摘 要：教學(xué)絕對(duì)不是一種簡(jiǎn)單的告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種過(guò)程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟.在新課程背景下，教學(xué)設(shè)計(jì)主要關(guān)注學(xué)生，以學(xué)生的學(xué)為中心.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；課例研究；教學(xué)設(shè)計(jì)

杜威曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“教學(xué)絕對(duì)不是一種簡(jiǎn)單的告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種過(guò)程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟.” 對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，我們每天所從事的編寫(xiě)教案、練習(xí)題或測(cè)試題等都可以被認(rèn)為是教學(xué)設(shè)計(jì). 在傳統(tǒng)教學(xué)中，教學(xué)設(shè)計(jì)主要關(guān)注教師，以教師的教為核心.在新課程背景下，教學(xué)設(shè)計(jì)主要關(guān)注學(xué)生，以學(xué)生的學(xué)為中心.

對(duì)于新課程中的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者有如下一些思考.

■主體設(shè)計(jì)需要換位思考嗎

案例1 蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1函數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí)（3）一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)片段.

例 二次函數(shù)g（t）=at2+t+1，t∈（0，2]，當(dāng)a為何值時(shí)g（t）>0恒成立？

學(xué)生板演：采用了分類(lèi)討論的思想.解：t=-■，a>0時(shí)，函數(shù)在（0，2]上為增函數(shù)，所以只要f（0）≥0，f（2）>0；a<0時(shí)，同理可得.

教師講述：a>0時(shí)，f（2）>0不要寫(xiě)；建議高一學(xué)生少寫(xiě)同理. 另外，對(duì)于a<0的情況，結(jié)合圖象知只需要g（2）>0且g（0）≥0. 此題鍛煉我們求解二次函數(shù)在規(guī)定區(qū)間上的最值問(wèn)題.變式：設(shè)f（x）=lg■，如果當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生思考：本題即轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，1+2x+4xa>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 很多學(xué)生都想到令2x=t，轉(zhuǎn)化為求at2+t+1>0恒成立，其中t∈（0，2].

教師提問(wèn)：二次函數(shù)能避免嗎？

學(xué)生回答：分離變量.

教師提問(wèn)：若沒(méi)有想到分離變量怎么辦？

學(xué)生感到困惑.教師講述：

可令t=■■，x∈（-∞，1]，得t2+t+a>0，t∈■，+∞，轉(zhuǎn)化為g（t）=t2+t+a，t∈■，+∞恒大于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 由數(shù)形結(jié)合知，只要g■>0，求得a>-■.

教師講述：本題的第二種方法實(shí)在太妙了，它正巧利用了4x>0，我們每一項(xiàng)同時(shí)除以4x，不等式不改變方向. 我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，一定要多想、多悟、多總結(jié)、多發(fā)現(xiàn)，有這種將問(wèn)題優(yōu)化的意識(shí). 當(dāng)然，本題還有第三種方法：分離變量.1+2x+4xa>0，移項(xiàng)4xa>-1-2x，即a>-■-■■在（-∞，1]上恒成立. 此法避免了討論.下面只要求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值. 當(dāng)然，在求函數(shù)的最大值時(shí)，我們首選方法不是換元，而是函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)反思：這節(jié)課雖然教師引導(dǎo)得很好，但還是感覺(jué)老師講得太多，學(xué)生動(dòng)得偏少. 課堂的容量很大，思考的時(shí)間偏少.我們教師在設(shè)計(jì)這節(jié)課的時(shí)候，有沒(méi)有換位思考一下，如果你是學(xué)生，能在短時(shí)間內(nèi)想到這三種解法嗎？再比如，講到求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值時(shí)，教師說(shuō)“在求函數(shù)的最大值時(shí)，我們首選方法不是換元，而是函數(shù)的單調(diào)性”. 對(duì)這一結(jié)論的得出，教師是否也可以換位思考，如果我是學(xué)生，我對(duì)于這類(lèi)求函數(shù)最值得題目到底先想到什么方法？為什么得出這個(gè)結(jié)論？這結(jié)論怎么出來(lái)的？我自己要是沒(méi)有去嘗試，能得出這個(gè)結(jié)論嗎？因此筆者覺(jué)得本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)教師教的內(nèi)容，學(xué)生主體有些弱化，教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是教材，是教師的主觀愿望，忽略了學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)和個(gè)性差異. 教學(xué)設(shè)計(jì)主觀地認(rèn)為學(xué)生任何目標(biāo)都能達(dá)成，對(duì)于題目的任何解讀都可以接受. 針對(duì)這些問(wèn)題，筆者覺(jué)得教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)增加學(xué)生的差異性教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)內(nèi)容的分層次教學(xué)設(shè)計(jì)等，留給學(xué)生足夠的思考空間和時(shí)間.

