，

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引 言

直流系統(tǒng)由于不存在功角穩(wěn)定問題，并且具有快速調(diào)節(jié)特性[1]，近來以高壓和特高壓直流輸電為代表的交直流輸電系統(tǒng)在中國(guó)電網(wǎng)中應(yīng)用越來越多。相比交流系統(tǒng)，直流系統(tǒng)具有更多的參數(shù)和變量，并且其中應(yīng)用大量的電力電子器件，使得交直流系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性特性[2],在運(yùn)行中換流器會(huì)消耗大量無功功率，逆變器吸收的無功功率約占直流輸送功率的40%～60%，這對(duì)交流系統(tǒng)的容量提出非常高的要求[3]，使得系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，需要深入研究影響系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的因素。

分岔理論是起源于力學(xué)失穩(wěn)現(xiàn)象的一種理論[4]，1961年Andronov和Neimark第一次把分岔理論應(yīng)用到電力系統(tǒng)的研究中，Harry G. Kwanty等人首次在對(duì)電壓穩(wěn)定性的研究中應(yīng)用分岔理論。目前的分岔分析方法中大多以靜態(tài)分析方法[6-7]為主。分岔理論能夠更加精確地分析臨界點(diǎn)附近系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況[9]。目前，利用分岔理論對(duì)交直流互聯(lián)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的研究還不是很深入，與交流系統(tǒng)相比，直流系統(tǒng)具有更多的動(dòng)態(tài)元件和非線性環(huán)節(jié)[10]，為揭示電壓失穩(wěn)的機(jī)理，需要采用微分代數(shù)模型，進(jìn)入深入研究。

選取更接近實(shí)際的交直流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性進(jìn)行研究，使得出結(jié)論更具有可信度，通過連續(xù)潮流方法[11]得到系統(tǒng)PV曲線并求取系統(tǒng)霍普夫和鞍結(jié)分岔點(diǎn)，通過研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)電壓穩(wěn)定的影響作用，最后，通過時(shí)域仿真[11]的方法，觀察整流側(cè)和逆變側(cè)電壓在Hopf分岔點(diǎn)電壓隨時(shí)間的變化情況，得出影響交直流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的一些結(jié)論。

1 電力系統(tǒng)的系統(tǒng)模型

一般電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析中，電力系統(tǒng)的模型可以表示為一組微分-代數(shù)方程組[5]。

(1)

(2)

對(duì)上式進(jìn)行變換得到系統(tǒng)的雅可比矩陣J=A-BD-1C，A=Dxf(x0，y0)，B=Dyf(x0，y0)，C=Dxg(x0，y0)，D=Dyg(x0，y0)，由分岔理論可知系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由這個(gè)矩陣的特征值決定。

1.1 同步發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

同步發(fā)電機(jī)的運(yùn)行特性在電力系統(tǒng)中起著舉足輕重的作用,在對(duì)電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性問題進(jìn)行分析和研究的整個(gè)過程中，發(fā)電機(jī)是必須要考慮的因素之一。作為一種復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)設(shè)備，在發(fā)電機(jī)的建模中一般都應(yīng)用隨電機(jī)同步旋轉(zhuǎn)的d-q坐標(biāo)系，于是要首先對(duì)基于同步坐標(biāo)x-y分量進(jìn)行機(jī)網(wǎng)變換。針對(duì)不同的具體問題，發(fā)電機(jī)根據(jù)轉(zhuǎn)子繞組數(shù)的不同采用不同的模型。這里采用IEEE雙軸4階模型，主要考慮轉(zhuǎn)子繞組的暫態(tài)過程而忽略次暫態(tài)過程和定子繞組暫態(tài)過程，同時(shí)考慮g繞組、f繞組暫態(tài)和轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)。發(fā)電機(jī)實(shí)用4階模型[10]如下。

(3)

式中，i取值由1至發(fā)電機(jī)總數(shù)；j為與節(jié)點(diǎn)i相連的節(jié)點(diǎn)號(hào)；δ1為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)功角；θij為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的電壓相角差；gij和bij為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的電導(dǎo)和電納。

1.2 勵(lì)磁系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

勵(lì)磁系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定有著重要的影響，通過勵(lì)磁電流的調(diào)節(jié)從而調(diào)節(jié)無功輸出，達(dá)到穩(wěn)定發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓的目的，這里采用勵(lì)磁器——IEEE DCⅠ型勵(lì)磁器，數(shù)學(xué)模型采用文獻(xiàn)[12]提出的一階模型。

(4)

式中，TA和KA分別為勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的時(shí)間常數(shù)和放大倍數(shù)；uref為勵(lì)磁參考電壓。

