朱大林 唐 瑞 詹 騰 丁昌鵬

（三峽大學(xué)機(jī)械與材料學(xué)院，湖北宜昌 443002）

振動(dòng)是影響精密機(jī)床加工精度的重要因素之一，在精密加工和測(cè)試中，環(huán)境及設(shè)備的振動(dòng)對(duì)加工精度測(cè)試結(jié)果有很大的影響，不僅會(huì)引起機(jī)床本體的振動(dòng)，而且更重要的是會(huì)引起切削刀具與被加工零件間的位置變化，被加工零件間的位置變化將直接反映到加工表面質(zhì)量上.因此必須設(shè)置性能優(yōu)異的隔振裝置，對(duì)基礎(chǔ)振動(dòng)進(jìn)行有效隔離，是提高精密機(jī)床加工精度和表面質(zhì)量的必要條件.對(duì)于精密機(jī)床這樣復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)，為了便于分析問(wèn)題，既要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化又要能充分隔離基礎(chǔ)振動(dòng)對(duì)精密加工精度的影響.目前，國(guó)內(nèi)大多采用以彈簧、阻尼作為隔振元件的隔振系統(tǒng)，在其振動(dòng)及控制分析中往往簡(jiǎn)化為單自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng).但在精密加工過(guò)程中，主軸箱和溜板均為移動(dòng)部件，單自由度隔振模型不能從根本上解決其振動(dòng)問(wèn)題.本文試從四自由度隔振系統(tǒng)進(jìn)行分析，建立系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型，并采用PID 主動(dòng)控制方法，對(duì)隨機(jī)地面輸入下的隔振系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行控制.

1 隔振系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 四自由度機(jī)床隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

精密機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖1所示，床身由被動(dòng)隔振元件空氣彈簧和主動(dòng)隔振元件電磁作動(dòng)器支撐，這2個(gè)空氣彈簧兩邊內(nèi)部相連.

圖1 精密機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖

前人將其化簡(jiǎn)為單自由度隔振模型［1］，如圖2所示，k、c分別為空氣彈簧的當(dāng)量剛度系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)，u為作動(dòng)器產(chǎn)生的主動(dòng)力，X1和X01分別為機(jī)床振動(dòng)位移和基地振動(dòng)位移，該隔振系統(tǒng)能有效隔離一定頻率范圍的振動(dòng)，但是在加工過(guò)程中精密機(jī)床的主軸箱和溜板均處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，機(jī)床的質(zhì)心在不斷地變化，因此它只能表征機(jī)身質(zhì)心的垂直運(yùn)動(dòng)，而不能描述機(jī)床的側(cè)傾或俯仰運(yùn)動(dòng).

圖2 單自由度隔振系統(tǒng)

莫凡芒等人考慮了偏心振動(dòng)問(wèn)題，將其簡(jiǎn)化為二自由度機(jī)床隔振模型［2］，如圖3所示：k1、c1、k2、c2為兩端被動(dòng)隔振設(shè)計(jì)的剛度和阻尼，u1、u2為前后作動(dòng)器產(chǎn)生的主動(dòng)力，O 為機(jī)床的質(zhì)心，m 為機(jī)床質(zhì)量，J為繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，機(jī)床兩端地基采用獨(dú)立的隔振設(shè)計(jì)以取得理想的隔振效果.

圖3 2自由度機(jī)床隔振模型

而在實(shí)際研究過(guò)程中，因不同的情況而采用不同的隔振模型，上述簡(jiǎn)化模型也能夠反映隔振系統(tǒng)的主要性能，但它們都屬于單層隔振即在設(shè)備和支撐之間插入一層隔振器.該技術(shù)出現(xiàn)得很早，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，得到了廣泛的應(yīng)用，隔振效果一般在10～20dB 之間.缺點(diǎn)是：對(duì)于低頻振動(dòng)設(shè)備的隔振所描述隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)效果并不太好.而雙層隔振即在設(shè)備和支撐基座之間插入兩層隔振器和一個(gè)中間質(zhì)量.在該系統(tǒng)中，當(dāng)激振頻率大于二次諧振頻率后，其傳遞率以1／ω4衰減，而單層隔振只能以1／ω2衰減，因此其隔振效果要優(yōu)于單層隔振，且具有較好的穩(wěn)定性［3］.因此采用四自由度的隔振模型不僅能表征機(jī)身質(zhì)心的垂直運(yùn)動(dòng)，而且能表征側(cè)傾或俯仰運(yùn)動(dòng)，而且結(jié)構(gòu)也不是太復(fù)雜，因而成為一種較為理想的隔振模型［4］.簡(jiǎn)化后的模型如圖4所示.