■課堂需要一題多解、多題一解嗎

案例2 蘇教版高中數(shù)學(xué)不等式的一節(jié)復(fù)習(xí)課. 以下是部分內(nèi)容.

例2 求解x■≥0.

學(xué)生 解：（法一）1-x2≥0，所以-1≤x≤1，

原不等式可化為■≥0，x≥0？圯0≤x≤1或■=0，所以x=±1，

所以{x0≤x≤1或x=-1}.

師生：（法二）x■>0或x■=0，所以0

教學(xué)反思：這道題貌似簡(jiǎn)單卻很容易做錯(cuò)，教師很注重選題，注重引導(dǎo)學(xué)生思考，從而找到解決此題的多種方法，并對(duì)形如f（x）■≥0的不等式解法進(jìn)行了總結(jié). 讓聽(tīng)者不僅知其然，還知其所以然；不僅解決這一道題目，同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一類(lèi)題目的解法. 讓學(xué)生從一道題就能舉一反三，不要在同種類(lèi)型題目上做重復(fù)勞動(dòng). 節(jié)約了學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間，減少了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，效果非常好.筆者自己在平時(shí)的教學(xué)中，有時(shí)會(huì)總結(jié)但總結(jié)得還不夠. 沒(méi)有對(duì)每一道題進(jìn)行嚴(yán)格的刪選，沒(méi)有對(duì)每一道題進(jìn)行反復(fù)的研究. 作為教師，我們一定要為學(xué)生考慮，注重典型例題，并且引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一類(lèi)問(wèn)題的解法. 我們有時(shí)總會(huì)埋怨學(xué)生怎么這么笨啊，這么簡(jiǎn)單的題都不會(huì)，不就是我哪天講過(guò)的題型嗎. 這到底是學(xué)生真的笨還是我們自己沒(méi)有講透徹，沒(méi)有講到位呢？

？搖接著教師給出了例3：求y=x■（0≤x≤1）的最大值.

？搖和剛才的例2有點(diǎn)聯(lián)系. 對(duì)于函數(shù)的最值問(wèn)題，學(xué)生最熟悉的莫過(guò)于二次函數(shù)了. 因?yàn)檫@題含有根號(hào)，所以很多學(xué)生都想到了去根號(hào)，對(duì)兩邊同時(shí)平方得：y2=x2（1-x2），從而令x2=t，t∈[0，1]，所以g（t）=t（1-t），t∈[0，1]，所以g（t）≤■. 以上是解法一. 轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生又想出了其他解法.

解法二：令x=cosθ，θ∈0，■，y=cosθsinθ=cosθsinθ=■sin2θ≤■，當(dāng)且僅當(dāng)θ=■時(shí)函數(shù)取到最大值■.

解法三：y=■≤■=■，當(dāng)且僅當(dāng)x2=1-x2即x=■時(shí)，函數(shù)取到最大值■. 接著教師又給出了例3的變式.

變式1：若將x∈[0，1]，改成x∈0，■，求函數(shù)最大值.

變式2：求y=x■（0≤x≤2）的最大值.

變式3：將一根圓柱形樹(shù)干加工成截面為矩形的柱子，設(shè)已知截面圓的直徑為1，問(wèn)怎樣取法可使廢棄的木料最少.

