教學(xué)內(nèi)容

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)P.121或蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)P.122。

教學(xué)目標(biāo)

1.整理多邊形的面積計(jì)算公式、推導(dǎo)過(guò)程，多角度溝通它們之間的相互聯(lián)系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.將數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活實(shí)際相聯(lián)系，熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，形成積極的學(xué)習(xí)情感。

教學(xué)過(guò)程

一、 聯(lián)系生活，以“境”引入

1.談話：學(xué)校的北門內(nèi)有一塊空地，學(xué)校一直都想把它給利用起來(lái)，張老師給這塊地做了一個(gè)規(guī)劃，把這塊地分成了幾塊區(qū)域（課件出示規(guī)劃圖）。如果讓你作為工程負(fù)責(zé)人來(lái)建設(shè)這塊地，你會(huì)考慮到什么因素？（面積、價(jià)格等）

2.考慮的因素可能會(huì)比較多，但是一定會(huì)考慮到這幾塊多邊形土地的面積，那咱們已經(jīng)會(huì)計(jì)算哪些多邊形的面積了呢？（課件逐一出示圖形）

評(píng)析：多邊形面積計(jì)算復(fù)習(xí)課，一般會(huì)直接回憶面積公式并進(jìn)行計(jì)算練習(xí)，缺乏與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，不足以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。從學(xué)生每天見(jiàn)到的學(xué)校北門的一塊空地入手，自然貼切且能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。

二、 回顧梳理，以“理”求清

1.還記得它們的面積怎么算嗎？先說(shuō)說(shuō)字母公式，再解釋一下這個(gè)公式。（隨學(xué)生的回答課件逐一出示公式）

2.數(shù)學(xué)是一門很嚴(yán)密的學(xué)科，講究來(lái)龍去脈，你還能記得這些公式是怎么來(lái)的嗎？請(qǐng)同學(xué)們把你自己整理出來(lái)的推導(dǎo)過(guò)程與同桌交流一下。

3.全班交流。（課件隨學(xué)生的回答演示推導(dǎo)過(guò)程）

（1）平行四邊形面積公式：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形推導(dǎo)。

追問(wèn)：怎么轉(zhuǎn)化？（展示兩種轉(zhuǎn)化過(guò)程），是隨意地剪開(kāi)再拼嗎？（沿高剪開(kāi)）目的是什么？（產(chǎn)生直角才能形成長(zhǎng)方形）轉(zhuǎn)化好之后，怎么推導(dǎo)出公式的？

小結(jié)：平行四邊形面積公式是由平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形推導(dǎo)出來(lái)的，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中形狀變了但面積不變，這叫“等積變形”轉(zhuǎn)化。

（2）三角形面積公式：把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)。（展示轉(zhuǎn)化過(guò)程：兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。）

引導(dǎo)：轉(zhuǎn)化好之后，怎么推導(dǎo)出公式的？

指出：這種轉(zhuǎn)化與平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形不同，叫做“擴(kuò)倍”轉(zhuǎn)化，所以要除以2。

追問(wèn)：能否也通過(guò) “等積變形”轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢？（動(dòng)態(tài)展示如圖1）能根據(jù)這種轉(zhuǎn)化推導(dǎo)公式嗎？

（3）梯形面積公式：把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)。（展示轉(zhuǎn)化過(guò)程：兩個(gè)完全一樣的梯形旋轉(zhuǎn)后拼成一個(gè)平行四邊形）

引導(dǎo)：怎么推導(dǎo)出公式的？

追問(wèn)：這是什么轉(zhuǎn)化？（擴(kuò)倍）

設(shè)問(wèn)：能否也通過(guò) “等積變形”轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢？（動(dòng)態(tài)展示如圖2）現(xiàn)在怎么推導(dǎo)公式？

（4）長(zhǎng)方形的面積公式：直接推算。

設(shè)問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積公式是最先學(xué)的，看圖回憶一下（如圖3）。誰(shuí)還記得？

