李魁彬，王安穩(wěn)，施連會，鄧 磊

（海軍工程大學(xué) 理學(xué)院，武漢430033）

國內(nèi)外針對射彈超空泡形態(tài)已有許多研究，其計算主要通過由實驗數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗公式[1－3]、CFD軟件仿真[4]和基于Logvinovich原理的數(shù)值計算[5－7]3 種 途 徑。 本 文 基 于 Logvinovich 原 理、Riabouchinsky[8]空泡閉合模型和射彈動力學(xué)方程，通過適當(dāng)簡化，推導(dǎo)出射彈運動過程中空泡形態(tài)解析解和空泡參數(shù)的計算公式。計算結(jié)果與經(jīng)驗公式吻合良好，說明本文推導(dǎo)的正確性。

1 方程的建立

1.1 參考坐標(biāo)系

超空泡射彈高速運動，重力的作用可以忽略，其運動軌跡近似為直線[9]。本文主要研究水平直航的射彈?？臻g上，以射彈初始點為原點O，以射彈空化器為原點o，X、x軸正方向均為運動方向，分別建立如圖1所示的慣性坐標(biāo)系OXY和彈體坐標(biāo)系oxy。時間上，以初始時刻為零點，建立絕對時間軸t；以射彈空化器運動處的時刻為零點，建立與絕對時間軸方向相反的相對時間軸tx。

圖1 坐標(biāo)系和空泡擴展示意圖

1.2 Logvinovich獨立擴展方程

Logvinovich基于勢流理論提出了空泡截面獨立膨脹原理[2，10]，其在絕對坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)方程為

式中：ξ＝X（t2），S（ξ，t）為ξ處t時的空泡面積；k1＝4π/A2，A為微弱依賴于空泡數(shù)σ的系數(shù)，通常取經(jīng)驗常數(shù)2；p∞（ξ）為與ξ處于相同水平面無窮遠(yuǎn)處的壓強；pc（t）為空泡內(nèi)壓強，在自然超空泡中，pc（t）為飽和蒸汽壓pc；p1（t）為外部瞬時擾動壓強；X（t1），X（t）分別為射彈首端運行到空泡閉合處的時間t1、到達(dá)空泡開始處的時間t時在X軸上的坐標(biāo)。

空泡擴展的初始條件為

式中：Rn為射彈空化器半徑；v（t2）為空化器通過截面ξ時的速度；Cx＝Cx0（1＋σ），為阻力系數(shù)，Cx0為σ＝0時的阻力系數(shù)，對于圓盤空化器，Cx0＝0.827。

1.3 超空泡航行體動力學(xué)方程

水平直航超空泡射彈的動力學(xué)方程為

式中：m為射彈質(zhì)量，patm為大氣壓，H為射彈在水中的深度，v為射彈速度。

1.4 空泡閉合模型

空泡尾部閉合采用Riabouchinsky模型，當(dāng)空泡截面積等于空化器面積時空泡閉合。

2 公式簡化及推導(dǎo)

不考慮外部瞬時擾動壓強p1（t），根據(jù)坐標(biāo)系之間的關(guān)系，對于射彈，將式（2）代入，式（1）在彈體坐標(biāo)系下可化為

式中：Δp＝p（ξ）－pc，p（ξ）＝patm＋ρgH，tx為相對時間軸下的時間。

結(jié)合空泡閉合模型得：不考慮瞬時擾動壓強，完整自然超空泡的擴展時間等于空泡閉合處空泡截面從空泡產(chǎn)生到空泡閉合的擴展時間，僅依賴于航行體經(jīng)過空泡閉合處時的參數(shù)；空泡最大長度由擴展時間和航行體在這段時間的運動決定。完整空泡擴展時間公式為

求解方程（3）得射彈的位移和速度的解析解：

式中：α＝－ρSnCx0/（2m），β＝2Δp/ρ，v0為射彈初始速度，Sn為空化器面積。

考慮完整空泡擴展時間非常短，高速下壓差影響較小，可忽略。空泡擴展過程中射彈位移和速度的解析解為

通過坐標(biāo)變換，得到相對時間軸下射彈的速度和彈體坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)：

