袁岑溪 亓 沖

1（中山大學(xué) 中法核工程與技術(shù)學(xué)院 珠海 519082）

2（瑞典皇家工學(xué)院 瑞典 斯德哥爾摩 SE-10691）

輕質(zhì)量及中質(zhì)量核結(jié)構(gòu)的殼模型研究

袁岑溪1亓 沖2

1（中山大學(xué) 中法核工程與技術(shù)學(xué)院 珠海 519082）

2（瑞典皇家工學(xué)院 瑞典 斯德哥爾摩 SE-10691）

殼模型被廣泛應(yīng)用于研究輕質(zhì)量及中質(zhì)量核的性質(zhì)，它能很好地描述這些原子核的基態(tài)和低激發(fā)態(tài)的能量、電磁矩和電磁躍遷以及β衰變等性質(zhì)。本文簡要介紹了原子核殼模型的基本框架，如何選擇單粒子基矢和構(gòu)建模型空間和有效哈密頓量。對不同區(qū)域的原子核的殼模型最新研究做了回顧。在psd區(qū)，介紹一個(gè)新的相互作用成功地描述碳、氮、氧的中子滴線及其它性質(zhì)以及A=20附近弱束縛豐質(zhì)子核的譜學(xué)性質(zhì)；在fp區(qū)，介紹了N=Z奇奇核中不同同位旋形成的轉(zhuǎn)動(dòng)帶，以及通過N=Z附近的鏡像核研究核力的電荷對稱性破缺；在更重的區(qū)域，介紹了92Pd這個(gè)N=Z的原子核中同位旋標(biāo)量質(zhì)子中子對起主導(dǎo)作用，以及Sn同位素的研究。

原子核殼模型，輕質(zhì)量及中質(zhì)量核，低激發(fā)態(tài)，能譜，電磁躍遷，質(zhì)子中子對

我國和其它國家近年來投入巨資興建或升級大型放射性束裝置，新一代放射性束裝置極大地增加了人們對原子核的認(rèn)識，越來越多的非穩(wěn)定原子核甚至滴線附近的原子核被發(fā)現(xiàn)和研究[1]。研究這些遠(yuǎn)離穩(wěn)定線的原子核的基態(tài)能量、能譜、衰變等性質(zhì)，有助于我們更全面地認(rèn)識和利用原子核。原子核是一個(gè)量子多體體系，如何求解這個(gè)多體問題是個(gè)難題，常用的方法大概分為三類：從頭計(jì)算(ab initio)方法、基于平均場近似的方法、原子核殼模型。原子核殼模型從薛定諤方程出發(fā)，在截?cái)嗟哪Ｐ涂臻g計(jì)算，相比于ab initio方法大大減小了計(jì)算量，可以在單機(jī)及小型服務(wù)器上實(shí)現(xiàn)計(jì)算。殼模型計(jì)算中包含模型空間的組態(tài)混合，通過對角化過程同時(shí)給出基態(tài)和激發(fā)態(tài)，能夠很好地描述原子核的結(jié)合能、能譜、電磁矩、躍遷和β衰變等性質(zhì)，廣泛應(yīng)用于輕質(zhì)量和中質(zhì)量核區(qū)的研究[2-3]。本文總結(jié)了殼模型的基本框架，介紹了作者近年來對不同區(qū)域原子核的殼模型研究的進(jìn)展。

1 原子核殼模型簡介

原子核中質(zhì)子中子數(shù)為2、8、20、28、50等數(shù)值時(shí)，原子核特別穩(wěn)定，這些數(shù)被稱為幻數(shù)?；脭?shù)的存在可以由核素豐度、原子核結(jié)合能和激發(fā)能等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證實(shí)[4]，這些證據(jù)表明原子核存在殼層結(jié)構(gòu)。20世紀(jì)50年代，Mayer等[5]用自旋軌道耦合相互作用解釋了原子核的幻數(shù)。通過中心力加自旋軌道耦合力，求解薛定諤方程得到單粒子軌道，原子核基態(tài)為質(zhì)子和中子分別從低到高占據(jù)軌道，這就是簡單殼模型或稱為獨(dú)立粒子模型。