圖4 四自由度隔振模型

圖中，m3為機(jī)身質(zhì)量；m1、m2為左右軸非懸掛質(zhì)量；k1、k3、c1、c3為左軸非懸掛質(zhì)量上、下層彈簧剛度和阻尼；k2、k4、c2、c4為右軸非懸掛質(zhì)量上、下層彈簧剛度和阻尼；Xr1、Xr2為左右軸懸掛處的垂向位移；X1、X2為m1、m2的垂向位移；X01為底座受到的地面垂向激勵(lì)；X3為機(jī)床質(zhì)心處的垂向位移；θ為機(jī)床俯仰角；J 為機(jī)身繞y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；b、a為左右軸到機(jī)床質(zhì)心處的距離.其中Xr1＝X3－bsinθ，Xr2＝X3＋asinθ，因?yàn)棣纫话惴浅Ｐ?，所以sinθ≈θ.忽略機(jī)身彈性變形的情況下，根據(jù)牛頓第二定律，則該四自由度隔振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫為［5］：

1.2 隨機(jī)激勵(lì)模型

隨機(jī)激勵(lì)的模擬方法很多，這里采用白噪聲法，設(shè)地面隨機(jī)微分方程為：

式中，ω 為隨機(jī)激勵(lì)白噪聲；G 為激勵(lì)系數(shù).

1.3 Matlab／Simulink仿真模型

根據(jù)以上建立的隨機(jī)激勵(lì)模型和四自由度機(jī)床隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在Matlab／Simulink環(huán)境下建立系統(tǒng)模型［6］，如圖5所示.

2 PID控制器的設(shè)計(jì)

圖5 四自由度機(jī)床隔振系統(tǒng)仿真模型

PID 控制是早期發(fā)展起來(lái)的較為傳統(tǒng)的控制方法.由于它具有控制算法簡(jiǎn)單、可靠性高和魯棒性好、靈活地整定參數(shù)且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，在機(jī)電、化工、機(jī)械等多種行業(yè)中應(yīng)用普遍.在實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，現(xiàn)代控制理論對(duì)于解決參數(shù)頻繁變化的系統(tǒng)、數(shù)學(xué)模型難以建立的控制系統(tǒng)問(wèn)題往往達(dá)不到預(yù)期控制的效果，而采用PID 控制則可以方便靈活地調(diào)整參數(shù)，得到比較滿意的控制效果［7］.盡管現(xiàn)代控制理論已經(jīng)得到長(zhǎng)足發(fā)展，多種控制方法應(yīng)運(yùn)而生，但由于PID 控制有算法簡(jiǎn)單、可靠性高等優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用范圍依然十分廣泛.

2.1 PID控制概述

PID 控制方法是將系統(tǒng)實(shí)際輸出值與期望值的偏差e（t）作為控制偏差，并將控制偏差分為比例調(diào)節(jié)器、積分調(diào)節(jié)器與微分調(diào)節(jié)器，按照線性組合的方法構(gòu)成控制量來(lái)控制系統(tǒng)的對(duì)象，如圖6所示.

圖6 PID 控制原理圖

PID 控制律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其傳遞函數(shù)形式為：

式中，KP為比例系數(shù)；TI為積分時(shí)間常數(shù)；TD為微分時(shí)間常數(shù).

比例控制參數(shù)KP、積分控制參數(shù)TI和微分控制參數(shù)TD的大小對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能有著很大的影響.比例系數(shù)KP減小，系統(tǒng)的超調(diào)量也隨之減小，即穩(wěn)定裕度增大，致使過(guò)渡時(shí)間延長(zhǎng)，降低了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度.比例系數(shù)KP增大，響應(yīng)速度也隨之加快，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差隨之減小，從而有利于提高控制精度［8］.但是過(guò)大的KP會(huì)加快系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，將會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)定性降低甚至產(chǎn)生激烈震蕩.按照設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和不同系統(tǒng)控制過(guò)程中各個(gè)不同階段對(duì)過(guò)程控制的要求，一般在過(guò)渡開(kāi)始階段為了減小沖擊將KP置于比較小的范圍；在中期階段，慢慢增加KP，使響應(yīng)速度加快，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；在控制后期，要調(diào)小KP的值以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定特性.

