在小學(xué)階段，具有加法結(jié)構(gòu)的實(shí)際問題有三類：變化題、合并題和比較題。其中，比較題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。作為比較題中的一種，“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾”的實(shí)際問題是以“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）多少”為基礎(chǔ)的：在學(xué)習(xí)活動(dòng)上，相差關(guān)系的問題可以通過“擺一擺”“排一排”的操作得到解決；在數(shù)學(xué)概念上，“比一個(gè)數(shù)多幾，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)添上幾”“比一個(gè)數(shù)少幾，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)去掉幾”。由于學(xué)生已經(jīng)具有這些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，蘇教版教材二年級(jí)下冊(cè)讓學(xué)生擺擺、算算，從直觀形象看出結(jié)果到列式計(jì)算，抽象地用數(shù)學(xué)計(jì)算解決問題。

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生通過擺學(xué)具看出結(jié)果并不難，而列出算式、理解算式的意義與數(shù)量關(guān)系很不容易。這是因?yàn)閺膶W(xué)具到算式的跨度比較大，需要把“求比一個(gè)數(shù)多幾”轉(zhuǎn)化成“兩部分合并”，把“求一個(gè)數(shù)少幾”轉(zhuǎn)化成“總數(shù)里去掉一些”，才能聯(lián)系已有的加、減法概念列出算式，并理解和解釋算式的意義。

因此，本課教學(xué)的重點(diǎn)就在于幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從直觀的學(xué)具操作到抽象的算法建構(gòu)之間的跨越。怎樣幫助學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)這個(gè)跨越呢？筆者跳出了為解題而教學(xué)的層面，借助幾何直觀，立足于解決問題經(jīng)驗(yàn)的積累展開了實(shí)踐與思考。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、觀察感知，激活經(jīng)驗(yàn)

師（出示教材主題圖）：從下圖中你能說說小青比小東多擺幾個(gè)嗎？

小東：★★★★

小青：★★★★★★★

生：小青比小東多了3個(gè)，用小青擺的7個(gè)減去小東擺的4個(gè)，就得到了小青比小東多的3個(gè)。

師：不計(jì)算，能不能一眼看出小青比小東多擺幾個(gè)？

生：前面4個(gè)是每個(gè)畫片對(duì)齊的，后面3個(gè)沒有和上面的對(duì)齊，所以多3個(gè)。（動(dòng)畫演示）

二、自主探索，建構(gòu)算法

1.發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

師（出示例3主題圖中小英和小華的信息）：從圖上你能知道什么數(shù)學(xué)信息？

生：小英擺了11個(gè)畫片，小華比小英多擺了3個(gè)。

師：根據(jù)這兩個(gè)條件，可以提出什么問題？

生：小華擺了多少個(gè)？

師：你能把條件和問題連在一起完整地說一說嗎？

2.借助操作，解決問題。

（1）動(dòng)手操作。你打算怎樣解決這個(gè)問題？看著大屏幕，可以動(dòng)手用花片擺一擺，也可以不動(dòng)手，在腦子里想一想該怎樣擺。需要用花片的同學(xué)，每人從袋中取出同一種顏色的花片擺一擺。咱們比一比哪個(gè)小朋友擺得整齊，讓別人能夠一眼看出小華比小英多擺了3個(gè)。

生獨(dú)立操作后匯報(bào)交流。

生：小英擺了11個(gè)。（課件依次出示11個(gè)花片）

生：小華擺了14個(gè)。

師：14個(gè)人是怎么擺出來的呢？

生：先擺11個(gè)，然后再擺3個(gè)。

師（課件與講解同步）：在第一排下面一個(gè)對(duì)著一個(gè)擺，先擺出和小英的花片同樣多的部分（出示11個(gè)花片），然后接著擺3個(gè)（依次出示3個(gè)花片）。這樣，第二排的花片就比第一排多3個(gè)。通過擺一擺可以發(fā)現(xiàn)，小華要擺多少個(gè)？

