張步云，陳懷海，賀旭東，郭家驊

（1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016）

（2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所 上海，201108）

引 言

在實(shí)驗(yàn)室條件下用振動臺進(jìn)行振動測試試驗(yàn)是對產(chǎn)品在運(yùn)輸、使用環(huán)境中經(jīng)受振動環(huán)境的最佳人工模擬［1］。單軸振動試驗(yàn)技術(shù)在工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，局限性也很明顯。文獻(xiàn)［2－3］指出單軸振動試驗(yàn)無法完全復(fù)現(xiàn)外場故障，加大量級的補(bǔ)償措施易導(dǎo)致試件過試驗(yàn)或過設(shè)計(jì)，難以實(shí)現(xiàn)不同振動方向載荷的準(zhǔn)確迭加。賀旭東［4］指出在對大型試件進(jìn)行振動試驗(yàn)時，單軸振動臺無法提供足夠的推力，難以達(dá)到規(guī)定的試驗(yàn)量級，且單點(diǎn)激勵不利于實(shí)現(xiàn)振動分布的均勻性，使應(yīng)力和位移分布不夠合理。Freeman［5］指出通過單軸振動試驗(yàn)的設(shè)備無法承受多維的外場振動環(huán)境。事實(shí)上，從嚴(yán)格意義來說，產(chǎn)品在使用過程中的振動環(huán)境大都是多自由度的，單軸振動試驗(yàn)難以準(zhǔn)確描述產(chǎn)品的真實(shí)工況。

從20世紀(jì)60年代開始，研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到多軸振動系統(tǒng)領(lǐng)域，并取得一系列進(jìn)展。Whiteman等［6－7］研究了多維振動試驗(yàn)方法，指出多軸振動試驗(yàn)?zāi)苡行p少試驗(yàn)時間且提供更真實(shí)的應(yīng)力分布情況。美國的Wyle實(shí)驗(yàn)室、MTS公司和Team公司等都開始研究多軸振動環(huán)境試驗(yàn)技術(shù)，且應(yīng)用到實(shí)際產(chǎn)品的生產(chǎn)中。Wyle實(shí)驗(yàn)室為Hill空軍基地研制的三軸向六自由度電動振動系統(tǒng)是目前較先進(jìn)的電動式多軸振動系統(tǒng)［8］。關(guān)廣豐等［9－10］就六自由度液壓振動試驗(yàn)系統(tǒng)的控制策略進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究。嚴(yán)俠等［11］以三軸向六自由度液壓振動臺系統(tǒng)為典型被控對象，建立了三軸六自由度液壓振動臺隨機(jī)振動控制仿真系統(tǒng)。陳建秋等［12－13］對六自由度地震模擬振動臺的控制系統(tǒng)進(jìn)行了研究。這些研究多以多軸液壓振動系統(tǒng)為主。

在振動試驗(yàn)中關(guān)心的是多軸振動系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)芰?，尤其是六自由度電動振動系統(tǒng)。若已知振動系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)，求得臺面的最大運(yùn)動能力（即能達(dá)到的最大位移或最大加速度）是研究人員關(guān)心的問題。另一方面，給定一定的試驗(yàn)條件，振動臺能否達(dá)到這樣的指標(biāo)是試驗(yàn)?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵。筆者根據(jù)斯圖爾特平臺模型［14－16］的分析方法，以六自由度電動振動系統(tǒng)臺面的運(yùn)動極限問題進(jìn)行建模研究，建立各振動臺與臺面之間的位移關(guān)系，為多軸振動系統(tǒng)試驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 振動系統(tǒng)幾何模型

在實(shí)際振動環(huán)境中，大部分產(chǎn)品有6個自由度的運(yùn)動，其中：3個平動自由度分別為沿x軸、y軸和z軸的移動；3個轉(zhuǎn)動自由度為繞軸x旋轉(zhuǎn)的Rx、繞y軸旋轉(zhuǎn)的Ry和繞z軸旋轉(zhuǎn)的Rz。圖1為六自由度振動簡化模型。

圖1 六自由度振動模型圖

在具有8個獨(dú)立的單軸振動臺的六自由度振動系統(tǒng)中，每個自由度的響應(yīng)都是由8個振動臺共同激勵產(chǎn)生的［17］。圖2為美國Hill空軍基地SVIC中心的多臺多軸（MEMA）系統(tǒng)，由2個x向振動臺、2個y向振動臺、4個z向振動臺和一個振動臺面組成［8］。本研究以此系統(tǒng)為研究對象。

圖2 美國Hill空軍基地多臺多軸系統(tǒng)

