錢(qián)向東 程玉瑤

（河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，南京 210098）

眾所周知，持續(xù)時(shí)間與振幅、頻譜共稱為描述地震地面運(yùn)動(dòng)特性的三大要素［1－2］.在幾十年的研究和實(shí)踐中，各國(guó)已普遍將振幅和頻譜特征考慮到結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，在地震危險(xiǎn)性分析和地震動(dòng)參數(shù)區(qū)劃中也都反映了振幅和頻譜特征.然而，盡管地震持時(shí)的重要性毋容置疑，但直到目前，并沒(méi)有像振幅和頻譜那樣在地震工程中得到充分考慮，幾乎在所有的工程抗震設(shè)計(jì)中均沒(méi)有考慮持續(xù)時(shí)間的影響.其主要原因，一是對(duì)持時(shí)沒(méi)有公認(rèn)的定義，二是沒(méi)有形成廣泛適用的持時(shí)預(yù)測(cè)方程.

關(guān)于地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間的定義，一般認(rèn)為可以從2條途徑來(lái)考慮［7］.其一是震源斷層破裂持續(xù)時(shí)間（震源持時(shí)），即震源釋放能量的持續(xù)時(shí)間；其二是地面運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間，即觀測(cè)點(diǎn)晃動(dòng)持續(xù)的時(shí)間.顯然，前者是地震學(xué)中的持時(shí)，后者才是對(duì)工程抗震有直接意義的地面運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間，即地震工程學(xué)中的持時(shí).從20世紀(jì)70年代起，通過(guò)對(duì)地面運(yùn)動(dòng)加速度記錄進(jìn)行處理，選擇強(qiáng)震段時(shí)間進(jìn)行考慮，進(jìn)一步給出了所謂強(qiáng)震持續(xù)時(shí)間.由于強(qiáng)震時(shí)間段的選擇標(biāo)準(zhǔn)和累計(jì)方式的不同，各國(guó)學(xué)者對(duì)持續(xù)時(shí)間給出了幾十種定義［3－6］，長(zhǎng)期沒(méi)有形成統(tǒng)一、公認(rèn)的定義.Bommer J J和Martinez－Pereira A 把已有的各種持時(shí)定義歸納為4 種類型［5］，即括號(hào)持時(shí)（bracketed duration）、一致持時(shí)（uniform duration）、重要持時(shí)（significant duration）和結(jié)構(gòu)響應(yīng)持時(shí)（structural response duration）.近年來(lái)，由于其穩(wěn)定性和反映了地震動(dòng)的能量特性，重要持時(shí)受到了較多的關(guān)注.持時(shí)定義方面的最新進(jìn)展是Snaebjornsson J Th 和Sigbjornsson R 用Heaviside階梯函數(shù)概括性地將括號(hào)持時(shí)、一致持時(shí)和重要持時(shí)的定義分別給出了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式［8］.

關(guān)于持時(shí)的估計(jì)和預(yù)測(cè)，類似于其它地震動(dòng)參數(shù)，主要根據(jù)衰減關(guān)系建立經(jīng)驗(yàn)型預(yù)測(cè)方程.文獻(xiàn)［2，11］總結(jié)了1964～2010年發(fā)表的289個(gè)峰值加速度（PGA）預(yù)測(cè)方程和188個(gè)譜坐標(biāo)（spectral ordinates）預(yù)測(cè)方程.然而同期發(fā)表的持時(shí)（duration）預(yù)測(cè)方程卻非常少［12］，采用的地震記錄比較局限，考慮的影響因素也不夠全面.近年來(lái)，隨著地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)的建立和不斷完善，特別是美國(guó)NGA 計(jì)劃（The‘Next Generation of Ground－Motion Attenuation Model’project）的實(shí)施［13］，以及基于位移的抗震設(shè)計(jì)的需要［14］，對(duì)地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間預(yù)測(cè)方程的研究提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)和新的動(dòng)力.Justin J Kempton和Jonathan P Stewart［16］、Julian J Bommer，Peter J Stafford 和John E Alarcón［18］、Saman Yaghmaei－Sabegh，Zhila Shoghian和M Neaz Sheikh［12］等相繼提出了全面考慮各類影響因素、更具代表性和適用性的持時(shí)預(yù)測(cè)方程.

本文主要介紹各類持時(shí)定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式和最新的持時(shí)預(yù)測(cè)方程，以供進(jìn)一步開(kāi)展相關(guān)研究參考.

