摘 要：從莖葉圖提取樣本信息，若基本對稱，中位數(shù)越大，則水平越好；對稱軸上的頻率越大，則越穩(wěn)定. 若不對稱，最好用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差來判斷.

關(guān)鍵詞：莖葉圖；中位數(shù)；頻率；穩(wěn)定性

[?] 問題的提出

（2）從莖葉圖圖1上可以看出，甲、乙的得分情況都是分布均勻的，只是乙更好一些；乙的中位數(shù)是33.5，甲的中位數(shù)是33. 因此乙發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲好.

此解答中，中位數(shù)是確定的，由中位數(shù)不知如何得到乙更穩(wěn)定，其實乙水平比甲好，也是不一定的，計算兩賽手的平均成績，均為33. 兩選手水平是差不多的.

問題二：隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測得他們的身高（單位：cm），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2.

（1）根據(jù)莖葉圖，判斷哪個班的平均身高較高？

（2）計算甲班的樣本方差；

（3）現(xiàn)在乙班這10名同學(xué)中隨機抽取身高不低于173 cm的同學(xué)，求身高176 cm的同學(xué)被抽中的概率.

[?] 問題產(chǎn)生的原因分析

從圖3可以看出，莖葉圖不僅能夠保留原始數(shù)據(jù)，而且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況. 比如，乙運動員的得分基本上是對稱的，葉的分布是“單峰”的，有的葉集中在莖2、3、4上，中位數(shù)是36；甲運動員的得分除一個特殊得分（51）外，也大致對稱，葉的分布也是“單峰”的，有的葉集中在莖1、2、3上，中位數(shù)是26. 由此可以看出，乙運動員的成績稍好. 另外，從葉在莖上的分布情況看，乙運動員的得分更集中于峰值附近，這說明乙運動員發(fā)揮更穩(wěn)定.

筆者對教材的一些理解：

（1）對稱性和單峰性直觀上是容易看出的.

（2）只要從“乙運動員的中位數(shù)是36，甲運動員的中位數(shù)是26”，莖葉圖大致對稱，就可以大致地判斷兩者的成績好壞：中位數(shù)越大，成績越好.

今后，我們要從莖葉圖大致判斷好壞，一看對稱性，二看中位數(shù). 若對稱，則中位數(shù)越大，水平越好. 當(dāng)然，若中位數(shù)差異不明顯，也是容易出現(xiàn)問題的，如上面的問題一. 上面問題一產(chǎn)生的原因：首先是莖葉圖不對稱，其次是中位數(shù)差異也不是很明顯. 像這種情況，建議直接求平均值進行判斷. 問題二：因為莖葉圖基本對稱，中位數(shù)均是169，所以兩個班總體身高差不多.這同平均值得到的結(jié)論是一致的.

（3）要判斷穩(wěn)定性，首先也要看對稱性，看對稱軸所在莖上葉的多少，如上乙有的葉集中在莖3上，甲有的葉集中在莖2上. 類比于正態(tài)分布，乙的σ更小，更集中. 這里需要指出的是，說明乙運動員的得分有的葉集中在莖2、3、4上，甲運動員的得分有的葉集中在莖1、2、3上，是有必要的. 例如：甲4出現(xiàn)5次，5出現(xiàn)5次，6出現(xiàn)5次；乙1出現(xiàn)4次，5出現(xiàn)6次，9出現(xiàn)4次，誰更穩(wěn)定？顯然光看對稱軸上的頻率是不行的，再看一下4、5、6上的頻率，結(jié)論更可靠一點. 但一般來說，除了上面極端情況，看對稱軸上的頻率是可以大致做出穩(wěn)定性判斷的.

一般地，要從莖葉圖上大致判斷誰更穩(wěn)定，首先看對稱性，若對稱，則對稱軸所在的莖上葉的頻率越大越穩(wěn)定.

問題一，從中位數(shù)來判斷穩(wěn)定性顯然是不對的. 如從甲有集中在莖3上，乙有集中在莖3上來判斷甲更穩(wěn)定也是不對的，因為從方差易得乙更穩(wěn)定. 這兒，產(chǎn)生問題的原因是莖葉圖沒有對稱性.