[摘 要]現(xiàn)在我國養(yǎng)老金改革處于過渡期，養(yǎng)老金替代率嚴(yán)重影響著養(yǎng)老基金的收支平衡，替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。針對此問題，本文根據(jù)山東省2011—2050年的工資預(yù)測表，以及2009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表，研究職工從30、40歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)直到退休（55、60、65歲）情況下的各種養(yǎng)老金替代率，建立基本養(yǎng)老金模型，在此基礎(chǔ)上得到替代率的模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Matlab計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，同時(shí)計(jì)算職工繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡時(shí)該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金的年數(shù)。本文將從養(yǎng)老金替代率、養(yǎng)老基金收支平衡等方面，對養(yǎng)老金制度改革提出分析和建議。

[關(guān)鍵詞]Matlab；替代率；基金收支平衡

[中圖分類號]F842.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1005-6432（2013）12-0051-04

隨著老齡化社會的到來，世界各國養(yǎng)老保險(xiǎn)體系受到了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，尤其是發(fā)展中國家尚未成熟的養(yǎng)老保險(xiǎn)體系。在面臨人口老齡化所帶來的養(yǎng)老金支付困難時(shí)，世界各國紛紛進(jìn)行改革，探索建立一個新的制度框架。我國為了適應(yīng)社會主義市場體制改革的需要，同時(shí)也是為了應(yīng)對老齡化社會的風(fēng)險(xiǎn)，從20世紀(jì)80年代中期開始，國家進(jìn)行了以“退休基金統(tǒng)籌”為主要內(nèi)容的基本養(yǎng)老金制度改革。

養(yǎng)老金制度建立的重要職能是通過國家和社會為老年人提供晚年的經(jīng)濟(jì)保障，其中，養(yǎng)老基金的籌集和保持基金的收支平衡是最重要的、最關(guān)鍵的問題，它關(guān)系到養(yǎng)老金制度是否能持續(xù)、有效地運(yùn)轉(zhuǎn)下去。因此，有必要對基金收支平衡進(jìn)行深入研究。

1 養(yǎng)老金替代率問題

1.1 基本假設(shè)

（1）個人賬戶的繼承額和管理費(fèi)用為零。

（2）基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的繳費(fèi)不考慮工資限額，而以職工的工資總額計(jì)算的平均工資作為計(jì)費(fèi)基礎(chǔ)。

（3）假設(shè)每一代人生活在工作和養(yǎng)老兩個時(shí)期。

1.2 符號說明

P——養(yǎng)老金；C——繳費(fèi)工資指數(shù)；

N——計(jì)發(fā)月數(shù)；M——繳費(fèi)年限；

qi——社會平均工資增長率Q=1+qi；r——個人賬戶記賬利率 R=1+r；

M——R與Q的比值；Ri——各個年齡段職工的工資總和；

W——社會平均工資；zi——各年齡段職工總數(shù)；

W0——社會工資基數(shù)，即參保前1年的上年度社會平均工資。

1.3 模型建立

首先我們根據(jù)2009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表，求得該企業(yè)職工繳費(fèi)指數(shù)作為參考值，取各年齡段繳費(fèi)指數(shù)的平均值計(jì)算以下6種情況下的養(yǎng)老金替代率。

養(yǎng)老金包括兩個部分：基礎(chǔ)養(yǎng)老金和個人賬戶養(yǎng)老金。基礎(chǔ)養(yǎng)老金的計(jì)算相對簡單，在我們的模型中把繳費(fèi)年限作為獨(dú)立變量，只要根據(jù)退休前一年社會平均工資的增長率就可以得出退休時(shí)的社會平均工資。個人賬戶養(yǎng)老金的計(jì)算相對復(fù)雜，因?yàn)閭€人賬戶是一個積累量，每年積累的量不一樣，同時(shí)還需要考慮記賬利息因素。在模型中，對個人賬戶的處理方法是逐年計(jì)算個人賬戶存儲額，并同時(shí)考慮該金額到退休時(shí)的本金及利息，最后將所有年度的本息進(jìn)行累加。

養(yǎng)老金計(jì)算模型。

基本養(yǎng)老金的計(jì)算公式為（具體推導(dǎo)過程略）：

P=[SX（]1[]2[SX）]×（1+C）×W0×QM×1%+[SX（]12×8%[]n計(jì)發(fā)月數(shù)[SX）]×C×W0×QM×[SX（]1-mM[]1-m[SX）]（1）

由上面的養(yǎng)老金計(jì)算模型可以很容易得到替代率的計(jì)算公式：

F替代率=[SX（]1[]2[SX）]×（1+C）×M+[SX（]12×8%[]n計(jì)發(fā)月數(shù)[SX）]×C×[SX（]1-mM[]1-m[SX）]（2）

