史 鯤，梁曉庚

（西北工業(yè)大學 自動化學院，西安710072）

傳統(tǒng)空空導彈末制導律多為比例導引律或者擴展的比例導引律，這種導引律結(jié)構(gòu)簡單、便于工程實現(xiàn)，但缺點是對于目標的大范圍機動和初始條件的變化，其魯棒性較差。

線性和非線性H∞魯棒控制理論是處理包含不確定性和擾動系統(tǒng)控制問題的一種行之有效的方法[1]，該方法不僅已經(jīng)應(yīng)用于飛行器自動駕駛儀的設(shè)計[2]，許多學者也將其應(yīng)用在導彈末制導律的設(shè)計中。如文獻[3－4]通過求解哈密爾頓－雅克比偏微分不等式（HJPDI），得到了非線性H∞魯棒制導律，但由于求解偏微分不等式十分困難，因此難以在實際工程中使用。郭建國等[5]提出了一種全局非線性H∞魯棒末制導律，該方法利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論嚴格證明了制導系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，無需求解復雜的HJPDI，通過數(shù)字仿真驗證了該制導律具有較強的魯棒性和較高的制導精度。但由于傳統(tǒng)空空導彈以固體火箭發(fā)動機作為動力裝置，導彈速度不可調(diào)節(jié)，因此并未對彈目相對運動速度進行控制。

當前，隨著燃氣流量調(diào)節(jié)技術(shù)的發(fā)展[6]，變流量沖壓發(fā)動機憑借其優(yōu)越的性能，逐漸成為導彈的動力裝置。例如歐洲的“流星”先進空空導彈，采用了可變流量的整體式固體火箭沖壓發(fā)動機作為其動力裝置[7]，通過對燃氣流量的調(diào)節(jié)，不僅可以擴大沖壓發(fā)動機的有效工作范圍，還可以調(diào)節(jié)推力的大小，從而改變導彈的徑向加速度，實現(xiàn)真正的六自由度控制。

本文以速度可調(diào)空空導彈為背景，基于末制導律設(shè)計中的準平行接近原理，結(jié)合非線性H∞魯棒控制方法，將目標機動看作外部擾動，設(shè)計了一種即具有較強魯棒性，又能夠充分發(fā)揮沖壓發(fā)動機的推力調(diào)節(jié)能力，實現(xiàn)導彈快速攻擊目的的非線性魯棒末制導律。最后通過數(shù)字仿真與結(jié)果分析，驗證了該制導律的性能和優(yōu)勢。

1 魯棒末制導問題的數(shù)學描述

將導彈和目標看作質(zhì)點，考查如圖1所示的彈目相對運動示意圖。圖中，M和T分別表示導彈和目標。坐標系OX0Y0Z0為慣性坐標系，原點O與導彈重合。坐標系OXYZ為末制導視線坐標系，其中，OX軸與彈目視線重合，指向目標方向為正，OY軸處于鉛垂平面內(nèi)，向上為正，OZ軸按右手法則確定。兩坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系由q和ψ2個角度表示，分別為彈目視線的俯仰角和方位角，即慣性坐標系經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)，就可與視線坐標系重合。

圖1 彈目相對運動幾何關(guān)系圖

令r為彈目相對距離，ami和ati（i＝x，y，z）分別為導彈和目標的加速度在視線坐標系上的分量，利用矢量的求導法則，可以得到三維彈目相對運動方程組[8]：

令

則式（1）所示的彈目相對運動學方程可改寫為

將式（2）中的uj（j＝1，2，3）視為控制量，ωj（j＝1，2，3）視為外部擾動，則H∞魯棒末制導律設(shè)計問題就可以表述如下。

對于給定的系數(shù)γ，系統(tǒng)在導彈控制量u＝（u1u2u3）T的作用下，在任意初始位置，對于有界外部擾動ω＝（ω1ω2ω3）T，都有

成立。式中：z為加權(quán)輸出指標向量；系數(shù)γ表示對目標機動的敏感程度，一般選為γ≥1。

2 三維魯棒制導律設(shè)計

考慮彈目相對運動方程式（2），將魯棒制導律設(shè)計為如下形式：

式中：kj，vj（j＝1，2，3）待定。

根據(jù)制導律設(shè)計中的準平行接近原理，設(shè)計的魯棒制導律應(yīng)使彈目視線角速度盡量趨近于0，即→0，→0。又由于空空導彈采用可調(diào)推力的整體式固體火箭沖壓發(fā)動機作為其動力裝置，制導律還應(yīng)該保證彈目相對速度在整個末制導攔截過程中至少不要衰減，從而縮短攔截時間。為此，令系統(tǒng)式（2）的加權(quán)輸出指標向量為

