王東霞，溫秀蘭，汪鳳林

(南京工程學院 自動化學院，南京 211167)

0 引言

平面是構(gòu)成實體零件的最重要幾何元素之一，它不僅是眾多測量的基準面，而且也是構(gòu)成許多機械產(chǎn)品工作臺的基本要素，如機床的平面導軌、工作臺等，而且常作為檢測的基準面［1-2］，平面度誤差的大小對產(chǎn)品的質(zhì)量及壽命至關(guān)重要，因此對平面度誤差進行高效準確的評定具有重要的實用價值。在當前的工業(yè)實踐中，平面度誤差的評定遵循幾何公差的表示與解釋標準。美國國家標準協(xié)會(ANSI)尺寸與公差標準Y14.5［3］提出形狀誤差評定必須參考一個理想的幾何特征。ISO 標準［4］建議形狀誤差的評定應基于最小區(qū)域的概念。平面度誤差被定義為在兩平行平面之間包含所有測量點的距離最小值。雖然最小二乘法是幾何誤差評定的最廣泛應用的方法之一，它容易實現(xiàn)、計算高效，常常被應用在坐標測量機中。但是，最小二乘法不能滿足最小區(qū)域條件，不符合ISO 標準，容易導致形狀誤差的過估計和好工件的廢棄。

為了獲得最小區(qū)域解，多年來一直有學者致力于這方面的研究。Murthy and Abdin［5］提出了一種簡單搜索技術(shù)。Fukuda and Shimokohbe［6］應用極大極小近似方法尋求最小區(qū)域解，Wang［7］，Kanada 和Suzuki［8］應用了統(tǒng)一線性逼近技術(shù)實現(xiàn)最小區(qū)域解。Hermann［9］提出借助計算幾何方法求解平面度誤差。求解平面度誤差評定最小區(qū)域解是屬于非凸問題，可以被表述成非線性優(yōu)化問題，因此評定方法實際上是優(yōu)化問題。近年來有不少學者提出了智能計算方法實現(xiàn)最小區(qū)域解計算。智能計算如遺傳算法［10-12］、混合優(yōu)化算法［13］、粒子群優(yōu)化算法［14］、進化策略［15］、改進蜂群算法［16］等被用于平面度誤差的評定。但是，若系統(tǒng)需多個參數(shù)需要同步優(yōu)化，遺傳算法存在早熟、參數(shù)依賴性強的缺點，粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)，限制了其應用。而微分進化算法以其在多參數(shù)非線性優(yōu)化方面的優(yōu)越性能在1996 年日本召開的第一屆國際進化優(yōu)化計算競賽(ICEO)中取得了優(yōu)異成績，受到了越來越多的重視［17］，已經(jīng)在電力、空間、控制、經(jīng)濟等領域得到應用。鑒于微分進化是一種解決非凸及非線性優(yōu)化問題的有效的智能算法，具有簡單靈活、效率高、搜索能力強、魯棒性好、控制參數(shù)少等特點，本文提出了一種基于種群優(yōu)化的微分進化算法，并將其應用于平面度誤差最小區(qū)域解計算。

1 平面度評定的數(shù)學模型

假定點Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)是被測平面上的測量點，其中n 為測量點數(shù)，按最小區(qū)域法評定平面度誤差實際上是尋找包容被測實際平面且距離最短的兩理想平行平面，因此屬于求最小化問題。假設最小區(qū)域法的兩平行平面其中之一的平面度公式為:

平面上的測量點Pi(xi，yi，zi)到平行平面的距離公式為:

則兩平行平面間的最小距離為:

可以明顯看出，最小距離f 是參數(shù)a，b 的函數(shù)。所以，求解最小區(qū)域平面度誤差轉(zhuǎn)變?yōu)樗阉鱝，b 的值，直到距離函數(shù)f(a，b)的值最小，則最小值即為平面度誤差。這是一個非線性優(yōu)化問題。

2 微分進化算法

2.1 變異操作

初始化完成以后，微分進化利用變異策略產(chǎn)生一個與每個個體Xi，G相關(guān)的變異向量Vi，G，即當前種群的目標向量。有5 種最常用的變異策略“DE/rand/1”，“DE/best/1”，“DE/rand-to-best/1”，“DE/best/2”，“DE/rand/2”。變異策略中包含參數(shù)變異因子，F(xiàn)∈(0，1)，用于控制變異的幅度，即差值的放大倍數(shù)。