獨(dú)立粒子模型沒有考慮核子間的“剩余”相互作用，現(xiàn)代殼模型即相互作用殼模型包含“剩余”兩體相互作用，這時(shí)原子核為組態(tài)混合態(tài)。對于一個(gè)原子核，質(zhì)子和中子在各個(gè)軌道上分布。原子核的態(tài)可以看作所有可能分布的疊加。原則上可以通過求解薛定諤方程得到原子核的能量和波函數(shù)，但對于絕大多數(shù)原子核，質(zhì)子數(shù)中子數(shù)比較多，實(shí)際計(jì)算受到限制。基于殼結(jié)構(gòu)，計(jì)算時(shí)可以選擇一個(gè)核心，通常核心的質(zhì)子中子都是幻數(shù)。不考慮核心的激發(fā)，考慮其他價(jià)核子的激發(fā)，在價(jià)空間求解薛定諤方程，從而得到原子核各個(gè)態(tài)的波函數(shù)和本征能量。

殼模型的基本框架包含：選擇球形單粒子基矢、構(gòu)建模型空間和有效哈密頓量。殼模型計(jì)算基于一組球形基，原則上可以用任意球形基。實(shí)際上在求解能量本征方程時(shí)，即從殼模型哈密頓量求解原子核的波函數(shù)這一過程，并不依賴于基的具體形式。但在構(gòu)建殼模型哈密頓量和利用原子核波函數(shù)計(jì)算電磁矩和電磁躍遷等性質(zhì)時(shí)，需要用到球形基的徑向單粒子波函數(shù)的具體形式，通常選擇諧振子基作為基矢。有了單粒子波函數(shù)構(gòu)成的一組基矢，原子核單組態(tài)就可以寫為這組基矢的Slater行列式，原子核波函數(shù)就是模型空間內(nèi)所有可能的組態(tài)的疊加。

有了原子核波函數(shù)，就可以通過求解薛定諤方程得到原子核波函數(shù)和本征能量。但實(shí)際上描述大多數(shù)原子核所需要的諧振子基非常龐大，所以殼模型計(jì)算中構(gòu)建模型空間至關(guān)重要。首先選取一個(gè)核心，通常取一個(gè)雙幻核作為核心。核心以外取一些軌道作為模型空間，考慮到計(jì)算量，通常取一到兩個(gè)大殼作為模型空間，這里一個(gè)大殼的意思是包含一個(gè)主量子數(shù)N對應(yīng)的所有軌道。價(jià)空間中的核子可以在價(jià)空間中的各個(gè)軌道運(yùn)動(dòng)，這些軌道是開放的。價(jià)空間以外空間的所有軌道凍結(jié)，即不能有核子激發(fā)到這個(gè)軌道。對于研究的原子核，選擇的模型空間要包括這些原子核的低激發(fā)態(tài)的重要組態(tài)。殼模型常用模型空間有：sd空間，取16O作為核心；fp空間，取40Ca為核心。包含兩個(gè)大殼的空間有psd空間，取4He作為核心，如圖1所示。

圖1 psd模型空間示意圖Fig.1 Schematic figure of psd model space.

確定了模型空間后，需要在此空間求解薛定諤方程：

有效哈密頓量從核力出發(fā)，核子核子勢模型大概可以分兩類：一類是唯象的，用Yukawa等形式的函數(shù)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；一類是介子交換形式的，即單波色子交換勢，從介子拉氏量出發(fā)，耦合常數(shù)通過擬合介子核子散射和核子核子散射數(shù)據(jù)得到。1990年以來人們根據(jù)大量更為精確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了現(xiàn)代核子核子勢，或稱為高精度核子核子勢，比如唯象的AV18勢[6]和介子交換的CD-Bonn勢[7]。可以通過這些核子核子勢，也稱為現(xiàn)實(shí)核力，做殼模型計(jì)算，稱為現(xiàn)實(shí)殼模型。這需要重整化核力，即去除強(qiáng)排斥芯效應(yīng)和考慮價(jià)空間外部空間的影響這兩步重整化[8]。也可以用擬合核結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)得到的有效哈密頓量做殼模型計(jì)算，稱為唯象殼模型。唯象哈密頓量兩體相互作用矩陣元可以通過擬合核結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，包括結(jié)合能、能級等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到，而哈密頓量單粒子能部分通常取接近實(shí)驗(yàn)值。

