幾何直觀主要是指利用圖形來(lái)描述和分析問(wèn)題，這樣有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著重要作用。無(wú)論是概念、性質(zhì)、法則的教學(xué)，還是解決問(wèn)題的教學(xué)，教師都可以借助圖形直觀幫助學(xué)生加以理解。那么在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力呢？

一、 化抽象為直觀，發(fā)展表征概念的能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)都是伴隨著幾何意義而存在的?！皥D形與幾何”的知識(shí)自不必說(shuō)，“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”中也滲透了許多有關(guān)幾何直觀的知識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念幾何意義的闡釋?zhuān)欣趯W(xué)生形成概念表象，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶，積累表象建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也為問(wèn)題解決過(guò)程中的表象遷移提供了潛在的可能。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意從學(xué)生年齡特點(diǎn)和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，有計(jì)劃、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生利用直觀圖形來(lái)表征數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)概念的表象，逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的視覺(jué)表征系統(tǒng)，形成準(zhǔn)確感知現(xiàn)實(shí)世界的能力。

例如，有教師在執(zhí)教“乘法的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，對(duì)于算式3×4，首先引導(dǎo)學(xué)生用不同的式子表示，像4+4+4、3+3+3+3、4×4-4、3×5-3、3×3+3等，除此之外還誘導(dǎo)學(xué)生用幾何圖形來(lái)表示算式3×4的意義，像長(zhǎng)方形方格圖、長(zhǎng)方體立體圖、線段圖等，為學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)乘法意義的表象提供了豐富的素材，加深了學(xué)生對(duì)乘法意義的理解，數(shù)與形實(shí)現(xiàn)了完美的統(tǒng)一。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生不但從不同的角度深刻體會(huì)了乘法的意義，而且初步獲得了利用圖形直觀描述數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。

二、 將數(shù)譯成形，發(fā)展描述問(wèn)題的能力

信息加工心理學(xué)認(rèn)為，人的長(zhǎng)時(shí)記憶分為兩個(gè)系統(tǒng)，即表象系統(tǒng)和言語(yǔ)系統(tǒng)。這兩個(gè)系統(tǒng)既相互獨(dú)立又彼此聯(lián)系，這種觀點(diǎn)稱(chēng)為雙重編碼說(shuō)。按照雙重編碼理論，造成數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和記憶困難的主要原因在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料（數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)）具有高度的抽象性，它不容易喚起視覺(jué)映像。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行心理映像方面的訓(xùn)練。即在知識(shí)的形成階段，充分利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料數(shù)與形統(tǒng)一的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)的言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化為表象表征，將數(shù)譯成形，形成科學(xué)、合理的概念系統(tǒng)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視直觀化的教學(xué)手段，通過(guò)畫(huà)圖（線段圖、面積圖、示意圖等）將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路。例如，教學(xué)計(jì)算題：1+3+5+7+…+99=（ ）時(shí)，可以設(shè)計(jì)兩個(gè)教學(xué)層次：第一層次，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解答，學(xué)生一般會(huì)按照等差數(shù)列求和的方法進(jìn)行計(jì)算；第二層次，教師介紹畫(huà)正方形點(diǎn)陣圖表示題目的意思，并引導(dǎo)學(xué)生看著圖，尋找算式與點(diǎn)陣圖之間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出1+3+5+7+…+99=502=2500。最后，回顧解題過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)到，解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，可以換個(gè)思路，借助直觀圖，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，從而找到解決問(wèn)題的方法。

三、 加強(qiáng)直觀推理，發(fā)展分析問(wèn)題的能力

直觀推理作為一種滲透力極強(qiáng)的思維形式，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)直觀的精髓。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)并不是只要求學(xué)生會(huì)構(gòu)造示意圖或線段圖，能給出數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀表征就可以了，因?yàn)闃?gòu)圖有時(shí)只需要關(guān)注一些數(shù)學(xué)對(duì)象的局部元素，缺乏對(duì)結(jié)構(gòu)的整體把握。因此，教師還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題過(guò)程中的作用，注意為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行比較、分析和想象，展開(kāi)豐富多彩的直觀推理，進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

例如，在教學(xué)“用假設(shè)的策略解決實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，教師可以提示學(xué)生根據(jù)自己的假設(shè)畫(huà)出示意圖，并根據(jù)畫(huà)出的圖分析乘船人數(shù)的變化以及產(chǎn)生這種變化的原因，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)量發(fā)生的變化及時(shí)進(jìn)行調(diào)整，推算出每種船的只數(shù)，最后進(jìn)行檢驗(yàn)。這一解決問(wèn)題的過(guò)程就涉及直觀圖與算式的轉(zhuǎn)換，學(xué)生借助直觀圖，抽象出解題思路：假設(shè)—比較—調(diào)整—檢驗(yàn)。因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的教學(xué)中，可以通過(guò)直觀圖像與數(shù)學(xué)符號(hào)的互相轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題。