2.2 交叉操作

變異操作完成后，為了維持種群個體的多樣性，交叉操作應用到每對目標向量和它的相應變異向量產(chǎn)生一個測試向量Ui，G=(，，…，)在基本微分進化中，微分進化交叉操作定義為:

在公式(4)中，交叉因子CR 是一個指定的常數(shù)，交叉算子并且是介于0 和1 之間的連續(xù)實數(shù)。如果CR 的值較大，DE 的收斂速度會加快;如果CR 的值較小，DE 的魯棒性會更好，但是會增加問題的執(zhí)行時間［20］。

2.3 選擇操作

新一代個體的產(chǎn)生方式為:

式中，f()為待優(yōu)化的目標函數(shù)。

在此過程中如果新產(chǎn)生的子代個體的適應度比父代大，即子代個體更優(yōu)良，那么Ui，G將取代其相應的父代個體進入種群，參與下一代的進化。選擇操作保證了在進化過程中種群不發(fā)生退化現(xiàn)象并且能夠維持種群規(guī)模。

3 實例

在我們的研究中，選擇變異策略“DE/best/1”，參數(shù)設置為D=2;種群大小NP =10* D，變異因子F =0.85，交叉因子CR=0.9，進化代數(shù)設置為100 代。為比較驗證算法的可行性，選擇3 個典型的例子。

3.1 平面度測量數(shù)據(jù)

為了對比，取文獻［11］平面度采樣數(shù)據(jù)，應用微分進化算法進行平面度誤差評定，結(jié)果列于表1 中。從表1 中可以看出，平面度誤差的最小二乘(LSC)評定結(jié)果、標準遺傳算法評定結(jié)果(EGA)和改進遺傳算法(IGA)［11］的 評 定 結(jié) 果 分 別 為0.0219，0.2161 和0.01839。而微分進化的評定結(jié)果為0.01838，與文獻［11］有著很好的一致性。

表1 數(shù)據(jù)評定結(jié)果(mm)

3.2 平面度測量數(shù)據(jù)

平面度采樣數(shù)據(jù)取自文獻［8］，微分進化評定結(jié)果列于表2 中，從表2 中可以看出，平面度誤差的最小二乘(LSC)評定結(jié)果、標準遺傳算法評定結(jié)果(EGA)和文獻［8］的評定結(jié)果分別為0.00303，0.002739 和0.002627。而微分進化的評定結(jié)果為0.002627，與文獻［8］有著很好的一致性。

表2 數(shù)據(jù)評定結(jié)果(mm)

在標準遺傳算法(EGA)中，種群大小設置為40，交叉變異因子分別設為0.90 和0.20，最大代數(shù)為200，由圖1 和圖2 可以看出，微分進化算法結(jié)果更精確穩(wěn)定。在大約進化至40 代時已達到穩(wěn)定值。

圖1 DE 與EGA 對于文獻［11］中測量數(shù)據(jù)的優(yōu)化過程

圖2 DE 與EGA 對于文獻［8］中測量數(shù)據(jù)的優(yōu)化過程

3.3 采樣數(shù)據(jù)

取文獻［16］平面度采樣數(shù)據(jù)，應用微分進化算法進行平面度誤差評定，結(jié)果列于表3 中。單次運行結(jié)果如圖3 所示。運用微分進化算法對該例獨立運行30 次，DE 算法求得最優(yōu)目標函數(shù)值的平均值為0.15487，標準差為9.12314E-11，完成100 代進化所需的時間是0.38s。計算結(jié)果與文獻［15］、文獻［16］的結(jié)果相比較，從表3 中可以看出，文獻［16］中所提出的算法與微分算法的平面度誤差計算結(jié)果相同，從時間和誤差標準差的結(jié)果來看，微分進化方法結(jié)果更穩(wěn)定，花費時間更少。由上比較結(jié)果可見，微分進化算法不僅能收斂到全局最優(yōu)解，而且具有較快的收斂速度，從計算精度、穩(wěn)定性和優(yōu)化效率等方面綜合考慮優(yōu)于其他算法。

表3 不同算法計算的比較(mm)

圖3 微分進化算法對文獻［16］中的測量數(shù)據(jù)的優(yōu)化過程

4 結(jié)論

本文結(jié)合平面度誤差的評定特點，提出了一種有效的實現(xiàn)最小區(qū)域平面度誤差評定的微分進化算法，與以往的平面度評定算法相比，具有簡單、靈活、高穩(wěn)定性、快速收斂性和更高的計算精度等優(yōu)點，大量實例驗證了提出的算法能夠有效地搜索到全局優(yōu)化結(jié)果，適宜于對高精度平板進行快速精密測量。

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