積分調(diào)節(jié)的作用在于使系統(tǒng)的抗干擾能力增強(qiáng)，消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差.增大TI即減小積分作用，有利于避免產(chǎn)生震蕩，減小超調(diào)量，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，卻不利于系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差.而減小TI，也就是增大積分作用，雖然能夠減小靜態(tài)誤差，但過(guò)強(qiáng)的積分作用使超調(diào)量增大，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定而產(chǎn)生激烈震蕩.按照操作者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，通?？刂葡到y(tǒng)在設(shè)計(jì)的開(kāi)始階段，應(yīng)該選取較大的TI，這是因?yàn)橄到y(tǒng)開(kāi)始容易產(chǎn)生飽和現(xiàn)象而產(chǎn)生比較大的超調(diào)，這時(shí)應(yīng)減小積分作用；在響應(yīng)的中期階段，應(yīng)增大積分作用，即取較小的TI值以減小系統(tǒng)誤差，提高調(diào)解精度.

微分調(diào)節(jié)能夠?qū)Ρ豢貙?duì)象提前制動(dòng)給出相應(yīng)的減速信號(hào)，起到改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的作用，相當(dāng)于其具有某種程度的預(yù)見(jiàn)性.如果減小TD，即減小微分作用，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢，調(diào)節(jié)過(guò)程的減速就會(huì)滯后，從而增大了超調(diào)量，導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性變差.如果增大TD，即增加微分作用，能使超調(diào)量減小，系統(tǒng)響應(yīng)變快，穩(wěn)定性提高，可是過(guò)大的TD會(huì)提前使響應(yīng)過(guò)程發(fā)生制動(dòng)，從而延長(zhǎng)過(guò)渡時(shí)間，而且系統(tǒng)對(duì)于抑制外干擾的能力減弱；為了得到不同的系統(tǒng)性能，通常將積分控制、微分控制、比例控制三者結(jié)合起來(lái)使用.只有當(dāng)KP、TI、TD取合適的值時(shí)，系統(tǒng)才能有好的穩(wěn)定特性和動(dòng)態(tài)性能，才能得到滿意的控制效果［9］.PID各參數(shù)的調(diào)節(jié)對(duì)性能指標(biāo)的影響見(jiàn)表1.

表1 PID參數(shù)調(diào)節(jié)對(duì)性能指標(biāo)的影響

2.2 主動(dòng)隔振系統(tǒng)PID 控制器的實(shí)現(xiàn)

為了提高機(jī)床在加工過(guò)程中的穩(wěn)定性，本文選取機(jī)身垂直加速度¨x 作為PID 控制輸入量，建立按偏差控制的機(jī)床隔振系統(tǒng)主動(dòng)PID 控制策略.采用PID控制時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的控制效果起決定性作用的是KP、KI、KD3個(gè)參數(shù)，因此，尋找最優(yōu)的KP、KI、KD參數(shù)值使主動(dòng)隔振系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定要求.本文利用Matlab／Simulink仿真功能，采用湊試法對(duì)PID 參數(shù)進(jìn)行整定.比例部分是主要調(diào)節(jié)，起主導(dǎo)作用，積分部分是輔助調(diào)節(jié)作用，微分部分是補(bǔ)償作用.湊試PID 參數(shù)時(shí)，依據(jù)系統(tǒng)控制過(guò)程中各參數(shù)的影響趨勢(shì)以及經(jīng)驗(yàn)，采取先比例，后積分，再微分的步驟來(lái)調(diào)整參數(shù).PID 整定原則如下：

1）先調(diào)節(jié)比例參數(shù)KP值，將KI和KD設(shè)置為零.一邊將比例參數(shù)KP慢慢從小變大，一邊觀察控制系統(tǒng)的響應(yīng)，系統(tǒng)靜差是否小到允許的范圍之內(nèi)，是否出現(xiàn)超調(diào)量小、反應(yīng)快的響應(yīng)曲線.如果是，則只需要比例調(diào)節(jié)器就可滿足設(shè)計(jì)要求.