殼模型計(jì)算的維數(shù)非常龐大，是大規(guī)模數(shù)值計(jì)算。如何實(shí)現(xiàn)這樣的計(jì)算是一個(gè)有著幾十年歷史并不斷進(jìn)步的前沿問題。最早的殼模型程序是通過jj耦合實(shí)現(xiàn)的，jj耦合維數(shù)小，但需要計(jì)算母分系數(shù)，對于多體問題這一系數(shù)的計(jì)算非常復(fù)雜。Glasgow組的Whitehead等[9]發(fā)展了在M-scheme展開的殼模型程序，并引入了Lanczos對角化算法這一殼模型對角化中的重要方法。在M-scheme展開做殼模型計(jì)算的程序中，應(yīng)用最廣泛的是Antoine程序。M-scheme計(jì)算方便，但維數(shù)大，jj-scheme計(jì)算維數(shù)小，但母分系數(shù)計(jì)算復(fù)雜。OXBASH程序吸收了這兩個(gè)scheme計(jì)算方面的優(yōu)點(diǎn)，即在M-scheme中生成基矢，投影到j(luò)j-scheme，這樣避免了復(fù)雜的母分系數(shù)計(jì)算，又利用了jj-scheme維數(shù)小的優(yōu)點(diǎn)。作者等[10]也編寫了類似OXBASH算法的程序，優(yōu)化了投影方法并實(shí)現(xiàn)了并行計(jì)算。

2 輕質(zhì)量及中質(zhì)量原子核的殼模型研究

2.1 psd區(qū)原子核

從穩(wěn)定線到滴線，由于核力作用，殼結(jié)構(gòu)可能發(fā)生變化，新的幻數(shù)可能產(chǎn)生，這些現(xiàn)象稱為殼演化。近年來，很多工作研究了質(zhì)子中子相互作用特別是其高階項(xiàng)（張量力）對殼演化的影響。核力的其他成分也同樣地可能對殼演化有所貢獻(xiàn)。從氧同位素到氮同位素再到碳同位素，N=14同中素的激發(fā)能下降很快，表明N=14殼在氧同位素中存在，在氮同位素中減弱，在碳同位素中基本消失。我們對這一殼演化過程進(jìn)行了更細(xì)致的討論，把核力中各個(gè)部分相互作用對殼演化的貢獻(xiàn)計(jì)算出來。結(jié)果表明中子中子相互作用在中子數(shù)N=14殼演化過程中起到重要作用[11]。

psd區(qū)域中，人們已經(jīng)提出了一些有效相互作用，比如1975年提出的MK相互作用，1992年提出的WBT和WBP相互作用。MK、WBT和WBP是在(0-1)?ω模型空間中構(gòu)建的，(0-1) ?ω態(tài)和(2-3) ?ω態(tài)之間的混合沒有被考慮，對一些遠(yuǎn)離穩(wěn)定線原子核的性質(zhì)描述不好，比如不能正確給出碳氧同位素的滴線。我們提出了一個(gè)新的psd區(qū)的有效相互作用[12]。此相互作用可以同時(shí)正確給出碳、氮、氧同位素的滴線位置，比如給出的22C的雙中子分離能為106keV，根據(jù)之后發(fā)表的首次觀測值[13]計(jì)算可得雙中子分離能實(shí)驗(yàn)值為110keV。此相互作用同樣可以很好地描述硼、碳、氮、氧等同位素的激發(fā)能級、電四極矩、磁矩和β衰變等。

研究豐質(zhì)子核對理解天體物理非常重要，比如17F(p,γ)18Ne反應(yīng)在恒星爆炸過程起了重要作用，豐質(zhì)子核的結(jié)合能和能譜是計(jì)算這些反應(yīng)所必需的。通常這些能譜和豐質(zhì)子核鏡像核的能譜非常接近，因?yàn)閺?qiáng)相互作用幾乎電荷無關(guān)，庫侖相互作用對能級的影響很小，鏡像核能級差(Mirror Energy Difference, MED)通常為0.1MeV左右。一些特殊的鏡像態(tài)之間，MED可以遠(yuǎn)大于0.1MeV，比如18Ne的3+態(tài)比18O的低了0.82MeV。這是由于價(jià)質(zhì)子占據(jù)弱束縛1s1/2軌道時(shí)，庫侖力的排斥相對較弱。因?yàn)?s1/2軌道沒有離心位壘，波函數(shù)的徑向部分比別的軌道更向外延伸。在一個(gè)包含多個(gè)價(jià)核子的體系中，豐質(zhì)子核中價(jià)質(zhì)子之間的剩余相互作用比相應(yīng)鏡像核中豐中子之間的剩余相互作用要弱，因?yàn)閮r(jià)質(zhì)子更弱束縛波函數(shù)向外延伸?？梢钥闯鋈绻霃溺R像核研究豐質(zhì)子核，既要修正單粒子能級，也要減弱剩余相互作用。我們考慮弱束縛豐質(zhì)子核中的價(jià)核子弱束縛效應(yīng)，修正了sd區(qū)常用的USD系列相互作用，研究了質(zhì)量數(shù)A=20附近豐質(zhì)子核的性質(zhì)[14]。通過修正后的相互作用可以很好地描述豐質(zhì)子原子核的結(jié)合能、能級和MED。

