孫 蕾 左洪福

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

一般而言，航空公司的維修部門分為基地和航站兩級(jí)。基地設(shè)有中心倉(cāng)庫(kù)，用于內(nèi)廠維修及支援航站備件。而航站也會(huì)適量存儲(chǔ)備件，當(dāng)飛機(jī)發(fā)生故障時(shí)，可以通過(guò)快速更換備件，進(jìn)行離機(jī)(off－line)修理，以縮短飛機(jī)的停場(chǎng)時(shí)間，提高飛機(jī)的簽派可靠性，避免飛行延誤造成巨大損失。

在采購(gòu)初始備件時(shí)，飛機(jī)制造商計(jì)算推薦數(shù)量的模型，僅從基地單一航材的保障水平出發(fā)，而航空公司的實(shí)際應(yīng)用表明這種做法的效果非常不理想，備件大量剩余的同時(shí)又不能避免停飛待件的情況。其原因是，這種做法割裂了備件故障與飛機(jī)可用度的聯(lián)系，也沒有考慮多級(jí)庫(kù)存，缺乏整體的協(xié)調(diào)與優(yōu)化。備件庫(kù)存的目的是維護(hù)飛機(jī)的正常運(yùn)行，衡量備件庫(kù)存水平優(yōu)劣最好的度量方式是其所保障飛機(jī)的可用度，如何以最少的投入獲得最大的飛機(jī)可用度，才是航空公司在進(jìn)行采購(gòu)時(shí)最關(guān)注的問(wèn)題。

從20世紀(jì)60年代起，國(guó)外對(duì)多級(jí)庫(kù)存問(wèn)題進(jìn)行了大量研究。Sherbrooke［1］在1968年提出的METRIC理論成為后來(lái)學(xué)者們研究的基礎(chǔ)，該理論在建模過(guò)程中考慮了維修保障組織的多級(jí)結(jié)構(gòu)，但是低估了基地備件短缺量。1985年，Graves［2］提出了 VARI－METRIC 模型的近似算法，同時(shí)考慮供應(yīng)渠道備件數(shù)和方差，提高了METRIC模型近似法的精確度，同時(shí)還保留了后者適用于復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)越性。Hillestad［3］提出了Dyna－METRIC模型，考慮了使用需求隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)模型。文獻(xiàn)［4-5］研究了多級(jí)庫(kù)存中同級(jí)庫(kù)存間的橫向供應(yīng)問(wèn)題。Kennedy等［6］總結(jié)了備件庫(kù)存問(wèn)題的研究現(xiàn)狀?？傊嗉?jí)庫(kù)存理論已經(jīng)成為提高庫(kù)存費(fèi)效比的有效方法，在歐美海軍及空軍中得到廣泛應(yīng)用。隨著我國(guó)大飛機(jī)項(xiàng)目的啟動(dòng)，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)民機(jī)多級(jí)庫(kù)存的研究也越來(lái)越多。文獻(xiàn)［7-8］通過(guò)改變保障指標(biāo)或優(yōu)化方法，對(duì)多級(jí)庫(kù)存問(wèn)題進(jìn)行了積極的探討。文獻(xiàn)［9-10］研究了聯(lián)合庫(kù)存情況下的多級(jí)庫(kù)存問(wèn)題。文獻(xiàn)［11-12］對(duì)初始備件問(wèn)題進(jìn)行了研究，但僅從單級(jí)庫(kù)存角度進(jìn)行對(duì)比，沒有考慮多級(jí)庫(kù)存。

本文主要以需求率較低、費(fèi)用較高，并對(duì)飛行安全起關(guān)鍵作用的航線可更換件(line replaceable units，LRU)為研究對(duì)象，基于 Vari－METRIC 理論，在(s－1，s)庫(kù)存策略下，運(yùn)用邊際分析法對(duì)波音公司提供的初始備件的數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化，并對(duì)兩種方案的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 問(wèn)題描述

航空公司的兩級(jí)維修供應(yīng)系統(tǒng)由飛機(jī)、維修機(jī)構(gòu)、備件庫(kù)等要素組成，備件在系統(tǒng)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移流程如圖1所示。