生（齊答）：14個(gè)。

（2）表象操作。你能再說一遍自己是怎樣擺的嗎？同桌互相說一說自己的擺法。一位同學(xué)說，另一位同學(xué)在腦子里想：小英、小華分別是怎么擺的？

（3）算法抽象。

師：如果不擺花片，你能用算式表示出小華要擺多少個(gè)嗎？

生：11+3=14（個(gè)）。（師板書）

師：你是怎樣想的？

生：因?yàn)樾∪A比小英多3個(gè)。所以求小華要擺多少個(gè)就是求比11多3的數(shù)是多少，要把11和3合起來，用加法計(jì)算。

3.試一試：變化條件和問題。

師（課件出示例3有關(guān)小平信息的情境圖）：從屏幕上你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：小平比小英少3個(gè)，要求小平擺了多少個(gè)？

師：根據(jù)所給的條件，不動(dòng)手，你能把小平擺花片的情況在腦子里擺出來嗎？

師（呈現(xiàn)擺法）：和你想的一樣嗎？

師：誰來說說這里為什么要空3個(gè)呢？

生：因?yàn)樾∑奖刃∮⑸贁[了3個(gè)。

師：你能用算式表示出小平要擺多少嗎？

學(xué)生獨(dú)立嘗試列式，并板演：11-3=8（個(gè)）。

師（追問）：為什么要用減法算？

生：因?yàn)樾∑奖刃∮⑸贁[了3個(gè)。小平要擺多少個(gè)，是求比11少3的數(shù)，要從11里面去掉3，所以用減法算。

4.對(duì)比、反思。

師：剛才我們幫助小華和小平算出了他們各擺了多少個(gè)花片。這兩道題有什么不同的地方？

生：小華擺的是用加法，小平擺的是用減法。

師：為什么解決小華的問題用加法，解決小平的問題用減法？

師揭題并板書：求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的實(shí)際問題。

三、鞏固拓展，積累經(jīng)驗(yàn)

1.擺一擺。

課件出示：

（1）第一行擺紅花片6個(gè)，第二行擺黃花片，黃花片比紅花片少2個(gè)。

學(xué)生動(dòng)手操作后匯報(bào)。

（2）第一行擺紅花片6個(gè)。

生：我有問題，第二行黃花片擺幾個(gè)？

師：猜猜看，這次黃花片可能怎樣擺呢？把你的想法擺出來，讓大家猜一猜你是怎樣擺的。

學(xué)生操作后說擺法，其余同學(xué)猜擺了幾個(gè)。

2.完成“想想做做”第1題，認(rèn)識(shí)直條圖。

（1）由情境圖到直條圖。

師（出示教材情境圖）：誰看懂了圖的意思？你能自己列式解答嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成后交流：為什么要用32加6？