1 持時(shí)定義的數(shù)學(xué)表達(dá)

在各類持時(shí)定義中，根據(jù)采用的幅值（加速度或Arias強(qiáng)度）控制條件——閾值是絕對(duì)值還是相對(duì)值，把持時(shí)分為絕對(duì)持時(shí)和相對(duì)持時(shí).

1.1 括號(hào)持時(shí)

括號(hào)持時(shí)是最簡(jiǎn)單的強(qiáng)震持時(shí)定義，把一次地震記錄的加速度絕對(duì)值首次和最后一次達(dá)到或超過(guò)規(guī)定值（閾值）所經(jīng)歷的時(shí)間定義為持時(shí).

絕對(duì)括號(hào)持時(shí)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中t滿足以下方程：

其中：H（·）為Heaviside函數(shù)；a（t）為地震加速度記錄；a0為加速度閾值，通常取為0.05g.

相對(duì)括號(hào)持時(shí)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中t滿足以下方程：

其中：H（·）和a（t）的同上；α0是介于0～1之間的系數(shù)，通常取為0.05；PGA為地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值.

括號(hào)持時(shí)的定義簡(jiǎn)單直觀，但是對(duì)于大多數(shù)地震記錄，其持時(shí)與選取的閾值有很大關(guān)系，帶有較大的主觀性；而且，該定義完全忽略了地震記錄強(qiáng)震段的性質(zhì)，無(wú)法考慮一條地震記錄中地震動(dòng)強(qiáng)度的相對(duì)分布；甚至當(dāng)采用絕對(duì)閾值時(shí)，有可能對(duì)兩條所含能量差異甚大的加速度記錄得出相同的持續(xù)時(shí)間.

1.2 一致持時(shí)

為了克服括號(hào)持時(shí)存在的不足，把地震記錄中加速度絕對(duì)值達(dá)到或超過(guò)閾值的時(shí)間間隔之和定義為持續(xù)時(shí)間，稱為“一致持時(shí)”.顯然，一致持時(shí)并非一個(gè)連續(xù)的時(shí)間區(qū)段，而是考慮了地震記錄有關(guān)特性的分段時(shí)間的累積，對(duì)閾值的敏感性大大降低.

絕對(duì)一致持時(shí)可以表示為

相對(duì)一致持時(shí)可以表示為

這里，H（·）為Heaviside函數(shù)；a（t）為地震加速度記錄；a0為加速度閾值，α0是介于0～1 之間的系數(shù)，通常取為0.05；PGA為地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值.

比較括號(hào)持時(shí)和一致持時(shí)的定義可以看出，對(duì)于給定的閾值，絕對(duì)括號(hào)持時(shí)總是大于或等于絕對(duì)一致持時(shí)，即Dab≥Dau；同樣，對(duì)于給定的閾值，相對(duì)括號(hào)持時(shí)也總是大于或等于相對(duì)一致持時(shí)，即Drb≥Dru.

1.3 重要持時(shí)

地震加速度記錄的能量累積達(dá)到兩個(gè)不同的閾值之間的時(shí)間段稱為重要持時(shí)，也稱為能量持時(shí).最常用的能量累積指標(biāo)是Arias強(qiáng)度（Arias intensity），記為IA（t）.

式中，a（t）是地震加速度記錄，g 為重力加速度.

把IA（t）與IA（t）的最大值之比稱為正則化Arias強(qiáng)度（normalized Arias intensity），記為

式中，T 為加速度記錄a（t）的總時(shí)長(zhǎng).

絕對(duì)能量持時(shí)可以表示為

這里，H（·）為Heaviside函數(shù)；IA1為Arias強(qiáng)度的第1個(gè)閾值，通常取為0.01m／s；IA2為Arias強(qiáng)度的第2個(gè)閾值，通常取為0.125m／s.Bommer J J和Martinez－Pereira把這樣定義的持時(shí)稱為有效持時(shí)（effective duration）［9］.

相對(duì)能量持時(shí)可以表示為

這里，H（·）為Heaviside函數(shù)；A（t）是正則化Arias強(qiáng)度；A1和A2分別為第1和第2個(gè)閾值.如果取A1＝0.05，A2＝0.75，稱為70% 持時(shí)（記為Da5－75），對(duì)應(yīng)于地震波體波能量的釋放；取A1＝0.05，A2＝0.95，稱為90%持時(shí)（記為Da5－95），對(duì)應(yīng)于整個(gè)地震波陣的能量釋放.