教學(xué)反思：太精彩了，一道題目竟能有這么多解法，又能產(chǎn)生這么多的變式題，而它們之間又有或多或少的聯(lián)系. 變式3不正是變式2在實(shí)際生活中的模型嗎？實(shí)在值得學(xué)習(xí). 機(jī)會(huì)總是垂青有準(zhǔn)備的人，作為我們青年教師，我們要注重專(zhuān)業(yè)知識(shí)的培養(yǎng). 我們莫做知識(shí)淺薄的“嚴(yán)師”，一味的嚴(yán)，讓學(xué)生怕你并不代表自己就是一個(gè)好老師. 應(yīng)樹(shù)立新的知識(shí)觀，堅(jiān)持自主學(xué)習(xí)，讀書(shū)、讀書(shū)、再讀書(shū). 如果我們教師都能堅(jiān)持認(rèn)真讀書(shū)，多思考、多總結(jié)每節(jié)課的得與失、成與敗，多引導(dǎo)學(xué)生一題多解、多題一解，學(xué)生一定會(huì)從內(nèi)心被教師感化，一定會(huì)慢慢感受到數(shù)學(xué)的神奇和美.

■問(wèn)題設(shè)計(jì)需要結(jié)合學(xué)生認(rèn)知嗎

最近，筆者有幸聽(tīng)了“市高中數(shù)學(xué)基本功比賽獲獎(jiǎng)選手展示課”. 幾位選手都上的是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)第一節(jié)課，風(fēng)格各異，各有所長(zhǎng)，但也有共性，幾乎都設(shè)計(jì)了五六個(gè)母問(wèn)題，從而層層推進(jìn)，完成本節(jié)課.

案例3 教師從生活中的摩天輪動(dòng)畫(huà)引例，提出問(wèn)題1：當(dāng)t=■分鐘時(shí)，求點(diǎn)P到平臺(tái)所在平面的相對(duì)高度h.

結(jié)合圖形和已知的角速度1弧度∕分，學(xué)生很容易知道此時(shí)h=■. 由于當(dāng)天的學(xué)生并不是四星級(jí)學(xué)校學(xué)生，教師順便問(wèn)若t=■呢？學(xué)生也很明確. 教師因勢(shì)利導(dǎo)，很自然地給出了問(wèn)題2：求經(jīng)過(guò)t（t>0）分鐘后，P到平臺(tái)所在平面的相對(duì)高度h與t的關(guān)系. 由于有前面問(wèn)題的鋪墊，學(xué)生也容易得出一般情況h=sint. 學(xué)生在不知不覺(jué)中，步入了正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的學(xué)習(xí). 問(wèn)題3：如何作出正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象？根據(jù)以往作函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易知道是列表、描點(diǎn)、連線. 如果將定義域限制在 [0，2π]，我們?cè)趺戳斜砟?？自然是選取我們熟悉的特殊角. 教師讓一組學(xué)生回答了特殊角的三角函數(shù)值. 然后描點(diǎn)連線.在操作代數(shù)描點(diǎn)法的時(shí)候，我們有什么困難嗎？學(xué)生通過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)找點(diǎn)比較困難，找不準(zhǔn). 問(wèn)題4：你能更精確地在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)■，sin■嗎？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生比較難以回答. 教師引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓，在單位圓中，怎么表示■？怎么表示sin■？學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以等分圓找到■角，但怎樣找出橫坐標(biāo)為■，縱坐標(biāo)為sin■的點(diǎn)呢？教師讓學(xué)生回憶并觀察圖形中還有哪一個(gè)是■，學(xué)生想到弧長(zhǎng). 那怎樣將曲線轉(zhuǎn)化成直線呢？可以將曲線拉長(zhǎng). 這樣橫坐標(biāo)便確定了，而縱坐標(biāo)利用三角函數(shù)線再平移，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下還是比較能發(fā)現(xiàn)的. 解決了問(wèn)題4，也就解決了本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn). 以下是另一個(gè)教師的教學(xué)片斷.

案例4 問(wèn)題1：如何作出■的正弦線？

學(xué)生對(duì)于問(wèn)題1是比較容易回答的，可以在單位圓中找到■角，利用有向線段MP.

問(wèn)題2：如何作出點(diǎn)■，sin■？

因?yàn)楫?dāng)天面對(duì)的學(xué)生基礎(chǔ)一般，這個(gè)問(wèn)題給出以后，教室有點(diǎn)靜. 學(xué)生靜靜思考了一會(huì)，教師讓一位學(xué)生演示，結(jié)果畫(huà)錯(cuò)了. 學(xué)生將剛才問(wèn)題1中單位圓與■角的終邊的交點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)成■，sin■. 教師也可能早有準(zhǔn)備，慢慢引導(dǎo)，花了10多分鐘解決了這個(gè)難題.