式中：v（t）為t時空化器的速度，v（tx）為t2時空化器速度，t2對應(yīng)于相對時間軸的tx。

聯(lián)立式（4）和式（8）得射彈速度v（t）時彈體坐標(biāo)系下空泡形態(tài)橫、縱坐標(biāo)公式：

式（6）、式（9）和式（10）組成了射彈運動過程中任意時刻超空泡形態(tài)計算公式。

考慮完整空泡擴展過程中Cx變化很小，Cx≈Cx｜t＝0，可得空泡的參數(shù)公式。

考慮空泡在射彈尾部閉合，從超空泡變?yōu)榫植靠张輹r 的 空 泡 數(shù)：σ＝γ/（4e2αl－4eαl），其 中，γ，l為射彈長度。

空化器周圍，eαx－1≈αx，空泡數(shù)對空泡半徑影響很小，可以忽略，式（10）可化為近似“1/3法則”的公式：

3 算例和分析

取參數(shù)Rn＝0.001 m，m＝0.15kg，l＝0.06 m，v0＝1 000m/s，patm＝0.101MPa，pc＝2 350Pa，H＝1m。

分析射彈首尾壓差對速度的影響，如圖2所示。射彈速度越大，深度越小，首尾壓差對速度影響越?。划?dāng)v≥100 m/s，H≤100 m 時，其影響可以忽略；當(dāng)射彈速度較小、深度較大時，計算需要考慮壓差的影響。

圖2 射彈速度隨時間的變化

Savchenko[1]根據(jù)試驗提出適用于空泡數(shù)0.012～0.057的空泡無量綱半徑公式：＝3.659＋0.847－2.0）－0.236σ－2.0）2≥2.0?？栈髦車张莶捎谩?/3法則”經(jīng)驗公式：

Logvinovich[2]認(rèn)為，在小空泡數(shù)下超空泡無量綱直徑和長度滿足如下經(jīng)驗公式：

式中：κ＝0.9～1，空泡數(shù)適用范圍為0～0.25。

利用所推導(dǎo)的公式，計算了σ＝0.02，v＝102.7m/s時的空泡形態(tài)，分析了空泡無量綱長度lc/Rn與空泡數(shù)的關(guān)系，如圖3、圖4所示，結(jié)果與經(jīng)驗公式吻合良好。

圖3 σ＝0.02時的空泡形態(tài)

圖4 空泡無量綱長度隨空泡數(shù)的變化關(guān)系

圖5反映了絕對時刻空泡在慣性坐標(biāo)系中的形態(tài)，便于實時觀察空泡隨射彈運動的變化。

圖5 不同時刻空泡在慣性坐標(biāo)系下的形態(tài)

如圖6所示，射彈運動過程中完整空泡擴展時間tc非常短，約10－3～10－2s；隨著射彈運動時間的增加，擴展時間是減小的，且逐漸趨于平緩。

圖6 完整空泡擴展時間與射彈運動時間的關(guān)系

結(jié)合算例計算可得，超空泡轉(zhuǎn)變?yōu)榫植靠张輹rσ≈0.06，射彈速度v≈60m/s。

將式（11）與“1/3”法則進行比較，如圖7所示，本文公式與經(jīng)驗公式相比計算結(jié)果略小，這可能是由阻力系數(shù)的選取和微小量的忽略引起的。

圖7 式（11）與“1/3”法則比較

4 結(jié)論

本文根據(jù)Logvinovich空泡截面獨立膨脹原理、Riabouchinsky空泡閉合模型和射彈動力學(xué)方程，利用坐標(biāo)變換，推導(dǎo)了射彈運動過程中空泡形態(tài)解析解，得到了空泡參數(shù)的計算公式，便于實時描畫射彈超空泡特征；并且利用算例進行了計算分析。結(jié)論如下：

①推導(dǎo)公式計算結(jié)果與經(jīng)驗公式吻合良好，空化器周圍的空泡尺寸簡化計算公式所得結(jié)果比經(jīng)驗公式略小。

②不考慮擾動壓強，自然條件下完整空泡的擴展時間僅依賴于航行體經(jīng)過空泡閉合處時的參數(shù)；超空泡的最大長度取決于完整空泡擴展時間和物體運動狀態(tài)。

③射彈速度越大，深度越小，首尾壓差對速度影響越??；當(dāng)v≥100m/s，H≤100m時，影響可以忽略；當(dāng)射彈速度較小，深度較大時，需要考慮前后壓差的影響。

④完整空泡擴展時間非常短，且隨著射彈運動時間增大而減小，逐漸趨于平緩。

⑤空泡數(shù)為0.06，射彈速度為60m/s左右時，超空泡開始蛻化為局部空泡。

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