編者按

近一年多來(lái)，對(duì)于幾何直觀(guān)概念和內(nèi)涵的討論已頻見(jiàn)于相關(guān)雜志，取得了一定的共識(shí)，但對(duì)于如何根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容來(lái)運(yùn)用幾何直觀(guān)等問(wèn)題的討論尚不深入，為此，本刊特刊登一組相關(guān)文章，供大家討論。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“幾何直觀(guān)”這一核心概念，認(rèn)為“幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀(guān)可以幫助學(xué)生直觀(guān)地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用”。[1]這段話(huà)所說(shuō)的是對(duì)幾何直觀(guān)在含義與作用方面廣義的理解。而在面對(duì)具體數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的時(shí)候，教科書(shū)編寫(xiě)以及實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)將要面臨的具體問(wèn)題是：什么情況下需要幾何直觀(guān)？如何借助幾何直觀(guān)進(jìn)行教學(xué)？通過(guò)幾何直觀(guān)能夠感知的內(nèi)容究竟有什么？這些問(wèn)題并不容易回答，期望通過(guò)下面幾個(gè)案例的分析，能夠成為此類(lèi)問(wèn)題研究的引玉之磚。

一、數(shù)形結(jié)合看“倒數(shù)”

小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中關(guān)于“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”通常關(guān)注兩點(diǎn)：第一是“兩個(gè)數(shù)的乘積都是1”；第二是“相乘的兩個(gè)數(shù)的分子、分母正好顛倒了位置”（見(jiàn)圖1）。

圖1 “倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”教科書(shū)圖例

其中，“兩個(gè)數(shù)的乘積都是1”揭示出了倒數(shù)關(guān)于乘法運(yùn)算“逆元（Inverse Element）”的屬性；“分子、分母顛倒了位置”是從書(shū)寫(xiě)形式上說(shuō)明了兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。這兩點(diǎn)均沒(méi)有從本質(zhì)方面說(shuō)明倒數(shù)的含義究竟是什么。以與2為例，二者相乘結(jié)果為1，表明關(guān)于乘法運(yùn)算互為逆元，也就是互為倒數(shù)；從形式上看是分子、分母顛倒了位置。需要進(jìn)一步探討的是，與2在意義上是如何相關(guān)聯(lián)的？

按照對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，表示“將單位1平均分為兩份中的一份”，而2可以認(rèn)為是某數(shù)的2倍，現(xiàn)在需要知道這里的“某數(shù)”是什么？此時(shí)借助幾何直觀(guān)就可以使得與2的關(guān)系一目了然（見(jiàn)圖2）。

單位1等于2個(gè)：

圖2 2個(gè)示意圖

從圖2線(xiàn)段圖中可以看出，與其倒數(shù)2的關(guān)系為“單位1等于2個(gè)”。這樣的關(guān)系還可以反過(guò)來(lái)表達(dá)，也就是“單位1等于個(gè)2”，這一點(diǎn)可以從圖3中明顯看出。

單位1等于個(gè)2：

圖3 個(gè)2示意圖

按照這樣的方式還可以進(jìn)一步理解與的關(guān)系，即“單位1等于個(gè)”（見(jiàn)圖4）。

單位1等于個(gè)：

圖4 個(gè)示意圖

反過(guò)來(lái)的“單位1等于個(gè)”可以從圖5明顯看出（見(jiàn)圖5）。

單位1等于個(gè)：

圖5 個(gè)示意圖

綜上，兩個(gè)互為倒數(shù)的分?jǐn)?shù)與的關(guān)系可以概括為：分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的單位1中含有個(gè)。這一命題反過(guò)來(lái)也是正確的，即分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的單位1中含有個(gè)。這里的幾何直觀(guān)可以說(shuō)揭示出了“倒數(shù)”真正的含義，借助幾何圖形使得互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可以看見(jiàn)了。

有了這樣的理解，除數(shù)為分?jǐn)?shù)的除法中“顛倒相乘”的運(yùn)算法則就是顯而易見(jiàn)的事情了。比如“10÷”表示“求10里面包含多少個(gè)”，由于單位1里面包含個(gè)，所以10里面包含的個(gè)數(shù)就是的10倍，即10×=15。