根據(jù)斯圖爾特平臺系統(tǒng)的相關(guān)理論，在多軸電動振動系統(tǒng)中引入類似分析方法，建立如圖3所示的振動系統(tǒng)模型。該振動系統(tǒng)由振動臺面和8個獨(dú)立單軸振動臺組成，振動臺用序號＃1，＃2，…，＃8表示。＃1和＃2表示x向的振動臺，＃3和＃4表示y向的振動臺，＃5～＃8表示z向的4個振動臺。為了消除不同軸向運(yùn)動之間耦合關(guān)聯(lián)，該系統(tǒng)通過連接試驗(yàn)臺面和振動臺動圈的靜壓球形接頭來實(shí)現(xiàn)機(jī)械解耦。振動臺的下鉸點(diǎn)為具有4個自由度的球鉸聯(lián)接，固定在系統(tǒng)底座。振動臺的上鉸點(diǎn)與臺面相連，傳遞作用力。

圖3 八振動臺多軸系統(tǒng)幾何模型

為準(zhǔn)確計(jì)算振動臺的軸向伸縮與臺面運(yùn)動之間的關(guān)系，以＃1到＃4振動臺與臺面的連接點(diǎn)所在面的幾何中心為原點(diǎn)建立兩個空間直角坐標(biāo)系。其中：一個坐標(biāo)系O－xyz固連于大地，稱為靜坐標(biāo)系S；另一坐標(biāo)系O′－x′y′z′固連于臺面，稱為動坐標(biāo)系M。

8個振動臺的下鉸點(diǎn)在坐標(biāo)系S中的坐標(biāo)不變，上鉸點(diǎn)在動坐標(biāo)系M中的坐標(biāo)不變。臺面處于中位時兩坐標(biāo)系重合［9］。原點(diǎn)O到振動臺下鉸點(diǎn)Bi的向量為bi＝［bixbiybiz］T，i＝1，2，…，8，原點(diǎn)O′到上鉸點(diǎn)Aj的向量為aj＝［ajxajyajz］T，j＝1，2，…，8。

2 振動系統(tǒng)運(yùn)動分析

2.1 各振動臺試驗(yàn)?zāi)芰?/h3>

分析各振動臺試驗(yàn)?zāi)芰?，即在已知振動臺面運(yùn)動的情況下求得各振動臺軸向的伸縮位移。一般稱此類問題為振動系統(tǒng)反解問題。求得各振動臺的軸向伸縮位移，結(jié)合已知振動臺參數(shù)，便可判斷振動系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)芰?。如圖3所示，振動臺面的位姿x可以表示為

其中：t3×1為平動位移坐標(biāo)向量，即原點(diǎn)O到O′的向量表示為轉(zhuǎn)動坐標(biāo)向量分別為繞 x軸、y軸和z軸的轉(zhuǎn)角。

用此3個參數(shù)可以計(jì)算出靜坐標(biāo)系到動坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動傳遞矩陣R［15］為

臺面的運(yùn)動速度可以表示為

因?yàn)榕_面的運(yùn)動是8個振動臺共同激勵的結(jié)果，下面探求振動臺的軸向伸縮位移與臺面的位姿之間的關(guān)系。第i個振動臺上、下鉸點(diǎn)間向量可表示為li，有

其中：li為一個3×1維的向量，它表示振動臺的位置。

其中：｜li｜為臺面運(yùn)動時振動臺的長度。振動臺的軸向伸縮位移Δli為

其中：li0為無臺面運(yùn)動時第i個振動臺的軸向長度。

由式（5）可知，振動臺的軸向伸縮位移Δli可以表示成臺面6個自由度的函數(shù)。若知振動臺面的運(yùn)動，可由式（5）求出各振動臺應(yīng)該具備的試驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

2.2 振動臺面極限運(yùn)動

振動臺面運(yùn)動分析相對各振動臺軸向位移的求解難度較大，國內(nèi)外學(xué)者研究了分析振動臺面運(yùn)動的方法［18－20］。在實(shí)際工程中僅僅求得振動臺面的運(yùn)動是不夠的。振動系統(tǒng)的最大試驗(yàn)?zāi)芰υ谡駝迎h(huán)境試驗(yàn)中具有重要的實(shí)際意義，每一個軸向運(yùn)動或轉(zhuǎn)動能達(dá)到怎樣的極限位置是值得考慮的問題。