圖1 兩級(jí)維修供應(yīng)流程

當(dāng)飛機(jī)在某航站發(fā)現(xiàn)LRU故障時(shí)，如果該件是NO GO件，影響飛行安全，則由機(jī)務(wù)進(jìn)行定位拆卸。如果航站有備件，則對(duì)LRU進(jìn)行更換，否則發(fā)生一次短缺，同時(shí)向基地申請(qǐng)LRU備件，此處不考慮航站間的橫向備件供應(yīng)。拆下的故障件在航站進(jìn)行修理，修好后送回航站對(duì)應(yīng)的備件庫(kù);航站無(wú)法修的故障件送基地修理，修完后送基地備件庫(kù)。LRU在上述過(guò)程中的狀態(tài)滿足經(jīng)典庫(kù)存平衡公式:

其中，s為初始庫(kù)存量，當(dāng)庫(kù)存對(duì)策為(s－1，s)時(shí)，是一常量;se為現(xiàn)有庫(kù)存量;nDI為供應(yīng)渠道件數(shù)，是在修理或運(yùn)輸中的備件數(shù);nBO為備件短缺數(shù)。式(1)等號(hào)右邊三個(gè)變量都是非負(fù)的。所有的s件備件始終處于上述三種狀態(tài)之一，當(dāng)nDI＜s時(shí)，se大于零，仍有庫(kù)存。當(dāng)nDI=s+x時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生數(shù)量為x的缺貨量，此時(shí)考慮nDI＞s時(shí)的備件需求分布函數(shù)的結(jié)果，可得到期望短缺量。

為提高模型工程易用性，作如下假設(shè):①飛機(jī)的機(jī)型架次均相同;②假設(shè)所有LRU的重要程度相同，不考慮設(shè)計(jì)的冗余性，一旦短缺便導(dǎo)致飛機(jī)停飛;③多重故障不同時(shí)發(fā)生;④航站不維修備件，基地修理能力無(wú)限;⑤不考慮串件修理，橫向供應(yīng)。

2 庫(kù)存建模

客戶化的RSPL制定，首先需要客戶提供飛機(jī)運(yùn)行的基本規(guī)則，如年飛行時(shí)間、機(jī)隊(duì)規(guī)模、修理周轉(zhuǎn)時(shí)間、保障率等。波音公司根據(jù)預(yù)測(cè)模型，分3步求解:①計(jì)算年平均需求量;②維修需求量;③計(jì)算推薦數(shù)量。

2.1 年平均需求量

波音公司的推薦模型中，年平均需求量的計(jì)算公式如下:

在METRIC模型中，假設(shè)各航站的年平均需求量相同，則有

式中，j為航站標(biāo)識(shí)，j=0，1，…，J，其中0 代表基地，J代表航站數(shù)量。

2.2 維修需求量

維修需求量即供應(yīng)渠道件數(shù)μ是修理周轉(zhuǎn)時(shí)間(repair turnaround time，RTAT)內(nèi)發(fā)生的備件平均需求量。在波音的推薦模型中，客戶通過(guò)選擇基本規(guī)則確定備件的RTAT，客戶可以為所有的零件、每個(gè)修理碼或每個(gè)供應(yīng)商代碼分別提供RTAT，對(duì)于不同的修理碼還需進(jìn)一步提供主維修時(shí)間、輔助維修時(shí)間、航站到主基地的返回時(shí)間。

為簡(jiǎn)單起見，本文假設(shè)所有備件的RTAT是相同的，由客戶規(guī)則給出。平均的修理周轉(zhuǎn)時(shí)間公式如下:

式中，TRT為航站到基地的往返時(shí)間;T為航材在基地的修理時(shí)間。

波音維修需求量采用均值等于mTRTAT的泊松分布模擬基地需求，不考慮航站。而METRIC模型將基地和航材需求分開計(jì)算，其中基地的期望值為

航站j的供應(yīng)渠道備件期望值由兩部分組成:①運(yùn)輸中的備件;②基地備件短缺而延遲供應(yīng)航站j的備件?；貙?duì)航站的備件申請(qǐng)按先來(lái)先到原則服務(wù)。所以航站的短缺量等于航站需求占總需求的比例與基地短缺量的乘積，即

