

證在推論10中令α1=α2=…=αn=α,β1=β2=…=βn=β即可得證.

推論12若f(z)∈ND(α,β),α>1,β≤0,則Fn(z)∈N(ρ),這里ρ=1+(α-1)γ.

證在推論10中令n=1即可得證.

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