于合理 郝金明 劉偉平 田英國 張 鶴

1)信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，鄭州 450052

2)96633 部隊(duì)，北京100096

1 引言

精密單點(diǎn)定位技術(shù)(PPP)由于受制于衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品的實(shí)時(shí)性和精度，其應(yīng)用主要停留在事后處理模式上。但實(shí)時(shí)應(yīng)用才是PPP 的真正優(yōu)勢，如何實(shí)時(shí)獲取高精度的衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品是實(shí)現(xiàn)該技術(shù)的關(guān)鍵［1］。目前，國際地球動力學(xué)服務(wù)組織(International GNNS Service，IGS)提供的事后精密鐘差產(chǎn)品要延遲12 ～18天才能獲取，即便是超快速精密鐘差也有3 小時(shí)的延遲，無法滿足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的需要。IGS 的預(yù)報(bào)星歷產(chǎn)品和廣播星歷可以滿足實(shí)時(shí)要求，但其納秒級的精度不能夠滿足實(shí)時(shí)要求。

目前美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(Jet Propulsion Laboratory，JPL)已經(jīng)能夠以互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)流的形式提供時(shí)延幾秒的精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品。近幾年我國也開始了廣域?qū)崟r(shí)精密定位原型系統(tǒng)的研究與建設(shè)，高精度衛(wèi)星鐘差的實(shí)時(shí)獲取是該技術(shù)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵［2］。但在鐘差獲取過程中，由于數(shù)據(jù)解算和網(wǎng)絡(luò)傳輸都需要一定的時(shí)間，解算的精密鐘差產(chǎn)品到達(dá)用戶時(shí)會產(chǎn)生幾秒至幾十秒的延遲，導(dǎo)致用戶并不能真正實(shí)時(shí)獲得當(dāng)前的精密衛(wèi)星鐘差。因此，對鐘差進(jìn)行超短期的高精度預(yù)報(bào)對精密單點(diǎn)定位技術(shù)的應(yīng)用有著非常重要的意義。

雖然已經(jīng)有大量文獻(xiàn)探討過衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)［2－7］，但主要都是中長期預(yù)報(bào)，即使所謂的短期預(yù)報(bào)也是研究預(yù)報(bào)一天左右的鐘差，鐘差預(yù)報(bào)精度一般為幾個(gè)到幾十個(gè)納秒，而廣域?qū)崟r(shí)精密單點(diǎn)定位系統(tǒng)中所需要的是幾十秒內(nèi)的超短期預(yù)報(bào)［2］。因此，目前關(guān)于鐘差預(yù)報(bào)的研究成果還無法直接應(yīng)用于實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位。為此，本文對超短期高精度鐘差預(yù)報(bào)進(jìn)行了研究。

2 鐘差預(yù)報(bào)模型

2.1 二次多項(xiàng)式模型

二次多項(xiàng)式模型為:

其中，Δt=ts－t0，Δtsv為ts時(shí)刻衛(wèi)星鐘差，a0、a1、a2為二次多項(xiàng)式待估參數(shù)，t0表示鐘差預(yù)報(bào)的參考時(shí)刻。

當(dāng)觀測數(shù)據(jù)多于3 個(gè)時(shí)，利用最小二乘方法建立模型，求解得到模型參數(shù)。考慮到模型求解過程中經(jīng)常會造成法方程矩陣奇異，進(jìn)而影響衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的可靠性和穩(wěn)定性，本文采用Givens 變換解最小二乘的方法來估計(jì)多項(xiàng)式系數(shù)［8］，這種解法無需組成法方程，而是直接通過變換觀測方程進(jìn)行解算，計(jì)算效率高且節(jié)省內(nèi)存，在解的精度和數(shù)值穩(wěn)定性都優(yōu)于通過組法方程的解算方法。

當(dāng)公式(1)右邊后兩項(xiàng)為零時(shí)則變?yōu)?/p>

2.2 灰色模型

設(shè)原始鐘差數(shù)據(jù)為:

對原始數(shù)據(jù)x0做一次累加，得對應(yīng)的新數(shù)列為:

其中x1(k)表示一次累加得到新數(shù)列x1的第k 個(gè)元素，即

對新生成的數(shù)列建立微分方程:

建立關(guān)于a 和u 的方程為:

a 和u 根據(jù)式(7)利用Givens 變換解最小二乘估計(jì)求得。將a 和u 代入微分方程(6)，得

由于x1是x0的一次累加序列，灰色模型預(yù)報(bào)鐘差可表述為:

2.3 基于歷元間差的二次多項(xiàng)式模型

對原始鐘差數(shù)據(jù)x0作一次差，得

其中，Δx0(k)，k=1，2，…，n表示歷元k+1 時(shí)刻衛(wèi)星鐘差歷元間差值，

再將歷元間作差得到新數(shù)列用二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)后續(xù)的鐘差歷元間差，得到鐘差歷元間差數(shù)列:

最后再將預(yù)報(bào)的鐘差歷元間差結(jié)果還原為預(yù)報(bào)鐘差:

3 實(shí)驗(yàn)分析

文獻(xiàn)［9，10］指出，衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)結(jié)果與衛(wèi)星鐘的類型有很大關(guān)系。為使實(shí)驗(yàn)更具代表性和一般性，根據(jù)衛(wèi)星原子鐘類型和衛(wèi)星編號對照表(表1)，選擇不同類型的1、14、17、25 四顆衛(wèi)星作為實(shí)驗(yàn)星進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

表1 GPS 衛(wèi)星原子鐘類型和衛(wèi)星號對照表Tab.1 Atomic clock types of several GPS satellites

