摘 要：導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，而平均變化率是學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這一章的基礎(chǔ)，因此顯得尤為重要. 本節(jié)課的主要教學(xué)目的是通過(guò)實(shí)例直觀感知，理性構(gòu)建平均變化率的概念，從而進(jìn)一步理解“以直代曲”的辯證思維.

關(guān)鍵詞：變化率；平均變化率；以直代曲

■教學(xué)目標(biāo)

1. 通過(guò)對(duì)一些實(shí)例直觀感知、構(gòu)建平均變化率的概念，并初步運(yùn)用和加深理解平均變化率；

2. 滲透“以直代曲”的數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

3. 理解平均變化率的意義，為后續(xù)建立瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型提供豐富的背景；

4. 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)研究的一般方法：背景→數(shù)學(xué)→應(yīng)用.

■教學(xué)重點(diǎn)

平均變化率的實(shí)際意義與數(shù)學(xué)意義.

■教學(xué)難點(diǎn)

平均變化率的理解和運(yùn)用

■教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出研究問(wèn)題

教師：同學(xué)們，相信大家一定爬過(guò)很多的樓梯，那么，爬樓梯遇到下圖的兩種不同的樓梯時(shí)你們有什么不同的感受?。?？搖

（教師在投影儀上展示兩段“陡峭程度不同”的樓梯）

學(xué)生：爬“的樓梯”要累些，爬“圖2的樓梯”要輕松些.

教師：那是什么原因呢？

學(xué)生：圖1的樓梯要陡峭些，圖2的樓梯要平緩些.

教師：那能用我們熟悉的數(shù)學(xué)概念衡量樓梯的陡峭程度嗎？

學(xué)生：可以！用坡度來(lái)衡量樓梯的陡峭，用直線斜率的知識(shí)來(lái)說(shuō)明.

設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)好的問(wèn)題情境應(yīng)該能吸引人并具有明確的指向性. 本節(jié)課由學(xué)生熟悉的生活背景入手導(dǎo)出教學(xué)內(nèi)容，能一下子吸引學(xué)生，調(diào)動(dòng)學(xué)生，并且將學(xué)生的思考直接引向陡峭程度，為后面的教學(xué)埋下伏筆.

（二）案例分析，學(xué)生活動(dòng)與師生互動(dòng)

教師：下面我們來(lái)看這樣一段閱讀材料.

蘇州市2007年4月20日最高氣溫為33.4℃，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時(shí)間，氣溫“陡增”14.8℃，悶熱中的人們無(wú)不感嘆：“天氣熱得太快了！”

但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)兩者溫差為 15.1℃，甚至超過(guò)了14.8℃. 而人們卻不會(huì)發(fā)出上述感嘆. 這是什么原因呢？原來(lái)前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”.

教師：在上面的材料中，我們能否從數(shù)學(xué)角度來(lái)刻畫(huà)“氣溫陡峭”程度呢？

為了弄清這個(gè)問(wèn)題，我們先來(lái)觀察下面的氣溫曲線圖，

■

圖3

容易看出B、C之間的曲線較A、B之間的曲線更加“陡峭”，陡峭的程度反映了氣溫變化的快與慢.

教師：如何量化陡峭程度呢？

學(xué)生：可以用直線的斜率來(lái)刻畫(huà)曲線的陡峭程度.

教師：可是上述曲線圖中并沒(méi)有直線啊？

學(xué)生：分別將圖中的A、B與B、C連結(jié)起來(lái)，用這樣的直線來(lái)近似地量化兩段曲線的陡峭程度.

教師：為了進(jìn)一步量化曲線的陡峭程度，我們先來(lái)計(jì)算直線AB、BC的斜率：

■=■≈0.5，■=■=7.4.

從這兩個(gè)計(jì)算結(jié)果來(lái)看，雖然點(diǎn)A、B之間的溫差與B、C之間的溫差幾乎相同，但是它們的比值卻相差很大. 因此，我們可以用直線斜率這個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)量化曲線的陡峭程度.我們稱(chēng)上述兩個(gè)比值為氣溫分別在區(qū)間[1，32]、[32，34]上的平均變化率.

注意學(xué)生活動(dòng)的方向可能有：

1. 曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想到如何量化直線的傾斜程度.

2. 由點(diǎn)B上升到C點(diǎn)，必須考察yC-yB的大小，但僅僅注意到y(tǒng)C-yB的大小能否精確量化BC段陡峭的程度？為什么？

3. 在考察yC-yB的同時(shí)必須考察xC- xB，函數(shù)的本質(zhì)在于一個(gè)量的改變本身就隱含著這種改變必定相對(duì)于（參照于）另一個(gè)量的改變.

（三）建構(gòu)平均變化率的概念

1. 通過(guò)比較氣溫在區(qū)間[1，32]上的平均變化率0.5與氣溫在區(qū)間[32，34]上的平均變化率7.4，感知曲線陡悄程度的量化.

2. 一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為： ■.

3. 以上從“數(shù)”的角度得到了平均變化率的概念，我們?cè)購(gòu)摹靶巍钡慕嵌瓤纯雌骄兓? 從下圖中，我們可以感受到：平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者反過(guò)來(lái)說(shuō)，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺(jué)化”.

■

圖4

說(shuō)明：平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)x2-x1很小時(shí)，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”.

（四）實(shí)例講解，初步應(yīng)用并加深理解平均變化率

例1 嬰兒從出生到第24個(gè)月的體重變化（如圖5），試分別計(jì)算第一年與第二年嬰兒體重的平均變化率.

引導(dǎo)提問(wèn)：根據(jù)圖象，說(shuō)出嬰兒體重在哪一年變化要快些，能判斷在哪一年嬰兒體重的平均變化率要大.