式中：＋k項是為了保證足夠大的彈目相對速度，k是一個大于0的常數(shù)，其值在后文中確定。選擇v1，v2和v3項作為系統(tǒng)的輸出量，目的是希望導彈所需要的機動能量最小。

根據(jù)李雅普諾夫理論，引入正定李雅普諾夫函數(shù)：

式中：｜q｜＜π/2。對V進行求導，得：

如果≤0，則閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。再定義函數(shù)：

式中：v＝（v1v2v3）T。由最優(yōu)控制理論，對于不同的目標機動，解方程：

式中：

再考慮所需要機動的能量最小，解方程：

代入H1中，可得：

顯然，當滿足如下條件：時，有H1（，，，v，t）≤0。則 由 式（9），又 有γ≥1，可得H（，，，v，ω＊，t）≤0。也就是在式（10）的 條件下，當γ≥1時，有：

由于

代入式（11）可得：

根據(jù)李雅普諾夫第二法可知，閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。特別當系統(tǒng)擾動ω（t）＝0，即目標不機動時，有：

對式（11）兩邊積分得：

式中：V0為系統(tǒng)初始時刻的李雅普諾夫函數(shù)。由于制導律的設(shè)計采用了準平行接近原理，使得在整個末制導過程中，彈目視線俯仰角速度和方位角速度都非常?。?≈0，2≈0），則可以忽略式（8）中的后兩項，那么如果0＋k＝0，就可以認為V0近似等于0；又由于彈目接近速度的變化在量級上比和大得多，則可以得出V－V0≥0。通過以上分析可知，如果令

就可以得到：

可得出如下結(jié)論：當如式（4）～式（6）所示的制導律滿足式（10）時，該制導律具有H∞魯棒性。由式（10）所示的條件，可以取

首先確定k′1。將k1代入式（10）中第一式，可得（＋k）2k′1≤0，該式是要保證制導律對目標機動atx具有魯棒性，因此選擇：

再確定k′2和k′3。將k2代入式（10）中第二式，得2k′2≤0。由于在導彈飛向目標的過程中，＜0，因此k′2的取值應(yīng)不小于0。當ω（t）＝0，將k2和v2＝/2代入式（1），可得根據(jù)準平行接近理論，應(yīng)保證趨近于0，由此，可得k′2的取值范圍為

同樣地，可求出k′3的取值范圍為

k′2和k′3不僅保證了制導律對目標機動aty和atz的魯棒性，還決定了實現(xiàn)角速度趨近于0的速度。但其取值并非絕對值越大越好，還應(yīng)該結(jié)合導彈飛行中實際過載的能力，合理地選擇k′2和k′3的取值。同樣，k′1的取值也應(yīng)考慮導彈過載和推力的限制。

至此，可以給出由式（4）～式（6）、式（10）、式（15）～式（18）所示的速度可調(diào)空空導彈非線性H∞魯棒末制導律。

對于參數(shù)k的選擇，式（13）可以解釋為希望導彈通過改變自身的速度，在整個末制導過程中保持末制導初始時刻的彈目相對速度而不衰減，從而以較短的時間擊中目標。然而，該選擇將導致一個嚴重的問題，即當目標本身的機動使得彈目相對速度的絕對值｜｜增大時，制導律將使導彈在視線方向上減速，反而增加了導彈的攔截時間。為此，對制導律的第一項u1做如下修正，即當｜｜－｜0｜≥0，也就是彈目相對速度大于或等于初始相對速度時，令u1＝0；當｜｜－｜0｜＜0時，u1等于按照前述制導律解算所得值。這樣一來，可以保證導彈的攔截時間：

3 末制導律仿真及分析

考慮縱向平面內(nèi)的攔截問題，設(shè)定導彈和目標的仿真初始條件如下。

導彈的位置為慣性坐標系下Xm0＝0；Ym0＝5km；導彈的初始速度vm0＝1 200 m/s，彈道傾角θm0＝0；目標的位置為慣性坐標系下Xt0＝10km，Yt0＝10km；目標的初始速度vt0＝300m/s，彈道傾角θt0＝π；目標在彈道坐標系（O2X2Y2Z2）下的切向加速度和法向加速度分別為atx2＝ －20m/s2和aty2＝－80m/s2，也就是說，目標不僅具有改變速度方向的機動，還具有改變速度大小的機動。

