數(shù)控插齒機(jī)床身三維拓?fù)鋬?yōu)化研究

陶 然 田啟華，2 杜義賢，2

（1.三峽大學(xué)機(jī)械與材料學(xué)院，湖北宜昌 443002；2.水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（三峽大學(xué)），湖北宜昌 443002）

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)作為十分活躍的研究領(lǐng)域已經(jīng)獲得了廣泛的關(guān)注［1］，尤其是對二維問題的關(guān)注比較多，但實(shí)際工程中會(huì)遇到很多空間問題，與二維問題相比較，三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)具有較大難度，針對三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究也較少.因此進(jìn)行三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究是十分必要的.目前，關(guān)于三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化的研究尚處在起步階段.葉紅玲、隋允康等基于ICM 方法對三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行了研究［2］；亢戰(zhàn)、張池對考慮回轉(zhuǎn)性能的三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究［3］，從上述研究結(jié)論中可以得知三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化理論具有較大的發(fā)展空間，并且具有廣闊的工程應(yīng)用前景.

因此，本文基于工程實(shí)際應(yīng)用，以YKS5120B－3數(shù)控插齒機(jī)床身［4］為研究對象，基于固體各向同性材料插值方法SIMP（solid isotropic material with pe－nalization）構(gòu)建以數(shù)控插齒機(jī)床身柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)的三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，以三維有限單元的相對密度為設(shè)計(jì)變量，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行設(shè)計(jì)變量的迭代更新，通過在載荷作用下床身結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到床身材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)的最優(yōu)分布，然后根據(jù)材料的最優(yōu)分布重構(gòu)床身模型，并對原結(jié)構(gòu)模型和重構(gòu)模型進(jìn)行靜力學(xué)分析比較，驗(yàn)證了床身三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的正確性和有效性.

1 三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

本文以床身結(jié)構(gòu)的整體柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，以三維有限單元的相對密度為設(shè)計(jì)變量，以結(jié)構(gòu)的體積比和力學(xué)控制方程為約束條件，基于SIMP 方法，建立如下的三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

式中，c（x）為結(jié)構(gòu)的柔度，U 和F 分別表示結(jié)構(gòu)整體位移矩陣和載荷矩陣，K 為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，ue為單元的位移矩陣，k0為初始的單元?jiǎng)偠染仃?，?yōu)化模型中的設(shè)計(jì)變量為單元的相對密度x＝｛x1，x2…，xN｝T，xmin和xmax分別為單元相對密度的最小極限值和最大極限值，N 為離散設(shè)計(jì)域中的單元數(shù)目，V（x）和V0分別表示優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)體積和整個(gè)設(shè)計(jì)域的初始體積，f 為優(yōu)化前后的體積比.

1.2 敏度分析及過濾方法

和二維問題一樣，敏度分析是三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，都反映了設(shè)計(jì)變量的改變對結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性變化率的影響，對于優(yōu)化模型的收斂與否起著決定性作用；不同的是，三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化采用的是空間球體域作為過濾范圍，而二維問題中采用的是平面圓形域.結(jié)構(gòu)的敏度是指目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，本文的優(yōu)化模型（1）中，連續(xù)體結(jié)構(gòu)的柔度c（x）對單元相對密度xe的敏度為

根據(jù)有限元平衡方程KU＝F，兩邊同時(shí)對設(shè)計(jì)變量求偏導(dǎo)，整理得

將式（3）代入式（2），根據(jù)材料密度插值模型，整理得結(jié)構(gòu)敏度的表達(dá)式為

在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，普遍存在棋盤格和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象.本文采用Sigmund提出的過濾法求解技術(shù)［5］來避免數(shù)值不穩(wěn)定性.三維拓?fù)鋬?yōu)化問題敏度過濾技術(shù)的實(shí)質(zhì)是利用空間球體域內(nèi)所有單元的敏度信息修正中心單元的敏度信息，即采用空間球過濾半徑范圍內(nèi)各單元敏度的加權(quán)平均值代替中心單元的敏度值.目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量xe修正后的單元敏度值為

式中，dist（e，f）為相鄰單元e和f 中心的距離，rmin為過濾半徑，N 為單元的數(shù)目.

1.3 模型求解方法

對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的求解，常用的求解算法主要有兩類，一類是優(yōu)化準(zhǔn)則算法（Optimality Criteria Method，OC）［6］；另一類是數(shù)學(xué)規(guī)劃法，主要有移動(dòng)近似算法（Method of Moving Asymptotes，MMA）和序列線性規(guī)劃法（Sequential Linear Programming Method，SLP）［7］.對于三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，優(yōu)化準(zhǔn)則法收斂速度快，并且適用于單約束條件下優(yōu)化問題的求解.因此，本文選擇優(yōu)化準(zhǔn)則法對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代更新.

2 數(shù)控插齒機(jī)床身靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 床身初始設(shè)計(jì)模型的建立

本文以YKS5120B－3數(shù)控插齒機(jī)床身為研究對象，根據(jù)該床身的實(shí)際工作情況，在Matlab中創(chuàng)建床身的優(yōu)化設(shè)計(jì)域空間模型，如圖1所示.設(shè)計(jì)域由非設(shè)計(jì)域和可設(shè)計(jì)域組成，其中非設(shè)計(jì)域1為床身的導(dǎo)軌，非設(shè)計(jì)域2為工作平臺(tái)，可設(shè)計(jì)域?yàn)榇采淼闹黧w部分，將可設(shè)計(jì)域離散為28×16×7個(gè)立方體單元，而導(dǎo)軌和工作臺(tái)分別單獨(dú)離散為40個(gè)和32個(gè)立方體單元，每個(gè)單元有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)相應(yīng)有3個(gè)方向的自由度.