從這個(gè)例子可以總結(jié)出幾何直觀(guān)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)作用就是通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，借助形象的圖形展現(xiàn)出隱蔽著的數(shù)量關(guān)系。類(lèi)似的例子還有，從圖6長(zhǎng)方形面積之間的關(guān)系可以明顯看出乘法對(duì)加法的分配律“a×（b+c）=a×b+a×c”（見(jiàn)圖6）。

圖6 “分配律”直觀(guān)示意圖

二、幾何中的幾何直觀(guān)

需要指出，幾何直觀(guān)體現(xiàn)的并非僅僅是數(shù)與形的結(jié)合。在幾何圖形這一領(lǐng)域內(nèi)部也經(jīng)常需要幾何直觀(guān)溝通聯(lián)系并幫助理解。美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)有一個(gè)名為《Mathematics Magazine》的期刊，其中有一個(gè)叫作“無(wú)字證明（Proof Without Word）”的欄目，欄目中的問(wèn)題及其證明都是體現(xiàn)幾何直觀(guān)的。1990年6月該欄目刊載的就是如何直觀(guān)看出一個(gè)半徑為R的圓的周長(zhǎng)2πR與圓的面積πR2之間的關(guān)系。[2]

圖7是一個(gè)半徑為R的圓，圓內(nèi)部畫(huà)出許多同心圓。最外圍的大圓周長(zhǎng)是2πR（見(jiàn)圖7）。

圖7 半徑為R的圓及其內(nèi)部的同心圓示意圖

想象將圓面從某處剪開(kāi)，然后逐步展開(kāi)并拉直（見(jiàn)圖8）。

圖8 剪開(kāi)并逐步拉直過(guò)程示意圖

當(dāng)所有同心圓的圓周都拉直后，就會(huì)形成一個(gè)如圖9的三角形。

圖9 剪開(kāi)并拉直后示意圖

這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)度就是大圓周長(zhǎng)2πR，底邊上的高就是大圓半徑R，利用三角形面積公式立刻可以得到這個(gè)三角形的面積為2πR×R÷2=πR2，與圓面積公式一致。

數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系有宏觀(guān)和微觀(guān)的區(qū)別，如果把對(duì)倒數(shù)的認(rèn)識(shí)看作是算術(shù)或代數(shù)領(lǐng)域中的內(nèi)容，那么前面對(duì)倒數(shù)的認(rèn)識(shí)用幾何直觀(guān)所溝通的是數(shù)學(xué)中不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系，這樣的聯(lián)系屬于宏觀(guān)的聯(lián)系。這里所說(shuō)的圓周長(zhǎng)和圓面積同屬于圓這一幾何圖形的測(cè)量問(wèn)題，二者并非孤立存在，而是相互關(guān)聯(lián)的，這樣的聯(lián)系不同于宏觀(guān)的聯(lián)系，屬于微觀(guān)的聯(lián)系。其中的幾何直觀(guān)是通過(guò)一系列的圖形演變，使得隱藏著的聯(lián)系變得明顯了。

幾何直觀(guān)可以分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種。所謂動(dòng)態(tài)的幾何直觀(guān)是指將幾何圖形實(shí)施保持某種屬性不變的一系列的變化，前面從圖7到圖9的變化就保持了圓的面積這一屬性沒(méi)有變化。人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)-數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)中關(guān)于“多邊形的面積”這一內(nèi)容的呈現(xiàn)基本上也是這樣的過(guò)程（見(jiàn)圖10）。

圖10 人教版教科書(shū)“平行四邊形面積”示意圖

三、幾何直觀(guān)并非全能

應(yīng)當(dāng)注意的是幾何直觀(guān)并非全能，它是依賴(lài)于感官的感知，這種感知有時(shí)并不可靠。比如觀(guān)察圖11左右兩個(gè)中心處的圓圈，直觀(guān)上會(huì)感覺(jué)右面的比左面的大，而實(shí)際上這兩個(gè)圓的大小是一樣的。