（5）正方形的面積公式：直接由長(zhǎng)方形推出來(lái)的。

正方形因?yàn)楹烷L(zhǎng)方形的特殊關(guān)系，是由長(zhǎng)方形公式直接推導(dǎo)的，怎么推的？

4.根據(jù)大家的回憶，這些公式是這樣來(lái)的？（課件動(dòng)態(tài)出示圖4）你會(huì)看到兩個(gè)什么關(guān)鍵詞？（推導(dǎo)，轉(zhuǎn)化）先有轉(zhuǎn)化后有推導(dǎo)，都先轉(zhuǎn)化成什么？（學(xué)過(guò)的圖形）

指出：新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)，再由舊知識(shí)推導(dǎo)出新知識(shí)，這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。

5.同學(xué)們自己整理時(shí)也畫出了不同的關(guān)系圖，上臺(tái)展示一下好嗎？（投影展示）

指出：通過(guò)這樣的關(guān)系圖，在新、舊知識(shí)間建立起了聯(lián)系，這是一種很好的復(fù)習(xí)方法。

評(píng)析：復(fù)習(xí)和梳理，首先應(yīng)該是學(xué)生自我整理的過(guò)程。比較恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式應(yīng)是，課前自主梳理，根據(jù)各自梳理的內(nèi)容和方式，再進(jìn)行交流和引導(dǎo)。學(xué)生自主梳理中會(huì)出現(xiàn)三種不同的層次：最低層次，僅僅理出了各種平面圖形面積計(jì)算的方法或公式；一般層次，不僅理清了面積計(jì)算的方法還理清了各圖形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程；最高層次，能根據(jù)各圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程用個(gè)性化的方式恰當(dāng)?shù)乇硎境鏊鼈冎g的聯(lián)系。

課堂上對(duì)各自的梳理內(nèi)容進(jìn)行交流，按“結(jié)論——由來(lái)——聯(lián)系”的脈絡(luò)予以引導(dǎo)，其意義就是在“理”中讓不同層次的學(xué)生都獲得對(duì)各圖形面積計(jì)算的清晰認(rèn)識(shí)，即以“理”求清。

三、 溝通聯(lián)系，以“通”達(dá)融

談話：其實(shí)，我們換個(gè)角度看，這些公式之間還有另外一些聯(lián)系。

1. 梯形與三角形面積公式。

（1）出示梯形：它的面積怎么算？（出示公式S=（a+b）h÷2）

（2）課件展示上底不斷縮短變成三角形的過(guò)程：如果還用這個(gè)公式計(jì)算面積，你有什么看法？（要把公式中一個(gè)底變成0）

（3）用0代替一個(gè)底，再整理一下，看看變成了什么？（出示公式S=（a+0）h÷2=ah÷2）

2. 梯形與平行四邊形面積公式。

（1）把這個(gè)梯形再變一變（課件展示上底不斷變長(zhǎng)成為平行四邊形的過(guò)程），如果還用梯形的這個(gè)公式，你有什么建議？（要把上底、下底變成同一個(gè)字母）

（2）把上底和下底都用a表示，再整理一下看看，變成了誰(shuí)的公式？（出示公式 S=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah）3. 梯形與長(zhǎng)方形面積公式。

（1）當(dāng)然還可以再變，（課件展示上底向兩邊同時(shí)變長(zhǎng)成為長(zhǎng)方形的過(guò)程）還能用梯形這個(gè)公式嗎？（上底下底變得相同，高用b表示）

（2）再整理一下，變成了誰(shuí)的公式？（出示公式 S=（a+a）b÷2=2ab÷2=ab）

4.小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，梯形面積公式可以作為這幾個(gè)圖形的通用公式，當(dāng)梯形的一個(gè)底變成0時(shí)，梯形公式就變成了三角形公式（板書：b=0時(shí)——S=ah÷2），當(dāng)上底與下底一樣長(zhǎng)時(shí)，梯形公式就變成了平行四邊形公式（板書：b=a時(shí)——S=ah），進(jìn)一步還可以變成長(zhǎng)方形的面積公式。（S=ab）