由于重要持時(shí)對(duì)于閾值的選取具有比較好的穩(wěn)定性，近年來(lái)有關(guān)持時(shí)的研究主要集中在重要持時(shí)，因此，也是近年來(lái)在工程實(shí)踐中應(yīng)用最多的.

2 最新的持時(shí)預(yù)測(cè)方程

作為地震地面運(yùn)動(dòng)的重要參數(shù)，如何正確有效地估計(jì)工程場(chǎng)地未來(lái)地震動(dòng)的持續(xù)時(shí)間直接關(guān)系到持續(xù)時(shí)間在工程抗震設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.目前，地震地面運(yùn)動(dòng)參數(shù)的估計(jì)主要有3種方法［1］.第1種是通過(guò)地震烈度的估計(jì)，再利用烈度與地震動(dòng)參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行換算；第2種是根據(jù)已有強(qiáng)震觀測(cè)記錄，尋求地震動(dòng)參數(shù)與地震震級(jí)、震源特性、傳播介質(zhì)、場(chǎng)地條件等的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，稱為衰減規(guī)律或衰減關(guān)系，建立經(jīng)驗(yàn)型預(yù)測(cè)方程，再用預(yù)測(cè)方程來(lái)估算地震動(dòng)參數(shù)；第3種是通過(guò)震源機(jī)制的理論分析，應(yīng)用動(dòng)力學(xué)原理，推算地面運(yùn)動(dòng)過(guò)程.從已有的文獻(xiàn)資料和應(yīng)用情況來(lái)看，目前最常用的是第2種方法.

根據(jù)發(fā)震機(jī)理和已有的地震動(dòng)衰減關(guān)系，常把地面運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間表示為3部分組成［15］：

其中，D 代表場(chǎng)地地面運(yùn)動(dòng)總的持續(xù)時(shí)間，D0表示震源斷層破裂所需要的時(shí)間（震源持時(shí)），DR表示傳播途徑對(duì)持時(shí)的增加，DS表示場(chǎng)地條件對(duì)持續(xù)時(shí)間的延長(zhǎng).

一般來(lái)說(shuō)D0的長(zhǎng)短取決于斷層的破裂過(guò)程，主要與斷裂類型、應(yīng)力降等有關(guān)；DR的長(zhǎng)短取決于地震波的傳播途徑，與震源距和傳播介質(zhì)有關(guān)；DS則依賴于場(chǎng)地條件，主要與地質(zhì)、地形情況和土的類別有關(guān).

2.1 Kempton－Stewart模型

2006年，美國(guó)學(xué)者Justin J Kemptona和Jonathan P Stewar在分析已有持時(shí)預(yù)測(cè)方程后，認(rèn)為以往的持時(shí)預(yù)測(cè)方程主要存在以下不足［16］：①反映震級(jí)對(duì)震源持時(shí)影響的函數(shù)形式大多數(shù)采用缺少物理機(jī)制的表述；②普遍采用震中距代替場(chǎng)地至震源的最短距離（closest site－source distance）；③很少采用能量積分，不能有效地獲得地面運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)周期部分的持續(xù)時(shí)間；④場(chǎng)地條件對(duì)持時(shí)影響的研究還不盡如人意；⑤大多不考慮斷層破裂方向的影響，唯一考慮這種影響的模型所用的數(shù)據(jù)庫(kù)現(xiàn)已過(guò)時(shí)；⑥都是采用最小二乘回歸分析法，對(duì)每條記錄賦予的權(quán)重相同，不能恰當(dāng)?shù)乜紤]同一次地震中不同記錄之間的相互關(guān)系（可能會(huì)導(dǎo)致某個(gè)特定地震的持時(shí)異常地偏大或偏小）.

他們采用類似于Abrahamson N A 和Silva W J提出的回歸函數(shù)，建立回歸模型.以最新采集到的149次地震的1 829條強(qiáng)震記錄為樣本，這些記錄來(lái)自包括美國(guó)加州、日本、土耳其、中國(guó)臺(tái)灣等區(qū)域活動(dòng)構(gòu)造的全球性強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)，充分考慮了震級(jí)、震源距、場(chǎng)地條件（包括淺層地質(zhì)條件和深層構(gòu)造）以及近斷層參數(shù)的影響，還區(qū)分板塊內(nèi)和板塊外地震得到的強(qiáng)震記錄，采用混合效應(yīng)回歸分析法，給出了相對(duì)能量持時(shí)的預(yù)測(cè)方程為

