數(shù)學優(yōu)化問題，是指在解決問題時面對多種可行的策略、方案或答案，教師要引導學生從中尋找一種最佳的策略、方案或答案。在數(shù)學教學活動中，解決數(shù)學問題的方法可能很容易找到，且很多時候不止一種，關鍵要引導學生從中尋找一種最好的解決方法，以達到“事半功倍”的良好效果。下面筆者結合教學實例，來談談小學高段數(shù)學優(yōu)化問題的教學。

一、數(shù)學優(yōu)化問題的價值與教材編排

通過數(shù)學優(yōu)化問題的教學，教師可以培養(yǎng)學生的優(yōu)化意識，從而提高解決實際問題的效能。

在人教版實驗教材的編排中，數(shù)學優(yōu)化問題作為專題學習內容，主要有小學低段二年級上冊“簡單的排列——兩位數(shù)”、三年級上冊“簡單的排列——三位數(shù)”以及“簡單的組合”，小學高段安排了三個典型的活動材料對優(yōu)化問題進行了充分的學習探究，具體內容如下：

二、現(xiàn)階段數(shù)學優(yōu)化問題教學中存在的問題

數(shù)學優(yōu)化問題的教學，是以數(shù)學知識為載體，引導學生對優(yōu)化問題進行認知和探索，體驗解決問題的優(yōu)化策略，培養(yǎng)在多種方案中尋找最佳方案的意識。但是在實際教學中，教師往往把它當成一個普通的數(shù)學知識點進行教學，以學生掌握知識、解決數(shù)學問題為目的，忽視了學生優(yōu)化意識的培養(yǎng)和優(yōu)化能力的發(fā)展。

下面筆者就高段教材中的三個數(shù)學優(yōu)化專題教學中存在的問題進行探討。

烙餅問題：為什么烙餅（兩張以上）的次數(shù)總等于餅的個數(shù)？

教學“烙餅問題”時，教師先出示烙餅的方法情境：烙餅的鍋一次只能放兩個餅，兩面都要烙，每面3分鐘。于是在烙一個餅和兩個餅時，學生能很快說出烙餅的時間（都是6分鐘）。但是在烙三個餅時出現(xiàn)了分歧，有的說要12分鐘（先烙兩個，再烙一個），有的說只要9分鐘（先烙1號餅和3號餅的正面，再烙2號餅和3號餅的反面，最后烙2號餅正面和1號餅的反面），然后通過演示和比較，學生認識到后者更優(yōu)化、更節(jié)約時間，教師也只引導啟發(fā)：烙餅鍋一次可烙兩個，若只烙一個就浪費時間，要盡量每次烙兩個。

進而討論烙4個、5個…10個，學生始終停留在“盡量每次烙兩個就不浪費時間” 上進行探究，雖然能找到烙的方法：如果是雙數(shù)個餅就兩個兩個烙，如果是單數(shù)個餅就先兩個兩個烙，最后三個按前面優(yōu)化的方法烙；也發(fā)現(xiàn)了烙餅的次數(shù)等于（兩個以上）餅的個數(shù)。雖然這樣的數(shù)學問題看似能解決了，那么，為什么烙（兩個以上）餅的次數(shù)總等于餅的個數(shù)呢？

打電話問題：“打電話” 問題的教學重點是為了找到規(guī)律嗎？

教學“打電話”一課時，教師先讓學生圍繞著“分組方案”進行不同的設計，在對學生提出的“分成3組、4組和5組”的觀點進行逐一否定后，教師引導：要想時間最少，那么應讓每個通知到的人都不空閑（參與打電話）。于是在圖直觀演示這種打電話方式的基礎上重點總結出了下面的規(guī)律，見下表。

在接下去的時間里，教師針對表格進行大量的分析，甚至總結了計算公式：第n分鐘新接到通知人數(shù)=2n-1；n分鐘所有接到通知的隊員和老師總人數(shù)=2n；n分鐘所有接到通知的隊員數(shù)=2n-1。然后根據(jù)這樣的規(guī)律和公式，解決打電話的問題就簡單了。

試問：“打電話” 問題的教學重點和目的是為了找到這樣的規(guī)律嗎？

找次品問題：“找次品”就意味著每次對物品盡可能平均地分成三份嗎？

在“找次品”教學中，例1用天平通過對5件物品中1件次品的尋找，知道尋找策略的多樣性，然后通過例2對9件物品中1件次品的尋找，明白要把待測物品平均分成三份，進而發(fā)展到對不是3的倍數(shù)個數(shù)待測物品的研究。讓學生發(fā)現(xiàn)找次品的最佳策略：盡可能地把待測物品平均分成三份（如27—9、9、9）；不能平均分的每份相差也最多是1個（如8—3、3、2），這樣找到其中1件次品的稱量次數(shù)最少，見下表。

因為把待測物品盡可能平均分成三份，進而教師又引導學生有這樣的發(fā)現(xiàn)：

當待測物品總數(shù)是：

2～3個（31以下）——1次

4～9個（31以上～32）——2次

10～27個（32以上～33）——3次

……以此類推。

那么，為什么要把待測物品這樣分呢？“找次品”就意味著每次對物品盡可能平均地分成三份嗎？

三、數(shù)學優(yōu)化問題教學要重視引導學生對優(yōu)化策略的深層探究

（一）數(shù)學優(yōu)化問題教學，應重視深層問題的優(yōu)化認識

數(shù)學優(yōu)化問題的教學，不應只停留在對知識本身表面的認識，應當認識到這樣的優(yōu)化可以延伸到更深層次的問題。比如在“烙餅問題”教學中，教師不僅要解決烙3個、4個、5個…10個甚至更多餅烙的優(yōu)化方法，而且要認識到為什么烙餅（兩個以上）的次數(shù)總等于餅的個數(shù)，教師不妨可以用這樣的圖來表示——