式中，EBO(s0)為基地庫(kù)存量等于s0時(shí)，基地的備件短缺量;poisson(x，μ0)為泊松分布。

由于沒有具體的需求數(shù)據(jù)，所以無(wú)法求得方差，此處仍用泊松分布進(jìn)行模擬。

基地供應(yīng)渠道備件數(shù)的方差為

式中，BO為短缺量，等式右邊第1項(xiàng)是短缺函數(shù)的二階矩，等式右邊第2項(xiàng)是期望短缺函數(shù)的平方。

2.3 推薦量計(jì)算

波音公司計(jì)算推薦量時(shí)，假設(shè)備件需求滿足泊松分布，則當(dāng)備件為x件時(shí)，保障率為

波音公司的公式是針對(duì)單一備件分別進(jìn)行計(jì)算的，通過(guò)每次加1計(jì)算所能得到的保障率，與客戶的要求相比，直到滿足為止。如，客戶要求92% 的保障率，2件備件可達(dá)到90%，3件可達(dá)到96%，那么將推薦客戶購(gòu)買3件備件。

要應(yīng)用METRIC模型，首先需要推導(dǎo)機(jī)隊(duì)可用度與總的備件期望短缺量的關(guān)系。假設(shè)飛機(jī)所有備件發(fā)生故障的次數(shù)相互獨(dú)立，并且不存在串件維修，則機(jī)隊(duì)中未因任何備件短缺而停飛的飛機(jī)架數(shù)所占百分比的期望值為

式中，I為備件的品種數(shù);Qi為第i種備件的品種數(shù)。

對(duì)式(10)兩邊求對(duì)數(shù):

由此可見，最小化機(jī)隊(duì)可用度等同于最大化EBO，綜合所有航站所有備件，最優(yōu)化問(wèn)題可以歸結(jié)為以下整數(shù)規(guī)劃:

式中，i代表不同的備件。

式中，p(x)為需求的概率分布。

航站供應(yīng)渠道備件數(shù)的方差為

根據(jù)差均比的不同，參考表1分別選用二項(xiàng)分布、泊松分布和負(fù)二項(xiàng)分布中的一種來(lái)模擬需求的概率分布。

表1 差均比與概率分布的對(duì)應(yīng)表

3 優(yōu)化求解流程

目前用于多級(jí)庫(kù)存優(yōu)化的算法主要有遺傳算法和邊際分析，前者缺點(diǎn)是多維復(fù)雜，仿真速度慢，實(shí)際應(yīng)用困難;后者利用數(shù)學(xué)模型通過(guò)解析法求解，結(jié)果可得到可用度與庫(kù)存投資的轉(zhuǎn)換曲線，而不僅僅是提供一個(gè)單獨(dú)的優(yōu)化值。雖然其精確性不如前者，但對(duì)于飛機(jī)這類復(fù)雜系統(tǒng)的高效性，使其成功地被商業(yè)軟件OPUS等采用，并在歐美的海軍及空軍中得到廣泛應(yīng)用，因此本文也選用邊際分析法進(jìn)行優(yōu)化求解。邊際分析法是一種漸進(jìn)的優(yōu)化技術(shù)，用于分配短缺資源來(lái)獲得最大效益。它可以被認(rèn)為是通過(guò)對(duì)邊際單元的效益和費(fèi)用的權(quán)衡分析，以達(dá)到對(duì)有效資源的合理利用。邊際分析法的思想就是在算法中每次只增加1個(gè)航材，看增加哪個(gè)航材所帶來(lái)的費(fèi)效比(即航材期望短缺量的減少與航材費(fèi)用的比值［EBO(s－1)－EBO(s)］/c)最大，就將這個(gè)航材的數(shù)量增加1個(gè)。為證明邊際分析法得出的解是最優(yōu)解，需要證明 EBO(s)函數(shù)是凸函數(shù)。證明過(guò)程如下:

由于EBO(s)的一階導(dǎo)數(shù)小于等于零，二階導(dǎo)數(shù)大于等于零，根據(jù)凸函數(shù)定義可得EBO(s)是凸函數(shù)。

利用邊際分析法求解分為兩步:①針對(duì)單項(xiàng)的備件，在幾個(gè)航站和基地之間優(yōu)化配置庫(kù)存量;②將所有種類的備件綜合考慮，運(yùn)用邊際分析法優(yōu)化配置庫(kù)存量。具體的求解流程如圖2所示。