其中，（Drs）ij表示i處發(fā)生地震在j 處產(chǎn)生的持續(xù)時(shí)間；M 表示震級(jí)，一般取為矩震級(jí)Mw，否則當(dāng)M＞6時(shí)取為面波震級(jí)MS、當(dāng)M＜6時(shí)取為近震震級(jí)ML；rij表示j 處場(chǎng)地與i震源的距離（震源距）（km）；β表示震源處的剪切速度，一般取3.2km／s；Vs30表示場(chǎng)地表面以下30m 土層中剪切波的平均速度（m／s）.ηi和εij分別代表板塊外地震與板塊內(nèi)地震記錄對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng).

文中針對(duì)Da5－75、Da5－95、Dv5－75、Dv5－954 種持時(shí)定義分別給出了回歸系數(shù).采用90% 能量持時(shí)（Da5－95）定義時(shí)，回歸系數(shù)b1＝2.79，b2＝0.82，c2＝0.15，c4＝3±0.82，c5＝0.004 1±0.000 8.

該模型與其他重要持時(shí)模型一樣，反映了持續(xù)時(shí)間隨震級(jí)的增大而急劇增長(zhǎng)、隨震源距的增大而適度增長(zhǎng)，這種規(guī)律在震級(jí)M＝5～7.6和至震源的最短距離r＝0～200km 范圍內(nèi)都是非常有效的.該模型還反映了持續(xù)時(shí)間隨場(chǎng)地剪切波速Vs30的增大而減小.另外，該模型還給出了場(chǎng)地深層構(gòu)造和近斷層對(duì)預(yù)測(cè)方程的校正.反映了場(chǎng)地深層構(gòu)造的影響趨勢(shì)，當(dāng)震源位于場(chǎng)地覆蓋層之下時(shí)，持續(xù)時(shí)間隨覆蓋層深度Z1.5（地表至剪切波速為1.5km／s的巖層的深度）的增大而減小；當(dāng)震源不在場(chǎng)地覆蓋層之下時(shí)，持續(xù)時(shí)間隨覆蓋層深度Z1.5的增大而增長(zhǎng).克服了當(dāng)震級(jí)M＞6和震源距r＜20km 時(shí)的超報(bào)現(xiàn)象.

2.2 Bommer－Stafford－Alarcón模型

英國(guó)學(xué)者Julian J Bommer，Peter J Stafford 和John E Alarcón認(rèn)為［17］，盡管預(yù)測(cè)方程（12）能夠很好地反映各種因素的影響，但其表達(dá)式不夠簡(jiǎn)潔.他們對(duì)預(yù)測(cè)方程（12）的第一項(xiàng)（有關(guān)震源因素）進(jìn)行處理，得到了等效的非常簡(jiǎn)單的線性函數(shù).綜合其他因素后，給出了相對(duì)能量持時(shí)的預(yù)測(cè)方程為

式中，Drs為相對(duì)能量持時(shí)，可以是Da5－95、也可以是Da5－75；Mw為矩震級(jí)；Rrup為場(chǎng)地至震源的最短距離（km），同式（12）中的rij；Vs30為場(chǎng)地表面以下30m 土層中剪切波的平均速度（m／s）；Ztor為破裂面頂部深度（depth to the top of rupture）（km）.而c0、m1、r1、r2、h1、v1、z1為回歸系數(shù).

采用90%能量持時(shí)（Da5－95）定義時(shí)，回歸系數(shù)c0＝－2.239 3±0.805 1，m1＝0.936 8±0.122 3，r1＝1.568 6±0.148 9，r2＝－0.195 3±0.021 9，h1＝2.5，v1＝－0.347 8±0.027 4，z1＝－0.036 5±0.020 2.

該模型是Kempton－Stewart模型的改進(jìn)，能夠用于估計(jì)矩震級(jí)Mw＝4.8～7.9、至震源的最短距離100km 以內(nèi)的地震動(dòng)持時(shí).

除了相對(duì)能量持時(shí)外，他們還給出了閾值為0.025 g、0.050 g、0.100 g 時(shí)絕對(duì)括號(hào)持時(shí)Dab和一致持時(shí)Dau的預(yù)測(cè)方程和相應(yīng)的回歸系數(shù).