3個餅： 于是，n個餅就有：

（注：線上的表示烙第一次，線下的表示烙第二次）

可見，按照這樣的烙法，把第一個餅的第二面空著，總存在這樣一個餅——它的第二面與第一個餅的第二面可以同時烙最后一次，也就意味著有幾個餅（不少于兩個）就可以烙幾次。因此，如果一次能烙兩個餅，每個餅烙兩面，始終有這樣的優(yōu)化方法存在，因為鍋子可以同時烙兩個餅而每個餅正好都是兩面烙。但是，如果鍋子一次能烙三個餅或四個餅，情況就不一樣了。那么每次可以烙三個餅或四個餅，優(yōu)化的方法與之前又有什么聯(lián)系呢？

一次烙三個餅：

一次烙四個餅：

可見，一次烙三個餅，烙餅的個數(shù)必須是3的倍數(shù)才能達到最優(yōu)化；一次烙四個餅只要保證餅的個數(shù)是大于2的偶數(shù)就能達到最優(yōu)化。

以知識為載體，需要去挖掘更多方面的、更深層次的認識，才能使同一類優(yōu)化的思維方式、思想方法和優(yōu)化意識得到形成和發(fā)展。

（二）數(shù)學優(yōu)化問題教學，應關注優(yōu)化結果的形成過程

教學數(shù)學優(yōu)化問題的關鍵是讓學生在思維方式、思想方法和優(yōu)化意識上得到發(fā)展，因此教師的優(yōu)化問題教學不僅是通過優(yōu)化過程尋找優(yōu)化的方法和策略，更應關注通過優(yōu)化策略的尋找，體驗優(yōu)化的過程。

在“打電話”教學中，教師對于學生提出的分組（3組、4組或5組等）通知方法的否定，不應建立在“還有其他方法使通知時間更少”，而要讓學生充分參與探究體驗的過程，在參與過程中自主領悟“策略不夠優(yōu)化”的原因——有的隊員沒有參與打電話，因此，要使打電話通知的策略最優(yōu)化，必須將接到通知的人都發(fā)動起來。基于這樣的認識，讓學生主動探究“第1分鐘、第2分鐘、第3分鐘…第7分鐘”接到通知的人數(shù)，教師并不一定要學生牢記有一個規(guī)律或公式可以解決這個問題，而要讓學生體驗參與過程，從中獲得感悟、啟發(fā)和意識——人人參與總能使下一分鐘通知到的人數(shù)在前一分鐘基礎上增加1倍，同時在遇到這類情況時，學生解決起來比較快捷。

比如，“發(fā)作業(yè)本”的情況就比較類似，全班有48名學生，教師如何在最短的時間里把作業(yè)本下發(fā)到每個學生呢？不妨采用這樣的辦法讓盡可能多的學生參與，見下圖。

其中加“?！钡谋硎玖艚o自己的本子數(shù)。

可以發(fā)現(xiàn)，這樣的優(yōu)化方法只要四五次就能把本子發(fā)給每個學生。而實際操作時，教師不可能一邊數(shù)一邊發(fā)，這時，教師就可以盡可能掐出一半本子分給別人就可以了。如果學生能在活動中體驗到這樣的思維方式和意識，那么優(yōu)化問題教學效果就能在教材知識點以外的其他方面得以施展了。

（三）數(shù)學優(yōu)化問題教學，應突出優(yōu)化策略背后的原因分析

很多時候，教師和學生往往都只關心“可以怎樣優(yōu)化”，而不去思考“為什么可以這樣優(yōu)化”“優(yōu)化的根本原因是什么”。事實上，只有把握優(yōu)化策略背后的根本原因，才能使這樣的優(yōu)化策略研究得更透徹、掌握得更牢固、運用得更廣泛。

在“找次品”教學中，到底為什么要把待測物品盡量平均地分成三份呢？——作為教師，要HknkuNcM2n7vB9bOOiMIemDBRCwPtDmQDXs4eoq2oCs=把學生引導到這樣的領域去思考，才能有最根本的收獲。實際上，“把待測物品盡可能平均分成三份”——這是由天平決定的，因為天平有兩個托盤，一次能同時比較兩份，于是教師就可以去判斷第三份（再加上“次品是唯一的”），這是“物盡所用”而不是“人盡所能”。同時次品在哪一份中又是不明確的，為了公平起見應當三份盡可能分得平均。

豐富的數(shù)學知識，要為學生思維方式的發(fā)生、發(fā)展服務。數(shù)學優(yōu)化問題作為良好的載體平臺，教學中教師應當引導學生重視深層問題的優(yōu)化認識，關注優(yōu)化策略（結果）的形成過程，突出優(yōu)化策略背后的原因分析?！皟?yōu)化”是一種思想、一種意識，這種思想、意識的價值不僅僅體現(xiàn)在解決現(xiàn)在的數(shù)學問題上，更體現(xiàn)在一個人以后的學習、工作和生活中。

（浙江省嘉興市海鹽縣石泉小學 314307）