評(píng)析：既然是對(duì)一個(gè)階段所學(xué)內(nèi)容的整理和復(fù)習(xí)，顯然，在所學(xué)知識(shí)彼此間建立關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)，融會(huì)貫通，才應(yīng)該是復(fù)習(xí)課的要旨所在。三個(gè)面積公式，除了在縱向推導(dǎo)過(guò)程中存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系外，在橫向比較時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們的計(jì)算公式在形式上也有相通之處，而這種相通之處如果能夠被學(xué)生所感受和理解，那么他們就更能深刻地把握其內(nèi)涵?；诖耍竟?jié)課中筆者嘗試引導(dǎo)學(xué)生換一個(gè)角度整理，從梯形的變形入手，通過(guò)直觀圖形的比較和抽象公式的溝通，橫向打通了梯形和三角形公式、平行四邊形及長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系。

四、 訓(xùn)練拓展，以“思”得慧

1.根據(jù)這幾個(gè)公式之間的關(guān)系，你能很快判斷出下面幾個(gè)圖形的面積有什么關(guān)系？（課件出示圖5）

你是怎么想的？（可以全看成梯形，前兩個(gè)圖形上底相同、下底相同，高也相同，面積相等；后兩個(gè)圖形上底下底的和相等，高也相等，面積相等；后兩個(gè)圖形上下底的和是前兩個(gè)的一半，高相等，面積是前兩個(gè)圖形的一半）

評(píng)析：學(xué)生只有從多邊形的面積公式間的聯(lián)系、組成公式的要素之間的聯(lián)系入手去進(jìn)行思考與判斷，而不是割裂其聯(lián)系機(jī)械地依據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算，才能達(dá)到融會(huì)貫通的境界。

2.在點(diǎn)子圖中分別畫出面積是12的三角形、梯形。想一想怎樣畫得又對(duì)又快。

（1）交流三角形的畫法。

課件出示底是6厘米、高是4厘米的平行四邊形。設(shè)問(wèn)：在這個(gè)平行四邊形中如何得到面積是12的三角形？只有這一種分法嗎？（課件展示多種分法）你能得到一個(gè)什么結(jié)論？（可以畫出無(wú)數(shù)個(gè)面積是12的三角形，等底等高的三角形面積相等。）

課件展示底是8厘米、高是3厘米的平行四邊形，設(shè)問(wèn)：能得到多少個(gè)面積是12的三角形？（無(wú)數(shù)個(gè)）這無(wú)數(shù)個(gè)三角形有什么共同之處？（也是等底等高）

追問(wèn)：兩個(gè)三角形等底等高嗎？說(shuō)明了什么？（面積相等的三角形不一定等底等高）底和高應(yīng)滿足什么樣的關(guān)系？（積是24）

（2）交流梯形的畫法。

出示底是6厘米、高是4厘米的平行四邊形：能不能得到啟發(fā)，很快地畫出面積是12的梯形？上底下底還可能是別的情況嗎？（課件展示不同分法）這幾種分法相比，你發(fā)現(xiàn)什么？（高相等，上下底的和相等）

出示底是8厘米、高是3厘米的平行四邊形：能得到面積是12的梯形嗎？與剛才的這些梯形相比，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（既不等底也不等高）上、下底和高有一個(gè)共同的聯(lián)系，是什么？（上下底的和乘高必須等于24）

評(píng)析：一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生容易將決定“面積相等”的范疇窄化為“等底等高”。通過(guò)此環(huán)節(jié)的交流，讓學(xué)生在畫中關(guān)注“形”，在“形”中聚焦“數(shù)”，在形與數(shù)的思考中厘清了面積與影響其變化的長(zhǎng)度變量之間的關(guān)系。

3.再次出示規(guī)劃圖，現(xiàn)在我們能算出每一塊區(qū)域的面積嗎？

評(píng)析：此練習(xí)的設(shè)計(jì)與課的開(kāi)頭相呼應(yīng)，圖中包括了已學(xué)的五種平面圖形，讓學(xué)生從這幅平面圖中提取有用數(shù)據(jù)，再運(yùn)用面積公式計(jì)算每一個(gè)區(qū)域的面積。這比直接告訴學(xué)生圖形和數(shù)據(jù)，然后用面積公式計(jì)算更具有現(xiàn)實(shí)意義。

五、 總結(jié)提升，把握方法

今天我們整理了多邊形的面積計(jì)算，進(jìn)一步加深了對(duì)這些知識(shí)的理解。希望同學(xué)們學(xué)完新知識(shí)后，能在新舊知識(shí)及新知識(shí)之間建立起聯(lián)系，這樣才能學(xué)得更好。