案例背景

在教學(xué)完“圓的面積”一課后，學(xué)生較為清晰地掌握了圓的面積計算公式的推理過程，也初步掌握了圓的面積計算方法。課后練習(xí)中，多數(shù)學(xué)生對已知半徑或直徑求面積都掌握得不錯，但在課后的作業(yè)中，全班42名學(xué)生對其中一道題的解答，正確率只有35.7%。這道題是這樣的：

推導(dǎo)圓的面積公式時，將圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形。已知長方形的長是9.42厘米，長方形的寬是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。

為了分析學(xué)生的錯誤原因，我與部分學(xué)生進行交流，大多數(shù)學(xué)生表示對長方形的寬怎樣求感到比較茫然，還有學(xué)生表示讀這道題感覺讀不懂，不怎么理解。這番交流讓我百思不得其解，為什么學(xué)生在學(xué)習(xí)圓的面積計算過程中，熟練掌握了圓的面積計算公式，卻忽視了對圓的面積計算推導(dǎo)過程的理解和掌握呢？

事實上，在推導(dǎo)圓的面積計算公式時，學(xué)生已認識到“圓與轉(zhuǎn)化后的長方形之間的關(guān)系”是推導(dǎo)圓的面積公式的重要前提，但學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中更關(guān)注的是探究活動的結(jié)果，即圓的面積公式是什么。而對于推理過程，學(xué)生只能說是在頭腦中有一定的印象，并沒有自覺地將公式的推導(dǎo)過程真正地內(nèi)化、理解和掌握。

教學(xué)實踐

為了進一步促進學(xué)生對圓的面積推導(dǎo)過程的理解，筆者在練習(xí)課中展開了這樣的教學(xué)：

出示習(xí)題1：推導(dǎo)圓的面積公式時，將圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形。已知長方形的長是9.42厘米，長方形的寬是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。（如圖1）

師：結(jié)合圓的面積推導(dǎo)示意圖，你知道推導(dǎo)過程中的圓和長方形有怎樣的聯(lián)系嗎？

生：長方形的長是圓周長的一半，也就是лr，長方形的寬是圓的半徑。

師：在解決這一問題的過程中，我們可以先求出什么？

生：可以用9.42÷3.14求出圓的半徑是3厘米，再用3.14×32求圓的面積。

出示習(xí)題2：推導(dǎo)圓的面積公式時，將圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形，已知長方形的長比寬多6.42厘米，這個圓的半徑是（ ）厘米，面積是（ ）平方厘米。

師：怎樣解決這道題，原來的圓的面積推導(dǎo)示意圖還可以用嗎？你又從條件中看出什么？

生：我認為圓的面積推導(dǎo)示意圖還可以用，長方形的長比寬多6.42厘米就是說лr比r要多6.42厘米。

師：說得真好！你能借助這個發(fā)現(xiàn)求出半徑是多少嗎？學(xué)生嘗試解題并交流。

師：剛才我們解決這兩道題時，理解題目的含義借助了什么？有什么作用？

生：我們都借助圓的面積推導(dǎo)示意圖來理解題意。

生：借助示意圖我們能清楚地發(fā)現(xiàn)長方形與圓之間的聯(lián)系，幫助我們解決問題。

師：不錯，像這樣的圓的面積推導(dǎo)示意圖我們可以看作是一個數(shù)學(xué)模型，在遇到類似的問題時，我們可以借助數(shù)學(xué)模型來理解題意。有的時候，這個數(shù)學(xué)模型還會有一些變化。

出示習(xí)題3：如圖2，將一個圓等分成若干份，拼成一個近似的長方形。已知圓的半徑是3厘米，求陰影部分的面積。

師：在這道題中，圓和長方形有怎樣的聯(lián)系？陰影部分的面積可以看成什么呢？

……

教學(xué)思考

從以往的教學(xué)實踐來看，關(guān)于“圓的面積計算”的教學(xué)，教師往往在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生通過將圓等分后剪拼為近似的長方形，小組合作探究出圓的面積計算公式。在練習(xí)課中，更多的是注重圓的面積公式在實際生活情境中的運用。同時，在圓的面積推導(dǎo)過程中，教師更關(guān)注的是這一探究活動的結(jié)果，而忽視對這一探究過程的理解和內(nèi)化。筆者以為，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注結(jié)果，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注過程，就“圓的面積”計算教學(xué)而言，學(xué)生在這一探究過程中形成了什么？如何緊緊圍繞學(xué)生的數(shù)學(xué)探究過程促進學(xué)生對數(shù)學(xué)意義的理解和建構(gòu)呢？筆者從三個方面展開思考：

一、 “圓的面積計算”教學(xué)中的“數(shù)學(xué)模型”在哪里

數(shù)學(xué)模型是指用字母、數(shù)字和其他數(shù)學(xué)符號構(gòu)成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數(shù)理邏輯等來描述系統(tǒng)的特征及其內(nèi)部聯(lián)系或與外界聯(lián)系的模型。從這個意義上來說，在圓的面積的教學(xué)中可以構(gòu)建兩種不同的數(shù)學(xué)模型，即從探究過程的角度看，可以建立“圓的面積推導(dǎo)示意圖”這樣的圖像模型；而從探究結(jié)果的角度看，則又可以建立“S=лr2”這樣的等式模型。探究結(jié)果的模型注重實際應(yīng)用，即應(yīng)用這個模型去解決生活中的各種問題，而探究過程中的數(shù)學(xué)圖像模型，則能促進學(xué)生對數(shù)學(xué)意義的理解和建構(gòu)。顯然，在圓的面積教學(xué)中，建立并有效利用“圓的面積推導(dǎo)”圖像模型理應(yīng)是教學(xué)的應(yīng)有之意。

二、 如何巧借數(shù)學(xué)模型，促進學(xué)生數(shù)學(xué)意義的理解和建構(gòu)

既然建立“圓的面積推導(dǎo)”圖像模型對于“圓的面積計算”教學(xué)至關(guān)重要，那么教師在教學(xué)中必須引領(lǐng)學(xué)生在探索圓的面積計算方法時加強對這一模型內(nèi)涵的理解，在頭腦中形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即引導(dǎo)學(xué)生理解圓的半徑與轉(zhuǎn)化后長方形的長、寬之間的聯(lián)系，圓與長方形的面積、周長之間的關(guān)系。進而，在探究活動中逐步將“圓的面積推導(dǎo)示意圖”上升到數(shù)學(xué)模型的高度。在此基礎(chǔ)上，針對這一數(shù)學(xué)模型進行有針對性的訓(xùn)練，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的掌握和理解。

三、 如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中拓展與深化數(shù)學(xué)模型

事實上，本案例中，建立“圓的面積推導(dǎo)”圖像模型的意義還在于，可以將這一模型進行改造和變化，創(chuàng)造延伸出新的圖像模型，進而引導(dǎo)學(xué)生在已有的認知經(jīng)驗基礎(chǔ)上，進行創(chuàng)造性的解題嘗試。同時，由于兩種模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，也促使學(xué)生在新的模型應(yīng)用中深化對原有數(shù)學(xué)模型的理解，建構(gòu)富有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)，進而對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極而深遠的影響。