生：劉芳比李寧多走6格。

師：如果用畫圖來表示兩個(gè)小朋友走的格數(shù)，你想怎樣畫呢？你有什么感覺？

生：很麻煩。

師：一個(gè)一個(gè)畫起來很麻煩，我們可以把這些格子連起來，用一個(gè)直條表示李寧走了32格。

啟發(fā)思考：怎么表示劉芳走的格數(shù)？

追問：哪一部分表示劉芳比李寧多走的6格？（請(qǐng)學(xué)生指）

完善線段圖：

師：要求劉芳走了多少格，就是求下面直條的長。

（2）由圖到文字。

師（隱去情境圖）：你能看著這個(gè)直條圖說一說這幅圖的意思嗎？

（生答略）

師：這個(gè)直條圖把題目中的兩個(gè)條件和一個(gè)問題都表示出來了，看著直條圖，你能找到求劉芳走了多少格的方法嗎？

生：把上面的32格和下面的6格合起來。

師：小朋友可真不簡單，根據(jù)一幅圖不但復(fù)述了原來的題目，而且很快就找到了解決問題的方法。下面的圖你能看懂嗎？

3.完成“想想做做”第2題，理解直條圖。

（1）課件出示。

生：冬冬澆了36盆，小玉比冬冬少澆了12盆。問題是小玉一共澆了多少盆。

師：你能自己解決這個(gè)問題嗎？把答案寫在練習(xí)紙上。

（2）課件變換素材。

師：小朋友在干什么？（拍球）通過看圖，你能很快解答這個(gè)問題嗎？把你理解的題意說給同桌聽。自己會(huì)解決這個(gè)問題嗎？

（3）比較異同。

師：我們剛剛借助直條圖解決了兩個(gè)問題。細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)了什么？

生：單位名稱不同。

生：算式都一樣。

生：直條圖都一樣。

生：這兩個(gè)直條圖都表示比36少12的數(shù)是多少，都是用減法計(jì)算。

師：這兩題不同的地方在哪里？

生：講的事情不一樣。

（4）再次編題。

師：只看直條圖，你能不能根據(jù)這幅圖再編一道這樣的題目呢？

生：我拍了36下籃球，我的同桌張雨萌比我少拍了12下。張雨萌拍了多少下？

生：……

4.完成“想想做做”第3題，應(yīng)用直條圖。

教師課件出示題目的情境圖（刪去小灰兔說的話）。

生：老師，沒法解決這個(gè)問題。小灰兔沒有說比小白兔多還是少。

師：小灰兔可能怎么說呢？

生：小灰兔說我比你多拔了7個(gè)。

師：如果小白兔拔的蘿卜用這么長的直條來表示的話（師用手比劃），小灰兔拔的蘿卜的個(gè)數(shù)也用直條表示，要比這個(gè)？（生：長）

生：我比你少拔7個(gè)。（用手勢表示直條圖）

師：猜猜看還能怎么說？

生：我和你拔的同樣多。（腦中想象直條圖）

師：這時(shí)小灰兔拔了多少個(gè)？

生：25個(gè)。

師：小灰兔到底怎樣說的呢？

課件出示：

我拔的和你同樣多。（腦中想象直條圖）

我拔的比你多得多。（腦中想象直條圖）

師：會(huì)是這四個(gè)數(shù)中的哪一個(gè)呢？（課件出示：12 25 27 48）

（生答略）

四、全課小結(jié)（略）

【教學(xué)思考】

作為2011版課標(biāo)提出的核心概念之一，“幾何直觀”可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。它不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，在解決“數(shù)與代數(shù)”等其他領(lǐng)域的問題時(shí)，也具有十分重要的作用，特別對(duì)于解決較為抽象的整數(shù)比較題、分?jǐn)?shù)問題、行程問題等實(shí)際問題的作用更加明顯。本課作為上述實(shí)際問題的認(rèn)知起點(diǎn)，創(chuàng)造性引入直條圖，讓學(xué)生在剛剛接觸簡單實(shí)際問題時(shí)就感受到幾何直觀的價(jià)值。

直條圖源自實(shí)物操作時(shí)兩種事物的一一對(duì)應(yīng)，同時(shí)又是后續(xù)學(xué)習(xí)線段圖的雛形和跳板。因此，直條圖作為解決“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾”的實(shí)際問題模型和理解數(shù)量關(guān)系的支撐，它的出現(xiàn)不但可以幫助學(xué)生有效實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的跨越，而且為以后借助線段圖解決實(shí)際問題積累了豐富的感性經(jīng)驗(yàn)和理性經(jīng)驗(yàn)。

一、強(qiáng)化操作和直觀，直條圖呼之欲出

回顧本課的教學(xué)，數(shù)量關(guān)系的建立始終作為教學(xué)的重點(diǎn)與核心，這種核心的凸顯，就是借助了幾何直觀——直條圖。直條圖并非是教師直接給出的，而是在學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手操作、表象操作與符號(hào)操作等多種表征轉(zhuǎn)換活動(dòng)中逐步構(gòu)建的。

（一）借助直觀激活原有經(jīng)驗(yàn)