解：從出生到第12個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為■=1.25（斤/月）

從第6個(gè)月到第12個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為■=0.5（斤/月）

引申拓展：1. 上述結(jié)果說(shuō)明了什么？其兩個(gè)平均變化率的數(shù)值不同的實(shí)際意義又是什么呢？

2. 如何解釋例1中第一年嬰兒體重平均變化率為1.25（斤/月）？

例2 水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲流向容器乙（如圖6），t s后容器甲中的水的體積V（t）=5e-0.1t（單位：cm3），試計(jì)算第一個(gè)10 s內(nèi)V的平均變化率.

■

圖6

解：在區(qū)間[0，10]上，體積的V的平均變化率為

■≈■=-0.3161（cm3/s）

即第一個(gè)10 s內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為-0.3161 cm3/s.

引申拓展：①計(jì)算第二個(gè)10 s內(nèi)的平均變化率；②試比較兩個(gè)平均變化率的大?。虎塾^察函數(shù)圖象，比較曲線在區(qū)間[0，10]、[10，20]上的陡峭程度；④結(jié)論反映的實(shí)際意義是什么？⑤例2中V（t）=5e-0.1t是一個(gè)隨時(shí)間變化而變化的量. -0.3161（cm3/s）是否表示10 s內(nèi)每一時(shí)刻容器甲中水的體積V減少的速度？

設(shè)計(jì)意圖：以上兩例讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從“形”到“數(shù)”、從“數(shù)”到“形”的過(guò)程，通過(guò)教師追問(wèn)、學(xué)生探究，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想，從數(shù)值、圖象和代數(shù)三個(gè)方面呈現(xiàn)獲得知識(shí)的過(guò)程與結(jié)果，強(qiáng)調(diào)各方面意義之間的轉(zhuǎn)化，在相互解釋中進(jìn)一步加深接下來(lái)要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和理解.

例3 已知函數(shù)f（x）=x2，分別計(jì)算函數(shù)f（x）在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].

解：函數(shù)f（x）在[1，3]上的平均變化率為■=■=4，

函數(shù)f（x）在[1，2]上的平均變化率為■=■=3，

函數(shù)f（x）在[1，1.1]上的平均變化率為■=■=2.1，

函數(shù)f（x）在[1，1.001]上的平均變化率為■=■=2.001.

引申拓展：四個(gè)區(qū)間的變化導(dǎo)致平均變化率有怎樣的變化？這種變化的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義分別是什么？①本例研究區(qū)間長(zhǎng)度縮短時(shí)，平均變化率的變化情況；②當(dāng)區(qū)間右端點(diǎn)靠近1時(shí)，平均變化率靠近2.

教學(xué)反思：讓學(xué)生得到一個(gè)平均變化率逼近2的結(jié)論即可，不必急于進(jìn)行幾何解釋?zhuān)磸母罹€逐漸變化到切線）.

設(shè)計(jì)意圖：拓展問(wèn)題旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究與歸納能力，讓學(xué)生直觀感知平均變化率的變化趨勢(shì)，同時(shí)為下一節(jié)課經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程教學(xué)打下伏筆.

例4 已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）= -2x，分別計(jì)算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上函數(shù)f（x）及g（x）的平均變化率.

解：函數(shù)f（x）在[-3，-1]上的平均變化率為■=■=2；

函數(shù)f（x）在[0，5]上的平均變化率為

■=2.

函數(shù)g（x）在[-3，-1]上的平均變化率為■=-2；

函數(shù)g（x）在[0，5]上的平均變化率為■=-2.

引申拓展：從例4的求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)反思：例4講完后應(yīng)讓學(xué)生當(dāng)堂回答課本中的思考. 這種回答可能出現(xiàn)多樣性，但能活躍課堂氣氛.

（五）課堂練習(xí)

*課本第7頁(yè)練習(xí)1、2、3. （看時(shí)間決定是否練習(xí)）

（六）回顧小結(jié)

請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，概括出教學(xué)流程圖（教師可做適當(dāng)提示與補(bǔ)充）：生活感受→數(shù)學(xué)圖形→量化→構(gòu)建數(shù)學(xué)模型→應(yīng)用→提出新問(wèn)題.

（1）由平均變化率的實(shí)際意義到數(shù)學(xué)意義，體現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，建立數(shù)學(xué)模型具有抽象的特征，也蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣闊性.

（2）由于平均變化率只是一種粗略的刻畫(huà)，從而有待進(jìn)一步精確化. 隨之而來(lái)的便是新的數(shù)學(xué)模型的建立.

（七）課外作業(yè)

1. 課本第55頁(yè)練習(xí)4.

2. 課本第63頁(yè)習(xí)題3.1第1題.

■教后反思

本節(jié)課以學(xué)生親身感受的生活經(jīng)驗(yàn)入手，并將其數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生初步體會(huì)可以用已學(xué)的直線斜率知識(shí)來(lái)刻畫(huà)樓梯的陡峭程度，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想類(lèi)比，采用“以直代曲”的思想方法來(lái)量化氣溫曲線的陡峭程度，從而“水到渠成”地構(gòu)建平均變化率這一概念. 在解決問(wèn)題、探索概念的形成過(guò)程中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法，包括：以直代曲、數(shù)形結(jié)合、形式化思想等. 課例中結(jié)合具體例子，從直線的傾斜程度到曲線的陡峭程度，構(gòu)建平均變化率概念，將抽象的辯證法直觀地、潛移默化地展現(xiàn)了出來(lái)，化解了難點(diǎn)（如何量化曲線的陡峭程度）.