四、 利用直觀探究，發(fā)展解決問(wèn)題的能力

學(xué)生在開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)習(xí)慣性地對(duì)問(wèn)題作出一種直觀判斷，這種直觀判斷起初只是一種直覺(jué)、猜想或猜測(cè)，也正是這種直覺(jué)或猜想以及追求真理的愿望，引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)進(jìn)一步的探究，并最終解決問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要充分發(fā)揮幾何直觀在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程，特別是一些可以利用直觀來(lái)描述的問(wèn)題，不必急于給出解決問(wèn)題的方法，而要鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀提出猜想或猜測(cè)，并盡可能地從中找到解決問(wèn)題的思路或直接利用直觀手段求解，以幫助學(xué)生不斷積累利用直觀進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀能力和解決問(wèn)題的能力。

例如，六年級(jí) “百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”中有比較復(fù)雜的“工資分段繳稅”問(wèn)題：國(guó)家規(guī)定個(gè)人收入要繳個(gè)人所得稅，如果工資在1600元以?xún)?nèi)不繳稅，超過(guò)部分不超過(guò)500元繳稅5%，超過(guò)500～2000元部分按10%繳稅，超過(guò)2000～5000元部分按15%繳稅。李叔叔月收入2400元，要繳多少個(gè)人所得稅？王叔叔月收入5200元，要繳稅多少元？在以往教學(xué)中，學(xué)生難以理解的有兩點(diǎn)：一是要繳稅的工資的稅率不止一個(gè)，到底按照怎樣的稅率來(lái)繳稅。二是分段的每一段工資是多少錢(qián)，比如超過(guò)500～2000元的部分到底是多少錢(qián)，是2000元，還是1500元，理解不清。教學(xué)中無(wú)論怎么講解，學(xué)生總是不能很好地理解分段繳稅的含義。若用畫(huà)線段圖的方法直觀地來(lái)表示分段繳稅的含義，簡(jiǎn)潔明了，學(xué)生一看就明白。

線段圖如下圖所示，先畫(huà)一根線段，在圖上標(biāo)出0和500，表示工資超過(guò)1600元的，超過(guò)部分在500元以?xún)?nèi)的就按照5%的稅率繳稅，標(biāo)出5%。再根據(jù)第二句話(huà)“超過(guò)500～2000元部分按10%繳稅”，在線段圖上標(biāo)出2000元，指出超過(guò)繳稅部分的工資大于500元，從500元（不包括500元）到2000元的這一段工資要按10%繳稅，標(biāo)出10%。同理，如果超過(guò)繳稅部分的工資大于2000元，超出2000到5000元的部分要按照15%的稅率來(lái)繳稅。這樣學(xué)生對(duì)于分段繳稅的標(biāo)準(zhǔn)就清楚了。

然后，對(duì)照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)再來(lái)畫(huà)李叔叔工資中需要繳稅的部分，讓學(xué)生算出李叔叔月收入2400元，要繳稅的工資部分（2400-1600=800（元））。再問(wèn)：800元對(duì)照繳稅線段圖上要畫(huà)多長(zhǎng)？在圖上畫(huà)出表示800元的線段。如下圖。

提問(wèn)：對(duì)照上面的繳稅分段圖，800元超過(guò)500元不到2000元，要分幾段繳費(fèi)？第一段多少元，第二段多少元？為什么？學(xué)生看著兩個(gè)線段圖進(jìn)行了對(duì)比，很容易就明白800元超過(guò)500元，不到2000元，分兩段繳稅，第一段500元，第二段是800-500=300（元）。

提問(wèn)：500元這一段按百分之幾的稅率繳稅，300元的部分按百分之幾的稅率繳費(fèi)？怎樣計(jì)算李叔叔繳稅多少錢(qián)？500×5%+300×10%=25+30=55（元）。有了剛才分析線段圖的基礎(chǔ)，第二個(gè)問(wèn)題“王叔叔月收入5200元，要繳稅多少元”，雖然問(wèn)題更復(fù)雜，要分三段繳稅，但解決問(wèn)題的方法是一樣的。有了剛才的分段繳稅標(biāo)準(zhǔn)的線段圖，學(xué)生解決起來(lái)也不困難。讓學(xué)生自己對(duì)照繳稅標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)出王叔叔工資需要繳稅的是多少元，確定分幾段來(lái)繳稅。5200-1600=3600（元），要繳稅的工資部分是3600元。對(duì)照繳稅線段圖，先畫(huà)出表示3600元的線段。提問(wèn)學(xué)生3600元應(yīng)該分幾段來(lái)繳稅？為什么？對(duì)照線段圖，學(xué)生很容易就看出應(yīng)分三段來(lái)繳稅，如下圖。

追問(wèn)：這三段分別是多少錢(qián)呢？怎么算？第一段500元，第二段是從500到2000元的部分，2000-500=1500（元），剩下的在第三段，3600-500 -1500=1600（元）。第一段按5%繳稅，第二段按10%繳稅，第三段按15%繳稅。500×5%+1500×10%+1600×15%=25+150+240=415（元）。

通過(guò)線段圖的直觀形象，用這種圖示語(yǔ)言可以簡(jiǎn)明直觀地表示出數(shù)量關(guān)系，學(xué)生更容易理解分段繳稅的含義和算法，有助于探索解決問(wèn)題的思路。

總之，幾何直觀能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，通過(guò)對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思考方式和學(xué)習(xí)方式，以促進(jìn)學(xué)生能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，也為學(xué)生今后深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。

（甘肅省會(huì)寧縣教育局 730700）