1.4 模型求解

考慮到職工分別是從30、40歲開始繳納養(yǎng)老金保險(xiǎn)而又分別到55、60、65歲退休，所以養(yǎng)老金的替代率有6個值。我們利用Matlab軟件對其求解，其中變量工資增長率qi參照表2。

輸入程序：

m=[25 30 35 15 20 25]

q=[0.0495 0.0307 0.0177 0.0949 0.0770 0.0495]

n=[170 139 101 170 139 101]

for i=1∶6

f（i）=1/2*（1+1.04）*m（i）+（12*0.08）/n（i）*1.04*（1-（1.03/（1+q（i）））^m（i））/ （1-（1.03/（1+q（i））））

求得各個階段的替代率如表3所示。

2 養(yǎng)老保險(xiǎn)基金平衡問題

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)每年給付的養(yǎng)老金額度不變。

2.2 符號說明

b1——55歲時(shí)養(yǎng)老金年給付額；b2——60歲時(shí)養(yǎng)老金年給付額；

i——個人賬戶記賬利率；

b3——65歲時(shí)養(yǎng)老金年給付額；

B[DD（]..[DD）]k-1——k年期初（即退休當(dāng)年）各年養(yǎng)老金現(xiàn)值總和。

2.3 模型求解

基于第一個問題中解答過程模型一，我們可以計(jì)算出職工從30歲開始繳費(fèi)，到55歲、60歲、65歲退休，所得的養(yǎng)老金，從其退休后，即開始領(lǐng)取退休金直至75歲死亡問題描述。

中國職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)個人賬戶部分，采取以平均余命來確定養(yǎng)老金的方法。個人賬戶中繳費(fèi)一般按工資的一定比例繳納，個人賬戶中養(yǎng)老金發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)按退休職工的平均余命和利率來確定的。在個人賬戶儲存額模型中對個人賬戶的處理方法是逐年計(jì)算個人賬戶儲存額，并同時(shí)考慮金額到退休時(shí)的本金及利息，最后將所有年度的本息進(jìn)行累加。

2.3.1 個人賬戶儲存額的模型

由模型一基本養(yǎng)老金模型可知（過程推導(dǎo)在此省略）。

P個人賬戶儲存額=12×8%×c×W0×QMi×[SX（]1-（[SX（]1+r[]1+qi[SX）]）Mi[]1-（[SX（]1+r[]1+qi[SX）]）[SX）]（3）

輸入程序：

m=[25 30 35]

q=[0.0495 0.0307 0.0177]

for i=1∶3

f（i）=（0.08）*1.04*65123*（1+q（i））^m（i）*（1-（1.03/（1+q（i）））^m（i））/（1-（1.03/（1+q（i））））

求解得各個階段的個人賬戶存儲額為365240元、398730元、433020元。

2.3.2 養(yǎng)老金標(biāo)準(zhǔn)發(fā)放的模型

設(shè)養(yǎng)老金年給付額為b，平均余命為k年，個人記賬利率為i，養(yǎng)老金發(fā)放在年初進(jìn)行，則各年的養(yǎng)老金在平均余命期限k年年初（退休當(dāng)年的）的現(xiàn)值為：

第一年養(yǎng)老金在k年年初的現(xiàn)值：b；

第二年養(yǎng)老金在k年年初的現(xiàn)值：[SX（]b[]（1+i）[SX）]；

第k年養(yǎng)老金在k年年初的現(xiàn)值：[SX（]b[]（1+i）k-1[SX）]。

該職工在k年期初（即退休當(dāng)年）各年養(yǎng)老金現(xiàn)值總和：

B[DD（]..[DD）]k-1=b+[SX（]b[]（1+i）[SX）]+…+[SX（]b[]（1+i）k-1[SX）]=b[SX（]（1+i）k-1[]i（1+i）k-1[SX）]

b=P個人賬戶儲存額÷n計(jì)發(fā)月數(shù)×12（4）

輸入程序：

p=[365240 398730 433020]

q=[0.0495 0.0307 0.0177]

n=[170 139 101]

k=[20 15 10]

for i=1∶3

f（i）=p（i）/n（i）*12*（（1+q（i））^k（i）-1）/ q（i）*（1+q（i））^k（i）

end

求解得出各個階段的個人賬戶的養(yǎng)老金給付額為2228700元、1012900元、664400元。

2.3.3 社會養(yǎng)老保險(xiǎn)基金平衡判定模型

L=p個人賬戶儲存額-B[DD（]..[DD）]k-1=12×8%×c×W0×QM×

[SX（]1-（[SX（]1+r[]1+q[SX）]）M[]1-（[SX（]1+r[]1+q[SX）]）[SX）]-b[SX（]（1+i）k-1[]i（1+i）k-1[SX）]（5）

L為第k年養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支差額。當(dāng)L=0時(shí)，目標(biāo)期間內(nèi)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡；當(dāng)L>0時(shí)，目標(biāo)期間內(nèi)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收大于支；當(dāng)L<0時(shí)，目標(biāo)期間內(nèi)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收不低支。根據(jù)模型，利用matlab，代入數(shù)據(jù)得到社會養(yǎng)老基金收支結(jié)果如下：