圖2 多級(jí)庫(kù)存模型求解優(yōu)化流程

4 實(shí)例分析

以某航空公司購(gòu)買的4架波音737－800推薦清單中的19項(xiàng)備件為例，航空公司的運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)如下:N=4，TFH=3248.5h，T=40d，TRT=5d，假設(shè)兩級(jí)維修保障組織的結(jié)構(gòu)為一個(gè)基地，四個(gè)航站;備件對(duì)應(yīng)參數(shù)如表2所示。

通過(guò)運(yùn)用METRIC多級(jí)模型計(jì)算，可得19項(xiàng)備件的最優(yōu)分配如表3所示(為節(jié)省篇幅，表3中未列出全部?jī)?nèi)容)。其中，N代表當(dāng)前總的備件數(shù)量，Pi代表最新選擇的備件，第3～7列代表當(dāng)前選擇的備件在各保障組織中的最優(yōu)分配，第8～26列便是各備件對(duì)應(yīng)的推薦數(shù)量。C代表當(dāng)前總的成本，EBO是當(dāng)前的總的短缺量。以第10行為例，當(dāng)總的備件數(shù)由9增加到10時(shí)，此時(shí)應(yīng)選擇第19項(xiàng)備件，系統(tǒng)短缺量由3.68減少到3.53，總投入為43 259.82。備件19在基地與四個(gè)航站的分配量為2，0，0，0，0。其他18 項(xiàng)備件此時(shí)的數(shù)量為 (1，0，0，0，1，1，0，0，0，0，0，0，1，1，1，0，0，2)。

表2 備件參數(shù)表

根據(jù)最優(yōu)分配表可以得到系統(tǒng)總的短缺量與成本間的最優(yōu)曲線，如圖3所示。

波音公司的19項(xiàng)備件對(duì)應(yīng)的推薦數(shù)量為(1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，2，2，2，3，3)，總資金是$1 328 080.18，而短缺量為0.611，如圖2中的波音策略。將其與最優(yōu)策略對(duì)比如下:

(1)相同短缺量對(duì)比。最優(yōu)策略短缺量為0.533 時(shí)，所 需 資 金 為$917 462.32，節(jié) 約了 30.84%。

(2)相同資金對(duì)比。多級(jí)庫(kù)存最優(yōu)分配得出$1 269 647時(shí)，對(duì)應(yīng)的19項(xiàng)備件推薦量為(6，2，1，2，6，6，2，1，1，2，2，6，6，6，7，1，1，8，7)，短缺量為 0.312，如圖 2中的策略 1;剩余資金$58 433.26，不夠支付最優(yōu)曲線上的下一項(xiàng)備件16，但可以繼續(xù)追加購(gòu)買多項(xiàng)其他價(jià)低的備件，最終結(jié)果為(6，2，1，2，6，7，2，1，1，6，2，6，6，6，7，1，1，10，8)，此 時(shí) 的 短 缺 量 為 0.299，剩余$1424.3，如圖2中的策略2。

表3 備件的最優(yōu)分配表

圖3 短缺量與成本優(yōu)化曲線圖

5 結(jié)語(yǔ)

由結(jié)果可知，多級(jí)模型在節(jié)約資金30.84%的前提下，仍能得到更優(yōu)的短缺量;在資金相同時(shí)，通過(guò)多級(jí)模型優(yōu)化后可得81項(xiàng)備件，遠(yuǎn)超過(guò)波音僅依據(jù)各種備件保障率計(jì)算得出的26項(xiàng)備件，充分體現(xiàn)了費(fèi)效比最大的原則。價(jià)格低的備件多儲(chǔ)備，如第5、6、18、19項(xiàng)備件;對(duì)于價(jià)格高、故障率相對(duì)低的備件盡量少儲(chǔ)備，如16、17項(xiàng)備件。另外，通過(guò)最優(yōu)分配表，可以直接得出各項(xiàng)備件在基地與航站的分配數(shù)量，既能指導(dǎo)航空公司在有限的采購(gòu)資金的約束下進(jìn)行新購(gòu)機(jī)型的初始航材采購(gòu)，達(dá)到最大的資金利用率，又可指導(dǎo)備件在各級(jí)保障站點(diǎn)的最優(yōu)分配，體現(xiàn)了備件多級(jí)庫(kù)存策略的有效性。此方案的有效性還有賴于進(jìn)一步實(shí)踐驗(yàn)證，或可采用仿真的方法對(duì)初始保障方案進(jìn)行驗(yàn)證并優(yōu)化。

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