安慧輝,鄒大歡

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

0 引言

雙極化與李代數(shù)的關(guān)系非常密切[6，7，11]．雙極化的概念最早是由Kaneyuki提出的[9]，用于介紹一種齊性辛流形的代數(shù)描述．李代數(shù)的雙極化的研究不僅有利于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而且對于物理學(xué)也有推進作用．至今為止，李代數(shù)雙極化的研究已經(jīng)取得了一定的成就，例如在[8]、[10]中討論了半單李代數(shù)雙極化的對稱性，并證明了半單李代數(shù)上的任何雙極化都是對稱的．

本文主要討論低維冪零李代數(shù)的雙極化，首先給出交換李代數(shù)的雙極化，然后利用冪零李代數(shù)的分類對非交換李代數(shù)的每一種情況都分別給出它的一個雙極化．

1 基本內(nèi)容

定義1[5]設(shè)L是數(shù)域F上的李代數(shù)，L+、L-是L的兩個子代數(shù)，f是L上的線性函數(shù)，如果三元序?qū)L+，L-，f}滿足：

(1)L=L++L-；

(2)若h=L+∩L-，則f([x,L])=0當(dāng)且僅當(dāng)x∈h；

(3)f([L+，L+])=f([L-，L-])=0；

則稱{L+,L-,f}為L上的一個雙極化．

定義2[1，2]設(shè)L是數(shù)域F上的李代數(shù)，稱L中的理想序列

L0=L，L1=[L，L0],…，Lk+1=[L，LK]，…

為L的降中心序列．若存在k∈N，使得Lk=0，則稱L為冪零李代數(shù)．

命題1[4](1)設(shè)N是復(fù)數(shù)域上維數(shù)小于等于二的冪零李代數(shù)，則N是交換李代數(shù)．

(2)設(shè)N是復(fù)數(shù)域上的三維冪零李代數(shù)，x1,x2,x3是N的一組基，則在同構(gòu)的意下僅有如下兩類：

N31：[xi,xj]=0；
N32：[x1,x2]=x3．

(3)設(shè)N是復(fù)數(shù)域上的四維冪零李代數(shù)，x1,x2,x3,x4是N的一組基，則在同構(gòu)意義下僅有如下三類：

N41：[xi,xj]=0；
N42：[x1,x2]=x3；
N43：[x1,x2]=x3，[x1,x3]=x4.

(4)設(shè)N復(fù)是數(shù)域上的五維冪零李代數(shù)，x1,x2,x3,x4,x5是N的一組基，則在同構(gòu)意義下僅有如下六類：

N51：[x1,x2]=x5,[x3,x4]=x5；
N52：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x5，[x2,x4]=x5；
N53：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x4，[x1,x4]=x5，[x2,x3]=x5；
N54：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x4，[x1,x4]=x5；
N56：[x1,x2]=x3,[x1,x3]=x4，[x2,x3]=x5．

命題2設(shè)L是數(shù)域F上的交換李代數(shù)，{L+,L-，f}是L的一個雙極化，則L+=L-=L且f是L上任意線性函數(shù)．

證明設(shè){L+，L-，f}是交換李代數(shù)L的雙極化，由于L是交換的，?x∈L，[X,L]=0，又因為f([x,L])=0當(dāng)且僅當(dāng)x∈L+∩L-，所以h=L+∩L-=L，則有L=L+=L-，且f可以是L上任意線性函數(shù)．

2 五維以下冪零李代數(shù)的雙極化

交換冪零李代數(shù)的雙極化我們已經(jīng)在命題2中給出，下面給出3、4、5維非交換冪零李代數(shù)的雙極化．

現(xiàn)在根據(jù)f32(x)=〈γ32,x〉=〈k321x1+k322x2+k323x3,x〉和〈xi,xj〉=δij，可得到

從而

這意味著f32([x,N)]=0當(dāng)且僅當(dāng)x∈H．

證明我們對(2)進行詳細證明．

又對?x∈H，有[x,N]=0，f43([x,N])=0．下面我們證明當(dāng)x?NH時f43([x,N)]≠0．

從而

這就意味著f43([x,N])=0當(dāng)且僅當(dāng)x∈H．

γ53=k531x1+k532x2+k534x4,k531,k532,k534∈．

證明下面我們只對命題(3)進行詳細證明．

現(xiàn)在根據(jù)f53+〈γ53,x〉=〈k531x1+k532x2+k534x4，x〉和〈xi,xj〉=δij可以得到，

所以f53([x,N])=0成立當(dāng)且僅當(dāng)x∈H，類似的方法可證出其它五種情況．

[1]孟道驥,復(fù)半單李代數(shù)引論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1998．

[2]J．Humphreys，Introduction to Lie Algebras and Representation Theory[M],New York：Springer-Verlag，1972．

[3]Shaoqiang Deng，A class of dipolarizations in parabolic subalgebras of semisimple Lie algebras[J].Chinese Journal of Con-temporary Mathematics，2006，27(1)：25～31．

[4]范素軍.冪零李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu),河南師范大學(xué)學(xué)報[J],2009,33(5):67～69.

[5]王曉陽．二步冪零李代數(shù)的雙極化[J]．南開大學(xué)學(xué)報,2011，44(2)：90～96．

[6]安慧輝，孟 齊，徐珊珊．Novikov超代數(shù)與經(jīng)典R-Matries(英文)[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，34(2)：74-77．

[7]譚文河，段學(xué)新，李春華．算子李代數(shù)的性質(zhì)[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，27(3)：75-76．

[8]Zixin Hou.Shaoqiang Deng,Dipolarizations in semisimple Lie algebras and homogeneous parak ahler manifolds,Journal of Lie Theory[J].1999,(9):215～232.

[9]S.Kaneyuki.Homogeneous symplectic manifolds and dipoloarizations in Lie algebras[J].Tokyo J.Math.1992,(15):313～325.

[10]鄧少強，趙廣生.半單李代數(shù)雙極化的對稱性(英文)[J].南開大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2000，(2):61～64.

[11]張 敏.分塊矩陣的應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003,24，(1):118～120.