2）如果僅僅通過(guò)比例調(diào)節(jié)器不能獲得滿意的響應(yīng)曲線，那么就需要加入積分調(diào)節(jié)器.在當(dāng)前基礎(chǔ)上把比例系數(shù)KP以10%左右的縮小比略微減小，然后將積分系數(shù)KI從零開(kāi)始逐漸加大，即減小積分作用.通過(guò)減小或者消除系統(tǒng)的靜差，就可以使得系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能.通過(guò)反復(fù)湊試調(diào)整比例系數(shù)和積分系數(shù)，觀察控制系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，以期獲得滿意的控制過(guò)程和整定參數(shù).

3）如果通過(guò)對(duì)比例調(diào)節(jié)器和積分調(diào)節(jié)器反復(fù)調(diào)整，還不能得到滿意的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，則需要加入微分調(diào)節(jié)器.微分系數(shù)KD的整定方法同第2）步相似.在微幅改變比例系數(shù)KP和積分系數(shù)KI的基礎(chǔ)上逐步增大KD，以獲得滿意的響應(yīng)曲線.由于在實(shí)際系統(tǒng)中某些指標(biāo)是無(wú)法達(dá)到的，所以需要結(jié)合實(shí)際系統(tǒng).

將PID 控制器中參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)輸出影響的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，分別得到控制u1參數(shù)值KP＝60，KI＝500，KD＝0.08 和控制u2的參數(shù)值KP＝90，KI＝530，KD＝0.08.

3 仿真結(jié)果輸出與分析

通過(guò)建立的隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和控制器模型，在Matlab／Simulink軟件中建立隔振系統(tǒng)仿真模型，如圖7所示，對(duì)四自由度機(jī)床隔振系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真.

圖7 主動(dòng)隔振系統(tǒng)PID 控制仿真模型

考慮試驗(yàn)臺(tái)的實(shí)際情況，設(shè)置機(jī)床隔振系統(tǒng)的仿真參數(shù)［10］見(jiàn)表2.經(jīng)過(guò)仿真，得到了控制前后主動(dòng)隔振系統(tǒng)加速度、動(dòng)撓度和動(dòng)位移3組響應(yīng)曲線，如圖8～10所示.

表2 仿真參數(shù)表

每組響應(yīng)曲線分別由不加控制狀態(tài)響應(yīng)曲線和添加PID 控制響應(yīng)曲線組成，圖8 表明經(jīng)過(guò)PID 控制的主動(dòng)隔振系統(tǒng)較被動(dòng)隔振系統(tǒng)，能夠明顯降低系統(tǒng)加速度響應(yīng)，有效提高了主動(dòng)隔振系統(tǒng)的隔振效果.從圖9可以看出，隔振系統(tǒng)動(dòng)撓度峰值均在可用工作空間之內(nèi)，沒(méi)有撞擊限位塊.隔振系統(tǒng)底座動(dòng)位移則影響平臺(tái)底座與路面的附著效果，與系統(tǒng)穩(wěn)定性有關(guān).

根據(jù)圖10所示，經(jīng)過(guò)PID 控制之后的主動(dòng)隔振系統(tǒng)動(dòng)位移峰值有所降低，使得隔振系統(tǒng)較之前穩(wěn)定性有所提高.通過(guò)圖8～10可知，添加PID 控制的主動(dòng)隔振系統(tǒng)比被動(dòng)隔振平臺(tái)的隔振效果更明顯.在使隔振系統(tǒng)動(dòng)撓度和動(dòng)位移降低的同時(shí)，降低了對(duì)于影響精密加工質(zhì)量最重要的指標(biāo)加速度的響應(yīng)，有效提高了機(jī)床主動(dòng)隔振系統(tǒng)的隔振效果.

4 結(jié) 語(yǔ)

以機(jī)床的振動(dòng)為例，選擇了四自由度的隔振模型，并建立了四自由度隔振模型的動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和隨機(jī)輸入模型，采用了PID主動(dòng)控制方法，并用Simulink 重點(diǎn)仿真了該模型在隨機(jī)信號(hào)輸入下幾個(gè)重要參考量的行為特性.仿真表明：具有PID 控制器的主動(dòng)控制系統(tǒng)在隔離振動(dòng)方面效果明顯優(yōu)于被動(dòng)隔振系統(tǒng)，為今后對(duì)該模型實(shí)施其他主動(dòng)控制方法打下基礎(chǔ)，但是PID 控制是較傳統(tǒng)的一種方法，還有待探究適應(yīng)性更好、更精確的主動(dòng)控制方法.

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