1.3 直流系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

直流系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般分為穩(wěn)態(tài)模型、準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型和暫態(tài)模型[13]，這里研究小擾動(dòng)情況下交直流系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性，考慮到直流換流器控制方式的動(dòng)態(tài)行為，直流系統(tǒng)采用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型。

由于直流線路的兩端一般都與交流系統(tǒng)相連接，一端通過整流器把交流變?yōu)橹绷鳎硗庖欢送ㄟ^逆變器把直流變?yōu)榻涣?，如圖1所示。

圖1 直流系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

整流器和逆變器原理基本相同，所以統(tǒng)稱為換流器，其數(shù)學(xué)模型如下[2,14]。

(5)

式中，kT和θd分別為換流變壓器變比和換流器的控制角，最后兩個(gè)公式說明換流器的控制方式，這里主要研究的是整流器定電流逆變器定熄弧角這種控制方式；K1和Kp分別為積分放大倍數(shù)和比例放大倍數(shù)。

考慮到直流線路和控制器的動(dòng)態(tài)過程，直流線路采用L-R等值電路，忽略對(duì)地充電電容，微分方程[15]為

(6)

式中，Udrec和Udinv分別代表整流側(cè)和逆變側(cè)直流電壓；Rd為直流線路電阻。

1.4 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型

發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的潮流方程[16]為

(7)

非發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)潮流方程為

(8)

式中，l為非發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)號(hào)；k為與l相關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)號(hào)；Pl和Ql為節(jié)點(diǎn)l的負(fù)荷給定的有功和無功功率。

直流節(jié)點(diǎn)的潮流方程為

(9)

式中，r為直流節(jié)點(diǎn)；s為與直流節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的交流節(jié)點(diǎn)；第一個(gè)方程中正號(hào)表示整流器端，負(fù)號(hào)表示逆變器端。

2 分析理論

2.1 分析理論

在電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析中根據(jù)所考慮的動(dòng)態(tài)特性變化范圍的不同，分岔可以分為局部分岔和全局分岔[20]。局部分岔是單獨(dú)研究平衡點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)向量場(chǎng)的分岔，常見的有：鞍結(jié)分岔、奇異誘導(dǎo)分岔、霍普夫分岔、極限誘導(dǎo)分岔。這里主要針對(duì)交直流系統(tǒng)在霍普夫分岔和鞍結(jié)分岔時(shí)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定特性進(jìn)行研究。

(1)霍普夫(Hopf)分岔[17]

通過選擇可控的系統(tǒng)參數(shù)在不斷變化的過程中，系統(tǒng)雅可比矩陣的一對(duì)共軛特征值從左向右或是從右向左穿越虛軸，系統(tǒng)發(fā)生霍普夫分岔。其中又分為超臨界和亞臨界霍普夫分岔。

(2)鞍結(jié)分岔(SNB)[17]

系統(tǒng)初始運(yùn)行時(shí)一般至少有2個(gè)平衡點(diǎn)，隨著控制參數(shù)的不斷變化，相應(yīng)平衡點(diǎn)也會(huì)沿著系統(tǒng)PV曲線相互靠近，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)到達(dá)一定臨界值時(shí)，兩個(gè)平衡點(diǎn)會(huì)合并為一個(gè)，此時(shí)發(fā)生SNB分岔，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)特征方程有一個(gè)零特征值。

2.2 連續(xù)潮流法(延拓法)

連續(xù)潮流法是對(duì)電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析的有力工具，在對(duì)交直流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析研究中應(yīng)用連續(xù)潮流方法[11]追蹤系統(tǒng)的平衡解流形并求取分岔點(diǎn)，這種方法可以避免在臨界點(diǎn)常規(guī)潮流方程難以收斂的問題。連續(xù)潮流法包含4個(gè)步驟：預(yù)估、校正、步長(zhǎng)控制和參數(shù)化[9]。此方法的基本思想就是從初始運(yùn)行點(diǎn)開始，隨著控制參數(shù)的不斷變化，通過對(duì)下一運(yùn)行點(diǎn)進(jìn)行預(yù)估、校正，直至繪制出完整的系統(tǒng)PV曲線。

在分析中，一般將系統(tǒng)變量x、y統(tǒng)一用z表示。x、y的維數(shù)分別為p、q，n=p+q，系統(tǒng)的平衡解流形Φ可以表示為

Φ={zRn+1/F(z)=0}

(11)

① 預(yù)估[5]

初始的3個(gè)點(diǎn)用切向量法進(jìn)行追蹤，啟動(dòng)算法，其切向量通過下式求解為

(12)

