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      基于最小方差的聲速測量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不確定度分析尺度

      2013-12-24 06:39:52徐仰彬
      大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) 2013年3期
      關(guān)鍵詞:估計(jì)量駐波真值

      徐仰彬

      (西安建筑科技大學(xué),陜西 西安 710055)

      在物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中,經(jīng)常會(huì)通過多次測量取平均值來減少實(shí)驗(yàn)誤差。但是在測量的過程中往往會(huì)忽略估計(jì)值對(duì)真值的影響,或者會(huì)認(rèn)為測量次數(shù)越多,結(jié)果越準(zhǔn)確。經(jīng)過筆者研究發(fā)現(xiàn),事實(shí)并非如此。比如在聲速測量試驗(yàn)中,求駐波波長的時(shí)候,需要通過多次測量取平均值來逼近真值。

      1 對(duì)測量數(shù)據(jù)的估計(jì)

      測量波長時(shí),需要對(duì)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),因?yàn)楣烙?jì)是數(shù)據(jù)的函數(shù),而數(shù)據(jù)是隨機(jī)變量,估計(jì)也是隨機(jī)變量,定義估計(jì)量為A,因?yàn)槭菍?duì)同一個(gè)物理量(波長)的多次測量。數(shù)據(jù)分布類似于帶噪聲的直流電平,這里我們數(shù)學(xué)建模為[2,3,4,6]:

      x[n]為每次的測量量,w[n]為白高斯噪聲(WGN)具有均值為零,方差為σ2的高斯分布,并且所有測量數(shù)據(jù)互不相關(guān),因?yàn)樾盘?hào)來源為電信號(hào),同時(shí)誤差分布均勻,所以采用WGN抽象是合理的。

      對(duì)A的一個(gè)估計(jì)量可以定義為:

      當(dāng)A為無偏估計(jì)時(shí),可以得到其概率密度函數(shù)(PDF):

      為了進(jìn)一步分析各參量對(duì)結(jié)果的影響,取不同頻率時(shí)的信號(hào)進(jìn)行駐波法測量,來分析PDF與A之間的關(guān)系,如圖1所示。

      圖1 σ=1和σ=所對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)

      從圖1中可以看出白高斯噪聲的方差對(duì)結(jié)果有明顯的影響,當(dāng)σ2較小的時(shí)候,波長的估計(jì)值更接近于真值。從而可以得到估計(jì)量的精度是隨著σ2減小而改善的。白高斯噪聲主要來源于信號(hào)的產(chǎn)生及疊加,所以進(jìn)行駐波法求波長的時(shí)候需要找到諧振點(diǎn),只有在諧振的狀態(tài)下才能使其方差最小。

      2 實(shí)驗(yàn)估計(jì)值對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的影響

      為度量估計(jì)值的精度,我們約束偏差為零,從而求出使方差最小的估計(jì)量,對(duì)p(x;A)的對(duì)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)的曲率[1,5,7,8]。

      其一階導(dǎo)數(shù)為:

      二階導(dǎo)數(shù)為:

      根據(jù)cramer-Bao下限定理可知:

      當(dāng)p(x;A)滿足“正則”條件

      那么對(duì)任何無偏估計(jì)量A的方差必定滿足

      所以綜合上式,可以得到:

      圖2 方差隨N的變化關(guān)系

      通常由于系統(tǒng)誤差的存在,使得估計(jì)量A會(huì)存在一定的偏差,當(dāng)A為有偏估計(jì)時(shí),定義:

      其中B(T)為估計(jì)量的偏移量,T為真值。

      圖3 測量次數(shù)與偏移量之間的關(guān)系

      從圖3中可以看出當(dāng)存在偏移量的時(shí)候,隨著測量次數(shù)的增加,真值落到估計(jì)值范圍中的概率會(huì)越來越低,當(dāng)達(dá)到一定的次數(shù)后,真值出現(xiàn)在測量值范圍內(nèi)的概率將趨近0,從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論。所以在測量的過程中并不是測量次數(shù)越多越好。

      3 結(jié) 論

      通過采用cramer-Bao下限定理對(duì)聲速實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不確定度進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)并不是測量次數(shù)越多實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確,而是依賴于估計(jì)量的偏移程度,在盡量減小系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差及盡量提高信號(hào)的信噪比的情況下,測量次數(shù)保證在8~10次即可。

      [1]康偉芳,薛玉春.物理實(shí)驗(yàn)中的不確定度及其在聲速測量過程的應(yīng)用[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2006,19(1):71-73.

      [2]孫航賓,黃篤之,張禹濤.聲速測量實(shí)驗(yàn)假象的探討[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2011,24(4):51-53.

      [3]鄭慶華,聲速測量實(shí)驗(yàn)的探討[J].大學(xué)物理,2007,26(9).

      [4]陳潔,蘇建新.聲速測量實(shí)驗(yàn)有關(guān)問題的研究[J].物理實(shí)驗(yàn),2008,28(6):31-34.

      [5]凌亞文,史彭,華中文.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[J].科學(xué)出版社,2006.

      [6]李道夲.信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢測與估計(jì)理論[J].科學(xué)出版社,2004.

      [7]孫航賓.聲速測量實(shí)驗(yàn)假象的探討[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2011,08:50-52.

      [8]張俊玲.駐波法測量聲速實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差分析[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2012,10:81-83.

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