2.2 fp區(qū)原子核

在N=Z的核中，質(zhì)子中子對的T=0和T=1成分以及它們之間的競爭關(guān)系都有可能起很重要的作用。在很輕的N=Z的奇奇核中，基態(tài)一般占據(jù)同位旋最低T=0的態(tài)。但隨著粒子數(shù)的增加，T=1的態(tài)的能量逐漸降低。從fp殼層開始，T=1的態(tài)成為N=Z的奇奇核的基態(tài)。對于46V和50Mn，人們發(fā)現(xiàn)T=0和1的組態(tài)都可以形成轉(zhuǎn)動(dòng)譜，系統(tǒng)性地研究這些核的譜學(xué)對我們理解原子核的配對性質(zhì)有重要作用?；贑D-Bonn勢，我們計(jì)算了fp殼層N=Z奇奇核的低激發(fā)態(tài)結(jié)構(gòu)，很好地描述了這些核中T=0和1態(tài)之間的相對位置和衰變性質(zhì)。作為例子，我們系統(tǒng)地計(jì)算了46V和50Mn的T=0和1的轉(zhuǎn)動(dòng)帶性質(zhì)并與已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果做了比較。計(jì)算表明，這些T=0和1的帶內(nèi)E2躍遷很強(qiáng)而且?guī)чg有很強(qiáng)的M1躍遷[15]。

前文提到，在輕核中，MED等鏡像核的能量差別主要來自庫侖能。而0f7/2殼核的一個(gè)特別性質(zhì)就是庫侖能對激發(fā)態(tài)的能量和衰變性質(zhì)影響較小，主要是因?yàn)檫@些態(tài)的波函數(shù)主要組分都是0f7/2。這為我們研究核子力的同位旋不對稱或電荷對稱性破缺效應(yīng)提供了特別的條件。我們基于CD-Bonn核子核子相互作用計(jì)算了fp殼層T=1/2鏡像核的結(jié)構(gòu)和衰變性質(zhì)。計(jì)算的能級結(jié)構(gòu)與實(shí)驗(yàn)以及基于唯象相互作用的計(jì)算都能很好地符合[16]。0f7/2核中的鏡像能量差電荷對稱性破缺效應(yīng)的貢獻(xiàn)可能和庫侖力具有同等的重要性?；陔姾上嚓P(guān)的高精度CD-Bonn勢，我們計(jì)算了這些鏡像核的鏡像能量差以及電荷對稱性破缺效應(yīng)的矩陣元強(qiáng)度，并與唯象抽取的強(qiáng)度做了比較。

2.3 g9/2軌道及更重的原子核

對于單j軌道上的3或4核子態(tài)，可以通過角動(dòng)量分解的方法給出能量的解析解，有些重要的態(tài)的解析形式非常簡單，有助于研究辛弱數(shù)守恒與否的性質(zhì)[17]。g9/2軌道上4核子態(tài)有兩個(gè)特別的組態(tài)，自旋為4和6且辛弱數(shù)都為4。這兩個(gè)態(tài)是任意兩體相互作用的本征態(tài)，即這兩個(gè)態(tài)的辛弱數(shù)在任意相互作用下是好量子數(shù)，這個(gè)辛弱數(shù)部分守恒的例子可以被解析地證明，而對于j≤15/2的軌道上的其他核子數(shù)和自旋數(shù)的情況則不成立[18]。在辛弱模型基礎(chǔ)上，我們也研究了同位旋矢量質(zhì)子中子關(guān)聯(lián)對原子核結(jié)合能的影響[19]。