從第4個(gè)點(diǎn)開始，采用切線加割線的方法[9]進(jìn)行追蹤，切向量采用下面方法進(jìn)行求解[5]。

JP=

其中，p=1,2,…,n+1。

V=[J1，J2…Jn+1]T，τ=V/‖V‖,即為平衡解流形Φ的單位切向量。

② 校正及參數(shù)化[5]

對(duì)初值進(jìn)行校正采用的是垂直法校正，然后對(duì)預(yù)估值進(jìn)行修正得到準(zhǔn)確值，修正表達(dá)式為

(13)

通過牛頓迭代法求解上述方程組，直到得到準(zhǔn)確解。

③步長(zhǎng)控制

在算法的實(shí)現(xiàn)過程中，步長(zhǎng)選擇是一個(gè)重要因素：如果步長(zhǎng)太大，會(huì)導(dǎo)致曲線不精確；步長(zhǎng)太小，雖然計(jì)算結(jié)果精確，但是計(jì)算量過大。實(shí)時(shí)根據(jù)曲線形狀調(diào)整步長(zhǎng)大小成為不錯(cuò)的選擇，這里采用如下步長(zhǎng)控制方法[19]為

h=h0/‖τ‖

(14)

式中，‖τ‖為切向量的2-范數(shù)或∞-范數(shù)；h0為初始設(shè)定的一個(gè)標(biāo)量。

2.3 單參數(shù)分岔點(diǎn)的求解方法

單參數(shù)分岔點(diǎn)的求解方法主要有延拓法和直接法。延拓法[19]利用連續(xù)潮流法追蹤系統(tǒng)的平衡解流形得到PV曲線，過程中利用雅可比矩陣特征值的變化情況檢查是否滿足各種分岔發(fā)生的條件、判斷PV曲線上是否存在相應(yīng)的分岔點(diǎn)。直接法就是用牛頓拉夫遜法直接求解各種分岔點(diǎn)所滿足的分岔?xiàng)l件和平衡解條件的非線性代數(shù)方程組[11]。

直接法求霍普夫分岔點(diǎn)的迭代方程組為

(15)

式中，v為未知變量；v0為已知列向量；J=A-BD-1C，(x,y,v,ω)為上述方程的未知數(shù)。

直接法求鞍結(jié)分岔點(diǎn)的迭代方程

(16)

2.4 時(shí)域仿真法

電力系統(tǒng)電壓失穩(wěn)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展過程，時(shí)域仿真法就是考慮系統(tǒng)的非線性和元件的動(dòng)態(tài)特性的影響，利用數(shù)值積分的方法得到電壓等狀態(tài)量隨時(shí)間變化的曲線。這里采用聯(lián)立求解法[14]，利用隱式梯形法對(duì)微分方程進(jìn)行求解，基本思想為：用隱式梯形法將微分方程轉(zhuǎn)化為差分型代數(shù)方程，然后與代數(shù)方程組聯(lián)立，最后用牛頓拉夫遜法解此非線性方程組。

隱式梯形法的計(jì)算方法為

(17)

3 電壓穩(wěn)定性研究

研究選取交直流系統(tǒng)是在WSCC9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上稍加改造，將節(jié)點(diǎn)7和8之間的交流線路換成直流線路,如圖2。與發(fā)電機(jī)1相連節(jié)點(diǎn)定為參考節(jié)點(diǎn)，參數(shù)見文獻(xiàn)[12]直流線路，電抗為0.025 p.u.，額定功率為67.2 MW,額定電壓為56 kV,額定電流為1.2 kA,初始觸發(fā)角和熄弧角分別為18°和20°，系統(tǒng)基準(zhǔn)額定功率為100 MW，直流電流和電壓都去額定值下的參考值。

對(duì)交直流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的研究是在基于Matlab仿真基礎(chǔ)上進(jìn)行的，通過M文件編程實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)模型建立，并應(yīng)用前文所提到的算法求取系統(tǒng)的PV曲線，系統(tǒng)參數(shù)都用標(biāo)幺值表示,對(duì)于不同參數(shù)表現(xiàn)出的不同系統(tǒng)特性進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，從而發(fā)現(xiàn)問題。選擇與1節(jié)點(diǎn)相連的發(fā)電機(jī)1的有功功率P作為系統(tǒng)的控制參數(shù)。

圖2 WSCC9節(jié)點(diǎn)交直流系統(tǒng)