制導律中參數(shù)的選擇為k′1＝－0.1，k′2＝1，k′3＝－1。

為了將本文設(shè)計的末制導律（TGL1）與不控制彈目相對速度的末制導律（TGL2）（即式（4）中u1＝0）相比較，在相同的初始條件下，先后對2種制導律進行了仿真。仿真對比結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 彈目相對運動軌跡對比圖

圖3 命中點放大圖

圖4 視線角速度對比圖

圖5 彈目相對速度對比圖

圖2為2種制導律仿真所得的彈目相對運動軌跡對比圖。從圖中可以看出，與不控制彈目相對速度的末制導律相比，本文設(shè)計的末制導律在彈道上更為平滑一些。從圖3所示的命中點放大圖可以看到，盡管2種末制導律都能以較高的精度（TGL1的脫靶量為0.199m，TGL2的脫靶量為0.465m）命中目標（從圖4中可以看出，2種末制導律都能將視線角速度控制在0（°）·s－1附近），但本文設(shè)計的末制導律在攔截時間上卻具有明顯的優(yōu)勢，二者相差將近2s。這一點也可從圖5所示的彈目相對速度對比圖中得到說明。在不控制彈目相對速度的制導律的作用下，彈目相對速度的絕對值衰減較大，而本文設(shè)計的末制導律能使彈目相對速度幾乎保持在一個常值，體現(xiàn)了其優(yōu)勢。

4 結(jié)束語

本文針對采用可變流量固體火箭沖壓發(fā)動機作為動力系統(tǒng)的速度可調(diào)空空導彈，基于非線性H∞魯棒控制思想，通過選擇合適的李雅普諾夫函數(shù)，不僅保證了制導系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，還推導出了能夠控制彈目相對速度的魯棒末制導律。數(shù)字仿真表明，該制導律對于目標大范圍機動具有較強的魯棒性，制導精度較高，明顯縮短了導彈攔截時間，能夠充分發(fā)揮先進動力系統(tǒng)的特點和優(yōu)勢，具有一定的前瞻性和工程應(yīng)用參考價值。如何將該制導律與沖壓發(fā)動機推力調(diào)節(jié)控制、氣動舵控制相結(jié)合，是今后研究的重點。

[1]梅生偉，申鐵龍，劉志康.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用[M].北京：清華大學出版社，2003.MEI Sheng－wei，SHEN Tie－long，LIU Zhi－kang.Modern robust control theory and application[M].Beijing：Tsinghua University Press，2003.（in Chinese）

[2]GOMAN M，SIDORYUK M，USTINOV A.Control law designs for flexible aircraft：comparison of theH∞－based and classical methods，AIAA2005－6265[R].2005.

[3]李新國，陳士櫓.非線性H∞魯棒制導律設(shè)計[J].宇航學報，2000，21（增刊）：48－51.LI Xin－guo，CHEN Shi－lu.Study of nonlinearH∞r(nóng)obust guidance law[J].Journal of Astronautics，2000，21（S）：48－51.（in Chinese）

[4]CHEN H Y.3DnonlinearH∞/H2law with dissipative theory，AIAA2002－5024[R].2002.

[5]郭建國，周軍.基于H∞控制的非線性末制導律設(shè)計[J].航空學報，2009，30（12）：2 423－2 427.GUO Jian－guo，ZHOU Jun.Design ofH∞control based nonlinear terminal guidance law[J].Acta Aerodynamica et Astronautica Sinica，2009，30（12）：2 423－2 427.（in Chinese）

[6]牛文玉.燃氣流量可調(diào)的固體火箭沖壓發(fā)動機控制方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2009.NIU Wen－yu.Study on control methods for variable flow ducted rockets[D].Harbin：Harbin Institute of Technology，2009.（in Chinese）

[7]曹軍偉，王虎干.固體火箭沖壓發(fā)動機在空空導彈上應(yīng)用的優(yōu)勢[J].航空兵器，2009（2）：47－49.CAO Jun－wei，WANG Hu－gan.Predominance of ducted solid rocket ram jet applied to airborne missile[J].Aero Weaponry，2009（2）：47－49.（in Chinese）

[8]佘文學，周鳳岐.三維非線性變結(jié)構(gòu)尋的制導律[J].宇航學報，2004，25（6）：681－685.SHE Wen－xue，ZHOU Feng－qi.High precision 3－D nonlinear variable structure guidance law for homing missile[J].Journal of Astronautics，2004，25（6）：681－685.（in Chinese）