2.3 Sabegh－Shoghian－Sheikh模型

伊朗學(xué)者Saman Yaghmaei－Sabegh，Zhila Shoghian等在分析總結(jié)已有持時(shí)預(yù)測(cè)方程的基礎(chǔ)上，結(jié)合伊朗現(xiàn)有的地震觀測(cè)資料，提出了一個(gè)適用于伊朗的區(qū)域性持時(shí)預(yù)測(cè)模型［12］.由于在伊朗的地震記錄中并不能提供諸如斷裂類型、應(yīng)力降、破裂面頂部深度等震源參數(shù)，采用距震源最短距離R、矩震級(jí)Mw和場(chǎng)地條件S3個(gè)獨(dú)立的參數(shù)建立了相對(duì)能量持時(shí)的回歸方程：

式中，Drs為相對(duì)能量持時(shí)，可以是Da5－95、也可以是Da5－75；對(duì)應(yīng)于巖石、高密土或軟巖、硬土、軟土，場(chǎng)地條件參數(shù)S 分別取3、2、1、0；a1、a2、a3、a4、b1、b2為回歸系數(shù)；ηi 和εij分別代表板塊外地震與板塊內(nèi)地震記錄對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng).

根據(jù)伊朗地震記錄（至2007年）數(shù)據(jù)庫(kù)中的286條記錄，采用混合效應(yīng)回歸分析，給出了回歸系數(shù).采用90%能量持時(shí)（Da5－95）定義時(shí)，回歸系數(shù)a1＝0.07、a2＝0.236、a3＝0.16±0.01、a4＝－0.021±0.011、b1＝1.24、b2＝1.02.

該模型的形式也比較簡(jiǎn)單，預(yù)測(cè)的結(jié)果與伊朗的觀測(cè)數(shù)據(jù)非常吻合，可應(yīng)用于伊朗活動(dòng)構(gòu)造區(qū)的地震動(dòng)持時(shí)估計(jì)，并推廣應(yīng)用于類似的構(gòu)造區(qū)域.

3 總論與展望

1）Heaviside階梯函數(shù)的引入，使得括號(hào)持時(shí)、一致持時(shí)和重要持時(shí)的定義均有了明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，為持時(shí)的計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)型預(yù)測(cè)模型的回歸分析提供了統(tǒng)一、方便的數(shù)學(xué)工具.

2）與峰值加速度（PGA）和譜坐標(biāo)（spectral ordinates）預(yù)測(cè)方程相比，持時(shí)的預(yù)測(cè)方程相對(duì)較少，除了持時(shí)的效應(yīng)機(jī)理和影響因素非常復(fù)雜外，主要是各國(guó)現(xiàn)行的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中均沒(méi)有要求采用地震持時(shí)作為地震動(dòng)參數(shù).

3）本文介紹的持時(shí)預(yù)測(cè)模型充分考慮了震級(jí)、距震源最短距離以及場(chǎng)地條件等影響持時(shí)的關(guān)鍵因素，特別地Kempton－Stewart模型和Bommer－Stafford－Alarcón模型以Vs30代替場(chǎng)地類型參數(shù)S 表示場(chǎng)地條件，更加精確地反映場(chǎng)地條件的影響.

4）本文介紹的持時(shí)預(yù)測(cè)模型在利用現(xiàn)有地震記錄進(jìn)行回歸分析時(shí)，采用混合效應(yīng)回歸分析法，充分考慮到板塊間和板塊內(nèi)地震的不同影響.

5）本文介紹的持時(shí)預(yù)測(cè)模型為改進(jìn)和進(jìn)一步開(kāi)展持時(shí)預(yù)測(cè)模型的研究，提供了基本的表達(dá)形式和回歸分析方法.

6）隨著地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)的不斷完善和全球地震數(shù)據(jù)庫(kù)建立，特別是美國(guó)NGA 計(jì)劃（The“Next Generation of Ground－Motion Attenuation Model”project）的實(shí)施與引領(lǐng)，以及基于性能或位移的抗震設(shè)計(jì)的發(fā)展需要，必將引起研究者對(duì)地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間的廣泛關(guān)注和研究興趣，提出更多的持時(shí)預(yù)測(cè)模型，滿足各國(guó)家或地區(qū)地震安全評(píng)價(jià)和工程抗震設(shè)計(jì)的需要.

7）隨著持時(shí)預(yù)測(cè)模型的深入研究，可以設(shè)想在不遠(yuǎn)的將來(lái)，地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間的影響必將在地震安全評(píng)價(jià)和工程抗震設(shè)計(jì)中加以考慮.

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