解決“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾”的實(shí)際問題是學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)。課始，教師借助教材的主題情境直接出示兩排花片，讓學(xué)生說一說小青比小東多擺了幾個(gè)，而且通過“不計(jì)算，怎樣看出多擺的個(gè)數(shù)”來引導(dǎo)學(xué)生直接關(guān)注多的部分，為新知的建構(gòu)激活了相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。而兩行花片的一一對(duì)應(yīng)擺放，是直條長、短的直觀顯現(xiàn)。

（二）借助操作積累表象經(jīng)驗(yàn)

低年級(jí)兒童的思維特點(diǎn)主要以形象思維為主，動(dòng)手操作是其獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的主要途徑，但教學(xué)并沒有停留在操作層面，而是借助操作積累豐富的表象經(jīng)驗(yàn)。

解決例題“小華擺了多少個(gè)”時(shí)，先提出了不同層次的要求：“可以借助花片擺一擺，也可以不用花片，在腦中想一想怎樣擺”；接著再引導(dǎo)學(xué)生同桌互相說怎樣擺（一人說，一人在腦中擺），進(jìn)一步豐富表象經(jīng)驗(yàn)的積累。

解決例題“小平擺了多少個(gè)”時(shí)，教師則直接提出要求：“不動(dòng)手，你能把小平擺花片的情況在腦子里擺出來嗎？”引導(dǎo)學(xué)生逐漸擺脫實(shí)物直觀，強(qiáng)化表象在解決問題中的作用，再次為直條圖的出現(xiàn)積累豐富的表象經(jīng)驗(yàn)。

鞏固練習(xí)的第一環(huán)節(jié)，教師仍然安排了操作活動(dòng)，第一個(gè)操作是對(duì)本課新知的及時(shí)鞏固，第二個(gè)操作則再次著眼表象經(jīng)驗(yàn)的建立和鞏固，一位學(xué)生匯報(bào)自己的操作，其余學(xué)生想象是怎樣擺的，并列式解答。

（三）借助動(dòng)畫產(chǎn)生直條圖

在教學(xué)例題的環(huán)節(jié)，教師并沒有急于亮出直條圖，而是在上述兩個(gè)過程中，為直條圖的出現(xiàn)做足文章，積淀豐富的操作經(jīng)驗(yàn)和表象經(jīng)驗(yàn)，給學(xué)生造成一種“直條圖”呼之欲出的情感體驗(yàn)。

解決“想想做做”第1題后，教師則讓學(xué)生先體驗(yàn)用方格一格一格擺出李寧走的步數(shù)太麻煩了，再借助動(dòng)畫將每個(gè)格子合并起來，就產(chǎn)生了直條圖，并逐步完善直條圖，從而實(shí)現(xiàn)情境圖到直條圖的過渡。到此，直條圖便自然、“直觀”呈現(xiàn)在學(xué)生的面前。

二、運(yùn)用直條圖，為理解數(shù)量關(guān)系構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)核心是理清數(shù)量關(guān)系。問題的求解，在于透過對(duì)情境的理解，掌握數(shù)量關(guān)系，從而建立求解模型。低年級(jí)的應(yīng)用題教學(xué)要遵循低年級(jí)兒童的心理特點(diǎn)，抽象的程度不能太高。因此，作為半直觀半抽象的直條圖就為低年級(jí)學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系進(jìn)而構(gòu)建模型提供了支撐。

（一）看懂圖意，體會(huì)直條圖的內(nèi)涵

運(yùn)用的前提是理解。所以，在直條圖出現(xiàn)以后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生看懂圖意：“你能看著這個(gè)直條圖說一說它的意思嗎？”讓學(xué)生看著直條圖復(fù)述圖意，從而認(rèn)識(shí)到“直條圖把題目中的兩個(gè)條件和一個(gè)問題都表示出來了”。這樣一個(gè)由圖到文字的過程，讓學(xué)生再次從半抽象半直觀的直條圖回到原來的問題情境之中。再次的思維轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生初步體會(huì)了直條圖的內(nèi)涵，為后面的應(yīng)用積累了認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