最近對92Pd的低激發(fā)態(tài)能譜的測量表明：在這個(gè)非常重的N=Z的核的基態(tài)和激發(fā)態(tài)中，自旋順排的同位旋標(biāo)量質(zhì)子中子對可能會(huì)取代通常的超流態(tài)成為主導(dǎo)，這個(gè)很強(qiáng)的同位旋標(biāo)量關(guān)聯(lián)對進(jìn)一步研究核結(jié)構(gòu)和快質(zhì)子俘獲過程很有意義[20]。進(jìn)一步的殼模型研究表明，這些同位旋標(biāo)量質(zhì)子中子對更傾向于耦合成g9/2軌道上允許的最大的角動(dòng)量J=9，這一特性和其他的所有偶偶核都不一樣[21]。這樣的質(zhì)子中子對形成的低激發(fā)能譜有如下特征：(1) 能級近乎等間隔；(2) I到I-2的態(tài)躍遷概率近似為常數(shù)且具有強(qiáng)選擇性。這一獨(dú)特的激發(fā)模式在接近雙幻核100Sn的N=Z原子核中取代了同位旋矢量耦合。

基于CD-Bonn勢，我們研究了102-132Sn等原子核的性質(zhì)[22]，哈密頓量中的單粒子能和單級相互作用通過對這些核低激發(fā)轉(zhuǎn)暈態(tài)的結(jié)合能擬合而得?；诖斯茴D量，我們研究了101Sn和103Sn的自旋反轉(zhuǎn)及可能的超出普通對關(guān)聯(lián)的相互作用的貢獻(xiàn)。

3 結(jié)語

本文回顧了殼模型的基本框架和一些最新進(jìn)展。在輕核區(qū)，原子核的研究已達(dá)到中子滴線，一個(gè)新的psd區(qū)相互作用能夠同時(shí)正確給出碳、氮、氧的滴線位置。A=20質(zhì)子滴線附近的弱束縛核需要同時(shí)考慮單粒子能和兩體相互作用的修正。N=Z附近的核對研究質(zhì)子中子對關(guān)聯(lián)性質(zhì)有重要幫助，在fp區(qū)46V和50Mn的T=0和T=1的態(tài)都可以形成轉(zhuǎn)動(dòng)帶，在g9/2軌道92Pd被發(fā)現(xiàn)自旋順排的同位旋標(biāo)量質(zhì)子中子對組態(tài)占據(jù)主導(dǎo)。殼模型非常適合研究此類質(zhì)子中子對關(guān)聯(lián)性質(zhì)。fp區(qū)的鏡像核庫侖能差對能級的差別影響較小，可以用來研究核力的電荷對稱性破缺。從輕質(zhì)量到中質(zhì)量核，殼模型對理解原子核結(jié)構(gòu)發(fā)揮著重要的作用。

致謝感謝許甫榮教授、Otsuka教授、Suzuki教授等的討論和建議。

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CLCTL11

Recent shell-model studies of light and medium-mass nuclei

YUAN Cenxi1QI Chong2
1(Sino-French Institute of Nuclear Engineering and Technology, Sun Yat-Sen University, Zhuhai 519082, China) 2(Royal Institute of Technology, AlbaNova University Center, Stockholm SE-10691, Sweden)

Background: Nuclear shell model is widely applied in the studies of light and medium-mass nuclei. The ground and excited state energies, electromagnetic properties and β decay properties of these nuclei can be well understood by solving many body Schr?dinger equation with effective shell-model Hamiltonian in the model space. Purpose: The aim is to introduce the framework of shell model and its application in nuclei. Methods: The nuclear shell model is used to study properties of selected nuclei. Results: In psd region, a new effective shell-model Hamiltonian is introduced. The neutron drip-line of C, N, and O isotopes can be given with such Hamiltonian. The nuclei around A=20 with weakly bound proton are investigated through a modified shell model Hamiltonian. N=Z nucleus is good for studying the effect of proton-neutron pair.46V and50Mn have both T=0 and 1 rotational band.92Pd can be understood under a spin alignment isoscalar scheme of proton-neutron pair. Mirror nuclei around N=Z in fp region can be used for the investigation of charge symmetry breaking effect of nuclear force. Conclusion: Nuclear shell model is proper and useful for the description of light and medium-mass nuclei.

Nuclear shell model, Light and medium-mass nuclei, Low-lying states, Energy level, Electromagnetic transition, Proton-neutron pair

TL11

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.100503

國家自然科學(xué)基金(No.11305272)、高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(No.20130171120014)資助

袁岑溪，男，1984年出生，2012年于北京大學(xué)獲博士學(xué)位，原子核結(jié)構(gòu)專業(yè)

2014-04-25，

2014-09-20