圖11 感官錯(cuò)覺(jué)示意圖

這種對(duì)感官錯(cuò)覺(jué)（Visible Illusion）的研究由來(lái)已久，古希臘時(shí)期的亞里士多德（Aristotle）提出的“輪子悖論”就是典型的例子。[3]設(shè)想有大小不同的兩個(gè)同心圓，沿著水平方向滾動(dòng)（見(jiàn)圖12）。

圖12 輪子悖論示意圖

大圓滾動(dòng)一周后，圖12中線(xiàn)段CC'的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)與大圓周長(zhǎng)相等，那么線(xiàn)段DD'的長(zhǎng)度是什么呢？直觀(guān)上看與大圓周長(zhǎng)相等，同時(shí)又應(yīng)當(dāng)與小圓周長(zhǎng)相等。這就形成了一個(gè)自相矛盾的結(jié)論，因?yàn)閮蓚€(gè)半徑不同的圓的周長(zhǎng)是不可能相等的。這種自相矛盾的結(jié)論叫作悖論，分析產(chǎn)生這一悖論的原因，實(shí)際上是在大圓滾動(dòng)過(guò)程中，小圓的運(yùn)動(dòng)方式并非只有滾動(dòng)，還有人的感官難以察覺(jué)地“滑動(dòng)”，滑動(dòng)的距離與小圓周長(zhǎng)的和就成為了大圓周長(zhǎng)。[4]

小學(xué)六年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓錐體積”時(shí)會(huì)出現(xiàn)這樣的疑問(wèn)：“等底等高的圓柱和圓錐分別可以看作是由一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的（見(jiàn)圖13），旋轉(zhuǎn)之前三角形的面積是長(zhǎng)方形面積的二分之一，那么旋轉(zhuǎn)之后圓錐的體積為什么不是圓柱體積的二分之一，而變成三分之一了呢？”

圖13 圓錐體積示意圖

這種疑問(wèn)的產(chǎn)生實(shí)際上就是過(guò)分依賴(lài)幾何直觀(guān)，缺少了邏輯方面的思考。事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)體的體積并不是由旋轉(zhuǎn)之前旋轉(zhuǎn)面的面積唯一確定的，還與旋轉(zhuǎn)的距離有關(guān)。學(xué)生的疑問(wèn)來(lái)源于“一因一果”的思維模式。旋轉(zhuǎn)體的體積是由面積的大小和旋轉(zhuǎn)的距離這樣兩個(gè)因素同時(shí)制約的。更詳細(xì)的解釋可參見(jiàn)筆者在本刊2011年第7～8期發(fā)表的另外一篇題為《為何不是二分之一》的文章。[5]

綜上，“直觀(guān)”是相對(duì)于“抽象”而言的，抽象作為人頭腦中的思維活動(dòng)，往往具有隱性的特征。因此直觀(guān)的過(guò)程就是把抽象的內(nèi)容具體化、把隱性的內(nèi)容形象化的過(guò)程。幾何直觀(guān)是利用幾何圖形使得隱性的內(nèi)容和過(guò)程顯性化。幾何直觀(guān)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的一種方式，除了應(yīng)當(dāng)發(fā)揮其“通過(guò)直觀(guān)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)明”的功能外，還應(yīng)當(dāng)重視幾何直觀(guān)對(duì)于“展現(xiàn)思維活動(dòng)”以及“溝通數(shù)學(xué)對(duì)象之間聯(lián)系”的作用。同時(shí)要注意幾何直觀(guān)并非孤立存在，應(yīng)與邏輯推理等思維活動(dòng)相輔相成。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京師范大學(xué)出版社， 2012，（1）：6.

[2]Russell Jay Hendel. Proof without Words： Area of a Disk Is . Mathematics Magazine， Vol. 63， No. 3 （Jun.， 1990）：188.

[3]Israel E. Drabkin. Aristotle's Wheel： Notes on the History of a Paradox. Osiris， Vol. 9. （1950）： 162～198.

[4]郜舒竹，李燕. 看不見(jiàn)的滑動(dòng)——輪子悖論探秘[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，（3）.

[5]郜舒竹. 為何不是二分之一[J].教學(xué)月刊， 2011，（7～8）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048

北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 100080）