帶有齊次函數(shù)和臨界指數(shù)的橢圓方程組的研究

康東升，張微微，吳 紅

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

1 問題引入

本文研究下列橢圓方程組

(1)

假設(shè)參數(shù)滿足下面條件：

c1(|u|p+|v|p)≤Q(u,v)≤c2(|u|p+|v|p).

(H3)Qu(u,v),Qv(u,v)對任意u,v嚴(yán)格遞增,則存在:

Qu(u,v)≤M1(|u|p-1+|v|p-1),

Qv(u,v)≤M2(|u|p-1+|v|p-1).

u0,v0≠0,(u0,v0),(φ,ψ)=0,?(φ,ψ)∈((Ω))2.

近年來帶有Hardy項(xiàng)和臨界Sobolev指數(shù)的方程受到關(guān)注[1,2],但主要是對半線性方程的研究如文獻(xiàn)[3],近幾年才擴(kuò)展到擬線性問題上來如文獻(xiàn)[4],2012年文獻(xiàn)[5]通過局部緊性理論研究了擬方程無窮解的存在性,本文基于此來研究此方程組的無窮解.

本文中因?yàn)榕R界指數(shù)p*的存在,I0(u,v)在大范圍中不滿足P-S條件,所以建立如下擾動方程組及相應(yīng)能量泛函：

(2)

本文的結(jié)果可歸結(jié)為下面的兩個(gè)定理.

定理2 假設(shè)(H1),(H2),(H3)成立,則方程組(1)有無窮解.

2 預(yù)先結(jié)果

引理1 當(dāng)ε=εn→0時(shí),(un,vn)是方程組(2)的解,滿足‖(un,vn)‖≤C.

(ii)對i,j=1,…,k,若i≠j,則當(dāng)n→∞時(shí)

證明過程與文獻(xiàn)[5]中附錄D相似,故省略.

(3)

的解,A>0是充分大的常數(shù).

由比較原則|un(x)| ≤wn(x),|vn(x)| ≤wn(x).

引理3[5]w是方程

引理4w是方程

通過引理2可得：

‖C+Cw1‖q1≤C′+C‖w1‖q1≤

引理5 (u,v)是方程組

的解且(u,v)∈(W1,p(RN))2,α+β=p*,則：

證明證明過程與文獻(xiàn)[5]附錄B解的衰退估計(jì)相似,故省略.

證明由引理4和引理6可直接得證.

3 在安全區(qū)域的估計(jì)

不包括(un,vn)的任意集中點(diǎn),這個(gè)區(qū)域我們稱作(un,vn)的安全區(qū)域.

證明證明與文獻(xiàn)[5]相同,故省略.

(4)

(5)

因此

(6)

則(4)式得證,同理(5)式得證,由(4)和(5)式及引理8可得：

4 主要結(jié)果證明

(7)

利用引理8 及(6)和(7)式可得：

(8)

定理1證明我們有以下兩種情形：

F(un,vn,x,x0,v)=

(9)

情形(ii)取x0=xn.

因?yàn)閜n

(10)

把?Bn分解為?Bn=?iBn∪?eBn,其中?iBn=?Bn∩Ω,?eBn=?Bn∩?Ω.

在?Ω上un=vn=0中,則：

(11)

且當(dāng)n→∞時(shí),‖un,2‖+‖vn,2‖→0，通過引理5,若N>p2,則：

(13)

因?yàn)樵赗NΩ中,un=0,vn=0.

(14)

(15)

假設(shè)(ρxn,1,λn,1(U1),ρxn,1,λn,1(V1))是所有爆破項(xiàng)中有最小集中率的,則：

同理

(16)

因此存在常數(shù)c′>0滿足：

(17)

同理

(18)

由(14)～(18)式得：

(19)

[1]Hardy G,Littlewood J,Polya G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1988: 239-243.

[2]Egnell H. Elliptic boundary value problems with singular coefficients and critical nonlinearities [J]. Indiana Univ Math,1989,38(2): 235-251.

[3]Bahri A,Coron J M. On a nonlinear elliptic equation involving the critical Sobolev exponent [J]. Comm Pure Appl Math,1988,41:253-294.

[4]Azorero J,Peral I. Existence and nonuniqueness for thep-Laplacian [J]. Comm Partial Differential Equations,1987,12: 1389-1430.

[5]Cao D,Peng S,Yan S. Infinitely many solutions forp-Laplacian equation involving critical Sobolev growth [J]. J Funct Anal,2012,262:2861-2902.

[6]Rabinowitz P. Minimax methods in critical points theory with applications to differential equations [M]. Washington: American Mathematical Society,1986: 7-50.

[7]Ambrosetti A,Rabinowitz P. Dual variational methods in critical point theory and applications [J]. J Funct Anal,1973,14:349-381.

[8]Cao D,Yan S. Infinitely many solutions for an elliptic problem involving critical Sobolev growth and Hardy potential [J].Calc Var PDE,2010,38:471-501.