（二）變化素材，體會(huì)數(shù)量關(guān)系的不變

在初步看懂直條圖的基礎(chǔ)上，教師利用“想想做做”第2題設(shè)計(jì)了層次遞進(jìn)的練習(xí)，先是將教材中的情境圖變?yōu)榍榫臣又睏l圖，一方面及時(shí)加深對(duì)直條圖的認(rèn)知與理解，另一方面，進(jìn)一步體會(huì)求比較量的數(shù)量關(guān)系；緊接著，教師變化素材，由澆花到拍球。情境變化，但是數(shù)量關(guān)系不變，學(xué)生在口述圖意及解決問題的基礎(chǔ)上自主發(fā)現(xiàn)：“兩道題說的事雖然不同，但是數(shù)量關(guān)系是相同的，解決問題的方法也是相同的?！睆亩怀鼋鉀Q問題中“數(shù)量關(guān)系”的核心作用。

（三）看圖編題，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值

在前面兩個(gè)層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)直條圖的認(rèn)知與運(yùn)用、對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，足以幫助學(xué)生解決本類型的實(shí)際問題。但教學(xué)并沒有止于此，而是順勢再進(jìn)一步——“只看直條圖，你能不能根據(jù)這幅圖再編一道這樣的題目呢”，這個(gè)問題瞬間將學(xué)生的思維激活。學(xué)生在這個(gè)活動(dòng)中不僅要深刻理解直條圖，而且能與生活經(jīng)驗(yàn)相對(duì)接。編的題目雖然不同，但使用了同一幅直條圖。這樣的教學(xué)突出了體會(huì)直條圖這一數(shù)學(xué)模型在解決問題中的價(jià)值。

三、強(qiáng)化直觀模型，形成解決問題經(jīng)驗(yàn)

解決問題經(jīng)驗(yàn)的獲得不是一蹴而就的，而是要反復(fù)經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程逐漸形成。在經(jīng)歷了直條圖的產(chǎn)生、理解和初步應(yīng)用的基礎(chǔ)上，教師巧妙開發(fā)“想想做做”第3題的教材空間，進(jìn)一步強(qiáng)化直條圖這一直觀模型，從而幫助學(xué)生形成問題的經(jīng)驗(yàn)。

教師先是隱去教材中小灰兔的話，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“沒法解決這個(gè)問題”，接著引導(dǎo)學(xué)生猜一猜“小灰兔可能怎么說”，在這個(gè)過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力得到了培養(yǎng)。在分析問題時(shí)，教師先是用手勢比畫小白兔拔的蘿卜個(gè)數(shù)表示的直條，引導(dǎo)學(xué)生比畫對(duì)應(yīng)的小灰兔拔的蘿卜個(gè)數(shù)表示的直條；接著，引導(dǎo)學(xué)生多次在頭腦中想象直條圖，從而強(qiáng)化直條圖在分析問題和解決問題中的作用；最后，教師將“數(shù)的意義”與“解決問題”相結(jié)合，通過“多得多”讓學(xué)生判斷小灰兔拔的個(gè)數(shù)可能是四個(gè)數(shù)的哪一個(gè)，再次強(qiáng)化小灰兔拔的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的直條比小白兔拔的個(gè)數(shù)的直條長得多。在這個(gè)開發(fā)教材、知識(shí)綜合的過程中，不斷強(qiáng)化直條圖在解決實(shí)際問題中的模型價(jià)值，為以后學(xué)習(xí)借助線段圖分析問題和解決問題奠定發(fā)展的基石。

【注】本文為江蘇省教育科學(xué) “十二五” 規(guī)劃重點(diǎn)課題《小學(xué)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的案例研究》（編號(hào)：B-b/2011/02/163）階段性成果。

（江蘇省邳州經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)中心小學(xué) 221300）