基于灰色－模糊馬爾可夫鏈模型的滑坡變形預測

朱惠群 陳洪凱

（重慶交通大學巖土工程研究所，重慶 400074）

滑坡的演變對人類的生活生產(chǎn)活動有著巨大的影響，準確地預報滑坡系統(tǒng)的演變具有重要的現(xiàn)實意義.而滑坡系統(tǒng)是一個受地質(zhì)條件、地下水以及人類工程活動等多種因素影響的非線性動力系統(tǒng)，其演變規(guī)律極為復雜，表現(xiàn)出的力學參數(shù)及力學現(xiàn)象帶有明顯的不確定性和隨機性.滑坡位移變形的分析也成了工程技術(shù)難題之一［1－3］.

灰色理論由鄧聚龍教授［4］提出，常見的GM（1，1）模型被廣泛地應用到社會、工業(yè)、地質(zhì)等眾多學科.但是單一的GM（1，1）模型對于滑坡位移預測具有較大的誤差，無法達到預測精度要求.各方學者也曾提出許多修正方法［5－7］.本文在誤差修正方面運用模糊數(shù)學思維，提出采用GM（1，1）－Fuzzy－Markov模型對相對誤差進行二次預測，相比單一GM（1，1）模型預測的精度得到提升，效果顯著.

1 GM（1，1）－fuzzy－Markov模型

1.1 滑坡變形的GM（1，1）預測

其中

經(jīng)過累減還原得到｛dt｝的預測模型

1.2 相對誤差的Fuzzy－Markov模型

傳統(tǒng)的Markov模型［8－10］只能將元素劃分入明確的子集合，而這對于邊界不明確的相對誤差it過于絕對化，運用模糊理論將元素和集合之間用隸屬度的方式拓廣到［0，1］［11－13］.根據(jù)這個思想首先對相對誤差k進行模糊狀態(tài)的劃分.劃分出的k 個模糊狀態(tài)E1，E2，…，Ek其隸屬函數(shù)需要滿足：

由此得到模糊狀態(tài)矩陣E

設(shè)系統(tǒng)經(jīng)過了m 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移，則轉(zhuǎn)移概率可作如下定義：

由狀態(tài)Me經(jīng)m 步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Mj的轉(zhuǎn)移頻數(shù)為

設(shè)第t個時間的狀態(tài)向量為It

其中m′為采用幾步轉(zhuǎn)移步數(shù)累加預測，一般取5，cm為第m 步的轉(zhuǎn)移權(quán)重.cm可由各階自相關(guān)系數(shù)rm規(guī)范化得到，即

2 實例分析

本文以重慶云陽涼水井滑坡監(jiān)測為例，進行短期預報分析.涼水井滑坡為推移式的深層大型、復活型土質(zhì)老滑坡，位于云陽縣水讓村8組長江右岸斜坡地帶，滑坡整體平面形態(tài)呈“U”形，后部地形呈近似圈椅狀，南高北低，中后部地形較陡，前部地形較緩，自然坡度30～35°.涼水井滑坡滑體（Q4del）為滑坡堆積，主要由含角礫粉質(zhì)粘土、人工填土、含碎石、塊石粘土以及砂、泥巖塊石組成；滑床為侏羅紀中統(tǒng)沙溪廟組（J2s）互層砂巖、泥巖；滑動帶為滑坡堆積與下伏基巖接觸帶，滑動方向與現(xiàn)坡向基本一致.

圖1為一監(jiān)測點2009年4月6日～2009年5月8日的監(jiān)測數(shù)據(jù)，共33組數(shù)據(jù).假設(shè)最后4組數(shù)據(jù)未知，使用前29組數(shù)據(jù)計算GM（1，1）模型，得到GM（1，1）預測公式：

圖1 涼水井滑坡一監(jiān)測點實測曲線

根據(jù)上述的GM（1，1）預測公式，可以得到33組預測位移～dt＋1，t＝1，2，…，33，由于灰色預測頭部具有較大的波動略去前4組數(shù)據(jù)，并計算從第5組開始到第33組的相對誤差序列it，t＝5，6，…，33.運用it的前25組數(shù)據(jù)進行Markov和fuzzy－Markov對最后4組數(shù)據(jù)進行滾動預測.

對it，t＝5，6，…，29進行模糊狀態(tài)劃分，介于it多數(shù)元素取值區(qū)間為（－10%，10%），選取－10%，－5%，0，5%，10%這5個邊界點，構(gòu)造如下隸屬函數(shù)：

隸屬函數(shù)分布如圖2所示.

圖2 模糊隸屬函數(shù)分布圖

取m′＝5計算P（m）E，通過累積加權(quán)概率分別得到第30～33組的狀態(tài)預測向量～It＋1，選取最大可能性區(qū)間的中值作為i值的修正值.對i值修正后與單一的GM（1，1）模型進行對比，觀察誤差是否得到縮小及精度提高效果.

運用GM（1，1）－Markov模型計算出的修正后i值一同列入表1中進行對比.在對比關(guān)于i的Markov模型狀態(tài)等分4 組與等分5 組后，表中給出結(jié)果相對要好的等分5 組預測后的修正i值參與對比.fuzzy－Markov預測結(jié)果均屬于第二狀態(tài)與實際相符，根據(jù)E2的上限和下限分別為0和－10%，給出了經(jīng)過預測中值－5%修正后的相對誤差，其相對單一的GM（1，1）模型有較大的精度提升，得到令人滿意的預測效果，比傳統(tǒng)Markov預測效果更好.

表1 位移預測對比成果表

3 結(jié) 論

1）本文提出滑坡變形的GM（1，1）－fuzzy－Markov模型，并通過實際算例驗證了該模型在滑坡變形預測方面的可行性與適用性，為滑坡變形預測問題的解決提供了有益的思考與探索.

2）通過引入fuzzy－Markov理論，在一定程度上避免單一GM（1，1）理論無法預測波動性的局限，實現(xiàn)較好的預測，同時提高了預測精度.

3）與GM（1，1）－Markov模型對比說明了，在模糊狀態(tài)劃分下的Markov模型能更好地利用數(shù)據(jù)信息，避免硬劃分造成的信息丟失，帶來更佳的預測效果.

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