養(yǎng)老金收入和支出之間的關(guān)系可以用表4來表示。

3 影響?zhàn)B老金收支平衡的因素

從上述諸多模型可以看出，在部分積累模型下，影響?zhàn)B老金收支平衡式的變量有：繳費(fèi)年限M、繳費(fèi)工資、工資增長率。

3.1 繳費(fèi)年限（退休年齡）

繳費(fèi)年限是決定養(yǎng)老金負(fù)擔(dān)水平的一個基本因素。在預(yù)期壽命和保障水平一定的情況下，提高繳費(fèi)年限，不僅可以縮短平均享養(yǎng)老金年限，降低養(yǎng)老基金支付總負(fù)擔(dān)，而且還可以相對延遲職工繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)的期限，增加養(yǎng)老基金的收入，從雙向有利于實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老基金收支平衡。據(jù)國際勞工局估計(jì)，退休年齡從60歲提高到65歲，養(yǎng)老金負(fù)擔(dān)降低50%。在人口年齡確定時(shí)，退休年齡越高，撫養(yǎng)比就越低。但一提到提高退休年齡，就會遇到就業(yè)壓力過大等問題。但只要我們分清造成我們國目前就業(yè)難的主要原因后，這個問題就容易破解。中國現(xiàn)階段失業(yè)壓力主要來源于結(jié)構(gòu)性失業(yè)。為了解決這一問題，如前面所述，我們應(yīng)該延長年輕人教育年限，限制就業(yè)的最低年齡。這樣分階段、有步驟的提高繳費(fèi)年限的設(shè)想是完全可以實(shí)現(xiàn)的。

3.2 繳費(fèi)工資

按照國家規(guī)定，企業(yè)應(yīng)以全部職工繳納工資基數(shù)之和作為繳費(fèi)基數(shù)。繳費(fèi)基數(shù)的大小對社?；鹗杖氲脑鰷p產(chǎn)生重要影響。在繳費(fèi)比例既定的前提下，繳費(fèi)基數(shù)大，基金收入額就大。

3.3 工資增長率

由于職工繳費(fèi)與領(lǐng)取的養(yǎng)老基金均按一定比例與工資掛鉤，因此一旦工資增長，職工繳費(fèi)與領(lǐng)取的養(yǎng)老基金也會隨著增長。根據(jù)上面模型分析可知，工資增長率對職工領(lǐng)取養(yǎng)老金的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對其所繳納的繳費(fèi)。因此降低工資增長率可以緩解養(yǎng)老金支付負(fù)擔(dān)。

4 結(jié) 論

由上分析可知，計(jì)費(fèi)基數(shù)低于工資總額、收繳率低、使比例居高不下。而高的繳費(fèi)比例又將進(jìn)一步使覆蓋面和收繳率降低，從而對基金收支平衡產(chǎn)生負(fù)面影響。為了扭轉(zhuǎn)這種情況，只有按照傳統(tǒng)論的思維方法，綜合采取各種有效措施，進(jìn)一步強(qiáng)化對養(yǎng)老基金征繳運(yùn)營及養(yǎng)老基金發(fā)放的監(jiān)督，建立符合中國國情的養(yǎng)老保險(xiǎn)運(yùn)行機(jī)制，逐步做到個人賬戶，有計(jì)劃、有步驟地提高就業(yè)年齡、退休年齡，適當(dāng)降低養(yǎng)老基金代替率，這樣才能從根本上解決養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡的問題。

模型的優(yōu)缺點(diǎn)：①該模型的假設(shè)在理論上是成立的，具有一定的合理性。②現(xiàn)實(shí)存在諸多不確定因素，例如，政府對每月繳納養(yǎng)老金的金額數(shù)量或者年齡利率有所改變時(shí)，可能會影響假設(shè)的條件，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不合理。③從問題出發(fā)，分析了應(yīng)該考慮的各種情況，建立了一般的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，從而證明了所建立的數(shù)學(xué)模型可以較好地解決實(shí)際問題。④用Matlab準(zhǔn)確地對眾多數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，在運(yùn)用Matlab進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以準(zhǔn)確且快速地進(jìn)行煩瑣的運(yùn)算。⑤為了使計(jì)算簡便，使所得的結(jié)果更理想化，忽略了一些次要因素。

參考文獻(xiàn)：

[1]張丹丹.Matlab在職工工資預(yù)測上的擬合應(yīng)用[J].才智，2011（12）.

[2]百度百科：養(yǎng)老金[EB/OL].http：//baike.baidu.comview4/07916.htm.

[3]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.

[4]唐煥文，賀明峰.數(shù)學(xué)模型引論[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.

[作者簡介]張丹丹（1982—），女，漢族，海南文昌人，海南經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。