研究所采用的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是歐洲定軌中心(The Center for Orbit Determination in Europe，CODE)發(fā)布的2012年1月27日cod05 s 的鐘差，因?yàn)楸疚乃懻摰氖切l(wèi)星鐘超短期預(yù)報(bào)，應(yīng)當(dāng)先利用拉格朗日方法內(nèi)插得到每秒一個(gè)歷元的鐘差數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)從當(dāng)天0 時(shí)開始，采用前600 s 的數(shù)據(jù)求解模型參數(shù)預(yù)報(bào)后續(xù)300 s 的數(shù)據(jù)。

32、28、7、1 四顆衛(wèi)星運(yùn)用四種方法預(yù)報(bào)鐘差精度的殘差分析圖如圖1 ～4 所示?？v軸LM、QP、GM、ED 分別表示采用線性模型、二次多項(xiàng)式模式、灰色模型和基于歷元間差的二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)結(jié)果事后精密鐘差的殘差曲線。

由圖1 ～4 可知，四種方法對不同類型衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)精度大致相同。在5 分鐘的預(yù)報(bào)時(shí)間內(nèi)，32號 衛(wèi)星誤差為－0.06 ～0.3ns，28號衛(wèi)星誤差為－0.20 ～0.15 ns，7 號衛(wèi)星誤差為－0.35 ～0.10 ns，1 號衛(wèi)星誤差為－0.10 ～0.02 ns。

圖1 32 號衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)殘差Fig.1 Residuals of clock error prediction of Sat.32

圖2 28 號衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)殘差Fig.2 Residuals of clock error prediction of Sat.28

采用四種模型預(yù)報(bào)鐘差的精度基本相當(dāng)，且誤差殘差變化趨勢基本一致，證明了四種預(yù)報(bào)方法的正確性。雖然四種預(yù)報(bào)方法在長期預(yù)報(bào)中各有局限性，但對超短期預(yù)報(bào)而言，四種方法都能達(dá)到較高的精度水平。四種方法對不同種類衛(wèi)星5 分鐘的預(yù)報(bào)精度都能控制在0.36 ns 以內(nèi)。在更短時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星鐘差幾秒、幾十秒的預(yù)報(bào)精度將會更高，能夠滿足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的需要。

圖3 7 號衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)殘差Fig.3 Residuals of clock error prediction of Sat.7

圖4 1 號衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)殘差Fig.4 Residuals of clock error prediction of Sat.1

銣鐘較銫鐘穩(wěn)定，在衛(wèi)星鐘差的長期預(yù)報(bào)或短期預(yù)報(bào)中一般認(rèn)為銫鐘的預(yù)報(bào)精度要低于銣鐘。但對比圖4 和圖1、圖2、圖3 可知，1 號衛(wèi)星雖為銫鐘但預(yù)報(bào)精度并不比其他衛(wèi)星鐘的預(yù)報(bào)結(jié)果差，在這種小樣本的超短期鐘差預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)鐘差精度與衛(wèi)星和衛(wèi)星鐘的類型的相關(guān)性并不是很大，可能是由于鐘差不同時(shí)段內(nèi)的小尺度變化所引起的。為此本文對同一衛(wèi)星不同時(shí)段的結(jié)果進(jìn)行了分析，以1 號衛(wèi)星為例，采用同一天數(shù)據(jù)從第5 個(gè)小時(shí)開始，取前600 s 的數(shù)據(jù)求解模型參數(shù)預(yù)報(bào)后續(xù)300 s 的數(shù)據(jù)，預(yù)報(bào)殘差結(jié)果如圖5。

圖5 1 號衛(wèi)星(5 小時(shí))鐘差預(yù)報(bào)殘差Fig.5 Residuals of clock error prediction of Sat.1(5 hours)

對比圖4、5 可知，同為1 號星同樣采用600 s 的數(shù)據(jù)求解模型參數(shù)預(yù)報(bào)后續(xù)300 s 的數(shù)據(jù)，0 時(shí)開始預(yù)報(bào)的殘差為0.1 ns，而5 時(shí)開始預(yù)報(bào)的殘差最大值還不到0.04 ns，因此，同一衛(wèi)星的預(yù)報(bào)精度與所選取的時(shí)段有重要關(guān)系。衛(wèi)星在某一時(shí)段的預(yù)報(bào)精度主要取決于各衛(wèi)星鐘鐘差在不同時(shí)段內(nèi)的小尺度變化以及所預(yù)報(bào)時(shí)間的長短。

4 結(jié)論

雖然線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和基于歷元間差的二次多項(xiàng)式模型四種衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)方法在長期預(yù)報(bào)鐘都存在各自的缺點(diǎn)和局限性，但在超短期預(yù)報(bào)中精度都很高，都能滿足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位的要求，該文也從側(cè)面證明了廣域?qū)崟r(shí)精密單點(diǎn)定位系統(tǒng)的可行性。不同種類的衛(wèi)星，不同的預(yù)報(bào)方法的預(yù)報(bào)精度各有不同，但四種方法在超短期預(yù)報(bào)中整體上精度相當(dāng)，其預(yù)報(bào)誤差變化趨勢也基本一致，并沒有哪種方法明顯優(yōu)于其他方法。

在這種小樣本的超短期鐘差預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)鐘差精度與衛(wèi)星和衛(wèi)星鐘的類型的相關(guān)性很小。衛(wèi)星在某時(shí)段的預(yù)報(bào)精度主要取決于衛(wèi)星鐘鐘差在該時(shí)段內(nèi)的小尺度變化以及所預(yù)報(bào)時(shí)間的長短。

致謝感謝全球連續(xù)監(jiān)測評估系統(tǒng)( IGMAS)信息工程大學(xué)分析中心對本文工作的支持。

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