教學(xué)反思：在案例3中，教師從大家生活中比較熟悉的摩天輪出發(fā)，給出問(wèn)題1，問(wèn)題1只要結(jié)合給出的圖，很容易就能回答，t=■時(shí)學(xué)生模仿就可得，于是很自然的問(wèn)題2便不知不覺(jué)中就能被解決. 得到了正弦函數(shù)，那它的圖象是怎樣的？你能畫(huà)嗎？教師在設(shè)計(jì)這節(jié)課的時(shí)候，結(jié)合了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從學(xué)生的角度來(lái)考慮問(wèn)題怎么設(shè)置，所以教學(xué)時(shí)我們根本聽(tīng)不出來(lái)當(dāng)天學(xué)生基礎(chǔ)較差. 在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生很容易想到并解決老師給的問(wèn)題. 也許，真的沒(méi)有教不好的學(xué)生，只有不會(huì)教的老師. 教學(xué)，是需要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，教學(xué)，是需要藝術(shù)的. 在案例4中，教師從大的問(wèn)題出發(fā)，特別是問(wèn)題2，學(xué)生是比較難回答的，也是本節(jié)課的難點(diǎn). 教師能夠給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，能夠靜靜地讓學(xué)生思考，給學(xué)生展示的空間，讓我們看到了真實(shí)的課堂，這點(diǎn)是值得學(xué)習(xí)的. 當(dāng)然對(duì)于這兩個(gè)案例，兩位教師有一個(gè)共同的問(wèn)題是作出點(diǎn)■，sin■，為什么一定要作出這個(gè)點(diǎn)呢？能不能不作這個(gè)點(diǎn)？能不能作其他點(diǎn)呢？應(yīng)該是可以的. 案例3從實(shí)際問(wèn)題引入，更貼近學(xué)生的認(rèn)知，所以課進(jìn)展得比較順利；案例4中教師的問(wèn)題沒(méi)有太多的鋪墊，因?yàn)閷W(xué)生基礎(chǔ)不是很好，加上很多教師聽(tīng)課，也許緊張，所以學(xué)生答不上也是在情理之中的. 問(wèn)題2涉及以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）怎么表示一個(gè)點(diǎn)？必須先有平面直角坐標(biāo)系.（2）橫坐標(biāo)為■怎么表示？■角怎么得到？這個(gè)確實(shí)很難辦到，將曲線化成直線的思想我們教師講得輕松，實(shí)際上學(xué)生真的不容易想到，具體操作其實(shí)我們也很難畫(huà)準(zhǔn)確. （3）縱坐標(biāo)為sin■點(diǎn)怎么表示等等. 因此要回答出問(wèn)題2真的挺難.

■總結(jié)設(shè)計(jì)能夠推陳出新嗎

案例5 接上述案例3，教師在小結(jié)歸納時(shí)問(wèn)：你能總結(jié)這節(jié)課學(xué)到哪些知識(shí)嗎？

教學(xué)反思：筆者承認(rèn)案例3中老師的課上得很好，但每次聽(tīng)課，上課教師好像都是這么總結(jié)的. 小結(jié)，可以說(shuō)是一堂課的點(diǎn)睛之筆. 千篇一律的方法也不能說(shuō)一定不好，但總覺(jué)乏味. 一堂課，我們能否有點(diǎn)創(chuàng)新之處，是否可以出現(xiàn)一個(gè)亮點(diǎn)，哪怕它并不璀璨. 筆者經(jīng)常在想，我們能不能想到其他一些總結(jié)的方式？當(dāng)然，不能教師自己總結(jié)，得體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生來(lái)完成這件事.比如是否可以這樣設(shè)計(jì)：

請(qǐng)你列舉本節(jié)課主要的重難點(diǎn)以及你采用何種方法解決這些重難點(diǎn)內(nèi)容，你掌握的程度怎樣？

■

（備注：本文為江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“中學(xué)數(shù)學(xué)片斷教學(xué)的自然設(shè)計(jì)研究”的相關(guān)成果.）