該床身材料為HT200，其參數(shù)如下：屈服極限σs＝310MPa，強(qiáng)度極限σb＝450MPa，彈性模量E＝126E3MPa，泊松比PN＝0.3，材料密度ρ＝7.0E－9 t／mm3.

圖1 床身優(yōu)化初始有限元模型

2.2 床身約束及受載荷情況

實(shí)際該床身底部兩側(cè)是用6個(gè)地腳螺栓與硬地基連接的，所以在連接面上施加3個(gè)方向自由度為零的位移約束.工作平臺(tái)結(jié)合面的受力由兩部分組成，一部分是工作臺(tái)部分的自身重力，還有一部分是通過工件傳遞到工作臺(tái)結(jié)合面的插齒力，根據(jù)工作平臺(tái)與床身結(jié)合面的面積，計(jì)算出工作平臺(tái)結(jié)合面的最大承壓為P1＝0.073MPa.由于與床身導(dǎo)軌接觸中床身導(dǎo)軌副是移動(dòng)的，所以有多種工況，因此為了安全起見，本文選取其中一種具有代表性的工況進(jìn)行分析，即在整個(gè)導(dǎo)軌上都施加承壓P2＝1.078MPa.

2.3 床身靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化求解

以床身的整體柔度最小為目標(biāo)函數(shù)，以20%的體積比為約束，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代更新，經(jīng)過26步迭代后目標(biāo)值收斂，得到床身結(jié)構(gòu)材料的最優(yōu)分布.此外本文通過空洞實(shí)體分界值（IES）來控制優(yōu)化結(jié)果的顯示，即只顯示相對密度大于某個(gè)值的單元，當(dāng)IES分別取0.3、0.5、0.7時(shí)拓?fù)浣Y(jié)果如圖2（a）、（b）、（c）所示.

圖2 不同IES值拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

從圖2可以看出，當(dāng)IES取值為0.5時(shí)，即只顯示相對密度大于0.5的單元，結(jié)構(gòu)更清晰，因此本文選擇圖2（b）拓?fù)湫问阶鳛閿?shù)控插齒機(jī)床身結(jié)構(gòu)重構(gòu)的依據(jù)，床身原始模型和重構(gòu)模型如圖3所示.

圖3 床身幾何模型

2.4 床身受載靜力學(xué)分析

對比原始設(shè)計(jì)床身質(zhì)量發(fā)現(xiàn)，床身質(zhì)量為1 500.42kg，相對于原始床身質(zhì)量1 700.61kg減輕了11.8%.對床身原結(jié)構(gòu)模型和優(yōu)化重構(gòu)模型進(jìn)行靜力學(xué)分析，模型的位移云圖和應(yīng)力云圖如圖4～5所示.

根據(jù)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，床身的最大變形量和最大應(yīng)力分別由原來的0.010 283mm 和6.525MPa減小到優(yōu)化后的0.006 665mm 和2.582MPa，分別減少了35%和60%；對比原結(jié)構(gòu)模型和重構(gòu)結(jié)構(gòu)模型的應(yīng)力云圖5（a）、（b）發(fā)現(xiàn)，原始結(jié)構(gòu)在排屑槽下方出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，通過結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后，重構(gòu)模型的應(yīng)力分布更加均勻、合理，避免了應(yīng)力集中現(xiàn)象.

綜合上述分析可知，床身經(jīng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后，不僅減輕了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，同時(shí)提高了結(jié)構(gòu)剛度，減小了結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力，改善了結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布，使得結(jié)構(gòu)比優(yōu)化前更加安全可靠.

3 結(jié) 論

本文以YKS5120B－3數(shù)控插齒機(jī)床身的整體柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，對該床身進(jìn)行了三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).床身經(jīng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后，不僅最大變形量和最大應(yīng)力分別減小了35%和60%，使得床身滿足剛度和強(qiáng)度要求，而且改善了結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布，有效地避免了應(yīng)力集中現(xiàn)象，同時(shí)床身質(zhì)量減輕了11.8%，使得床身更加節(jié)省材料，降低了制造成本.本文只從靜力學(xué)的角度對該床身進(jìn)行了三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，下一步將對該床身進(jìn)行三維結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

［1］ 夏天翔，姚衛(wèi)星.連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法評述［J］.航空工程進(jìn)展，2011，2（1）：1－11.

［2］ 葉紅玲，隋允康.基于ICM 方法三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，27（4）：387－393.

［3］ 亢 戰(zhàn)，張 池.考慮回轉(zhuǎn)性能的三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25（1）：11－15.

［4］ Tian Qihua，Zhou Xiangman，Du Yixian.Topology Optimization Design and Model Reconstruction of YKS5120B－3NC Gear Shaper Machine Tool Bed［C］.The International Conference on E－Product，E－Service and E－Entertainment.Nov.，2010， Henan，China，6090－6093.

［5］ 杜義賢，王 偉，李 然，等.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中敏度過濾技術(shù)研究［J］.工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2012，19（1）：20－24.

［6］ 趙龍彪，高 亮，陳志敏，等.基于比例微分優(yōu)化準(zhǔn)則的拓?fù)鋬?yōu)化方法［J］.中國機(jī)械工程，2011，22（3）：345－350.

［7］ 占金青，張憲民.連續(xù)體結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2010，32（6）：933－937.