由式（3）和式（5）可以得到一組非線性方程組為

其中：i＝128

當(dāng)已知各振動臺的伸縮位移Δli時，式（6）可以寫成

該方程組有8個方程，6個未知數(shù)。對于每組給定的振動臺軸向位移 Δli（i＝1，2，…，8），運(yùn)用Newton－Raphson算法或QR分解法都可得到相應(yīng)的臺面運(yùn)動x。每個振動臺的軸向位移都在一定的范圍內(nèi)，即

當(dāng)振動臺軸向位移不同時臺面的運(yùn)動也不同。分析振動臺面的運(yùn)動極限即找出一組最優(yōu)的振動臺軸向位移，使得振動臺面某一自由度的平動位移或轉(zhuǎn)角達(dá)到最大值，該值即表示振動臺最大的試驗(yàn)?zāi)芰Α４藭r可以將振動臺的軸向位移視為自變量，振動臺面的運(yùn)動即為軸向位移的函數(shù)。式（7）可以寫為

其中：Δli（i＝1，2，…，8）為變量，其定義域?yàn)槭剑?）。

臺面的每個自由度運(yùn)動都可表示為Δli（i＝1，2，…，8）的函數(shù)，即

3 算 例

3.1 參數(shù)設(shè)定

當(dāng)臺面運(yùn)動時，第i個振動臺的軸向伸縮位移Δli是以臺面6個自由度為自變量的函數(shù)。若是單軸振動系統(tǒng)，振動臺的伸縮位移即為臺面的運(yùn)動位移。在多軸振動系統(tǒng)中，由于不同軸向的振動之間存在著機(jī)械耦合，每個振動臺的運(yùn)動不僅產(chǎn)生軸向位移，還對其他軸向的運(yùn)動產(chǎn)生牽連作用，所以當(dāng)單個振動臺的位移達(dá)到最大值時，試驗(yàn)臺面的位移并不一定達(dá)到最大值。表1為多軸振動系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)，計(jì)算其臺面的位移范圍，可以得到上、下各鉸點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，如表2和表3所示。

表1 多軸振動臺參數(shù)設(shè)定 mm

表2 各振動臺上鉸點(diǎn)的坐標(biāo)向量 mm

表3 各振動臺下鉸點(diǎn)的坐標(biāo)向量 mm

3.2 計(jì)算結(jié)果

向量aj和向量bi的值分別為Aj和Bi的坐標(biāo)值?？梢杂?jì)算出振動臺的伸縮位移為何值時臺面的位移達(dá)到最大，如表4所示?？梢钥闯?，當(dāng)某一軸向振動臺伸縮位移達(dá)到最大值時，該向的臺面運(yùn)動達(dá)到最大值；但臺面運(yùn)動的最大值并不僅由這一軸向的振動臺提供，其他各向振動臺都有位移貢獻(xiàn)。由表4得到該振動系統(tǒng)平動的運(yùn)動范圍為［－25mm，25mm］，繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動角范圍為［－20.805°，20.805°］，繞z軸 轉(zhuǎn) 動 角 范 圍 為 ［－18.168°，18.168°］，此為該振動系統(tǒng)的試驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

表4 各振動臺位移與臺面極限位移 mm

另一方面，若已知試驗(yàn)條件，可以求得振動臺應(yīng)具有的試驗(yàn)?zāi)芰Α＠?，要求臺面的x軸向位移達(dá)到20mm，同時繞x軸轉(zhuǎn)動角度達(dá)到18°，可以得到各振動臺的軸向位移應(yīng)滿足的條件如表5所示?？梢钥闯?，要達(dá)到設(shè)定的試驗(yàn)條件，需要振動臺的最大軸向位移為22.244 0mm，設(shè)計(jì)的振動臺完全能夠滿足此試驗(yàn)要求。

表5 x1＝20mm，x4＝18°時各振動臺的軸向位移mm

4 結(jié)束語

在六自由度振動試驗(yàn)系統(tǒng)中，不同自由度之間存在機(jī)械耦合，每個軸向的平動或繞軸的轉(zhuǎn)動都是由所有振動臺共同作用形成的。筆者在機(jī)械解耦的基礎(chǔ)上計(jì)算試驗(yàn)系統(tǒng)的最大試驗(yàn)?zāi)芰?，在?shí)際試驗(yàn)實(shí)施中有著重要的應(yīng)用。筆者僅對臺面的位移和振動臺位移之間的關(guān)系進(jìn)行了探討，速度與加速度之間的關(guān)系并未涉及。在多軸振動試驗(yàn)中，具有一定質(zhì)量的試件會對振動臺產(chǎn)生傾覆力矩，振動臺和臺面之間的運(yùn)動關(guān)系更為復(fù)雜，這些問題需要進(jìn)一步研究。

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