3.1 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)電壓穩(wěn)定性的影響

圖3 Idref取不同值時(shí)系統(tǒng)P-U7曲線

圖3中，◇代表Hopf分岔，○代表SNB分岔，通過大量的仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在發(fā)生SNB分岔之前一般會(huì)先發(fā)生Hopf分岔[5]，通過對(duì)分岔點(diǎn)的時(shí)域仿真曲線可以看出，系統(tǒng)在Hopf分岔點(diǎn)處會(huì)發(fā)生振蕩失穩(wěn)，所以Hopf分岔點(diǎn)處的功率即為系統(tǒng)的傳輸功率極限[15]。圖3中Idref為系統(tǒng)直流電流的參考值，可以看出隨Idref的增大Hopf分岔點(diǎn)依次發(fā)生延遲，傳輸功率逐漸增大，但是，系統(tǒng)的電壓水平降低，這是由于Idref較小時(shí)，直流系統(tǒng)對(duì)交流系統(tǒng)的無功需求比較小，而且能夠降低換相失敗的可能性[2]。

從圖4可以看出，當(dāng)Vref為0.89時(shí)，此時(shí)即使系統(tǒng)負(fù)荷比較輕的情況下，系統(tǒng)還是會(huì)比較早的就發(fā)生Hopf分岔，說明此時(shí)系統(tǒng)非常不穩(wěn)定；當(dāng)Vref為1.5時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)在發(fā)生SNB分岔之前不再發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象，可以看出隨著Vref的不斷增大，系統(tǒng)分岔點(diǎn)不斷右移，說明選取比較高的Vref不僅可以提高系統(tǒng)的傳輸功率極限，而且還可以消除Hopf分岔點(diǎn)，從而避免系統(tǒng)發(fā)生振蕩失穩(wěn)[21]。

3.2 直流輸電線路對(duì)電壓穩(wěn)定性的影響研究

針對(duì)所選WSCC9交直流系統(tǒng)，換流器控制方式選擇定電流定熄弧角(CC/CEA)，在感應(yīng)電動(dòng)機(jī)負(fù)荷下，應(yīng)用時(shí)域仿真法觀察整流側(cè)和逆變側(cè)電壓在Hopf分岔點(diǎn)處受到擾動(dòng)后，電壓隨時(shí)間的變化情況。

圖5 節(jié)點(diǎn)7直流電壓的時(shí)域仿真曲線

圖6 節(jié)點(diǎn)8直流電壓的時(shí)域仿真曲線

對(duì)比圖5和圖6可以看出，在Hopf分岔點(diǎn)處受到相同大小的擾動(dòng)，逆變側(cè)節(jié)點(diǎn)電壓U7做非等幅振蕩，并且有明顯的畸變，而整流側(cè)節(jié)點(diǎn)電壓U8做等幅振蕩，這說明了直流系統(tǒng)對(duì)兩端的影響程度不相同，這是因?yàn)閾Q流設(shè)備在擾動(dòng)發(fā)生后快速作用，通過調(diào)節(jié)閥的觸發(fā)角，改變潮流和電壓的大小，逆變側(cè)由于功率的傳輸要經(jīng)過直流線路和換流設(shè)備，所以受直流系統(tǒng)的影響比較大，逆變側(cè)電壓會(huì)出現(xiàn)。

4 結(jié) 論

通過對(duì)發(fā)電機(jī)、勵(lì)磁系統(tǒng)和交直流系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模，并考慮交直流系統(tǒng)中換流器及其控制方式等動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，運(yùn)用分岔分析方法，通過連續(xù)潮流方法追蹤系統(tǒng)平衡解流形，并求取霍普夫分岔和鞍結(jié)分岔。增大系統(tǒng)直流的參考值可以延遲系統(tǒng)Hopf分岔但是以降低系統(tǒng)電壓水平為代價(jià)的，所以在應(yīng)用中應(yīng)注意權(quán)衡；并不是所有情況下系統(tǒng)都會(huì)發(fā)生Hopf分岔，當(dāng)勵(lì)磁系統(tǒng)參考電壓比較大時(shí)，系統(tǒng)只發(fā)生SNB分岔，此時(shí)SNB分岔點(diǎn)作為系統(tǒng)傳輸功率極限點(diǎn)，并且采用較高的勵(lì)磁系統(tǒng)參考電壓可以避免系統(tǒng)發(fā)生振蕩失穩(wěn)。最后通過時(shí)域仿真的方法發(fā)現(xiàn)，直流系統(tǒng)對(duì)兩端交流節(jié)點(diǎn)電壓的影響并不相同，逆變側(cè)由于受直流系統(tǒng)影響比較大，會(huì)出現(xiàn)電壓畸變現(xiàn)象。

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