彭永新

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)就是研究現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。”那么數(shù)量關(guān)系是什么呢？通常所說的數(shù)量關(guān)系，多是指生產(chǎn)、生活中具體的數(shù)量關(guān)系，如“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”等。實(shí)際上，四則運(yùn)算意義本身就包含著經(jīng)過高度抽象的、最基本的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常將數(shù)量關(guān)系作如下劃分：從抽象程度來分，可分為基本數(shù)量關(guān)系（四則運(yùn)算意義及其逆運(yùn)算關(guān)系）和現(xiàn)實(shí)情境中的具體數(shù)量關(guān)系；從復(fù)雜程度來分，可分為簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系和復(fù)合數(shù)量關(guān)系；從問題背景來分，可分為常見的數(shù)量關(guān)系和特殊的數(shù)量關(guān)系，等等。由此可見，數(shù)量關(guān)系的呈現(xiàn)變化多端，又無處不在，它既是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，又是借此培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和孕育數(shù)學(xué)思想方法的載體。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐粗淺地談?wù)劗?dāng)下課堂教學(xué)中如何把握數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。

一、充分認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的重要性，為學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的解決產(chǎn)生頓悟打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)

我們知道，任何問題的解決，都需要豐富而扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。筆者認(rèn)為，要使學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)能真正地用來解決問題，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)構(gòu)建過程中既掌握豐富的數(shù)量關(guān)系知識(shí)，又掌握數(shù)量關(guān)系知識(shí)的縱橫聯(lián)系，形成一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的知識(shí)組塊，從而為學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的解決產(chǎn)生頓悟打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)下，隨著新課改的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)解決問題仍然感到畏難，遇到實(shí)際問題總感到手足無措，一個(gè)重要原因就是學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系知識(shí)的掌握蒼白無力，對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解不到位。這與我們教師自身對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解不到位、不清楚不無關(guān)系。

根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系的教學(xué)是隨著年段的升高逐步深化并螺旋上升的。低年段結(jié)合四則運(yùn)算意義的教學(xué)，先后出現(xiàn)總分關(guān)系的各種形式和兩個(gè)量比較大小，這些都是數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。針對(duì)本階段學(xué)生形象化思維占主導(dǎo)地位的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體問題情境，充分利用直觀演示包括畫線段圖和有關(guān)操作，豐富低年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的感知和體驗(yàn)，溝通數(shù)量關(guān)系與四則運(yùn)算之間的對(duì)應(yīng)聯(lián)系。而中年段則應(yīng)一方面繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生豐富對(duì)數(shù)量關(guān)系的感知、體驗(yàn)，在加深理解的基礎(chǔ)上，逐步進(jìn)行提煉和抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式這一數(shù)學(xué)模型，如時(shí)間×速度=路程、單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)、工效×工作時(shí)間=工作總量等。另一方面，還要引導(dǎo)學(xué)生積累分析復(fù)合數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用變式練習(xí)和對(duì)比分析，讓學(xué)生體會(huì)到分析的關(guān)鍵是找出隱含的中間問題，形成一定的分析方法和思路。到了高年段則需要在鞏固的基礎(chǔ)上拓展對(duì)基本數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)（特別是引入分?jǐn)?shù)、比的概念），溝通各種數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的完善和方法能力的提升。

從上面的分析可以看出，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)是一個(gè)相互聯(lián)結(jié)不可分割的整體，具有連續(xù)性和系統(tǒng)性，需要我們?cè)诟髂甓谓虒W(xué)時(shí)切實(shí)把握并加以落實(shí)。而現(xiàn)行新課標(biāo)教材在內(nèi)容安排上為避免傳統(tǒng)應(yīng)用題教材“一題一類型”、過于依賴數(shù)量關(guān)系的題型模式，故意打破題型套路，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生的生活經(jīng)歷為基礎(chǔ)，緊密聯(lián)系四則運(yùn)算的意義來分析、理解具體問題情境中的數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。這可能會(huì)誤導(dǎo)一部分老師以為新課改弱化了對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解、建構(gòu)和掌握。筆者認(rèn)為，學(xué)生在解決問題的過程中，從意識(shí)到問題的存在，到發(fā)現(xiàn)問題、尋找解題策略、確定解題思路、對(duì)解題過程進(jìn)行反思，整個(gè)問題解決過程中處處都體現(xiàn)著數(shù)量關(guān)系知識(shí)的作用。這些豐富的知識(shí)背景可以使學(xué)生在面臨實(shí)際問題時(shí)，能對(duì)問題及解決問題所需的知識(shí)作出適宜的解釋，獲得新穎獨(dú)特的問題解決方法。那種脫離數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的系統(tǒng)教學(xué)，將會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系知識(shí)的理解掌握變得支離破碎，從而直接導(dǎo)致解決問題能力的弱化，這是需要警醒的。

二、加強(qiáng)對(duì)數(shù)量關(guān)系建構(gòu)過程的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生建立起良好的數(shù)量關(guān)系知識(shí)結(jié)構(gòu)

關(guān)于數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，課標(biāo)明確要求“探索并理解簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系”，“使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的過程”，等等。這表明課標(biāo)并不是忽略數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，而是強(qiáng)調(diào)從數(shù)學(xué)建構(gòu)的角度看待數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，把小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系的教學(xué)看作一個(gè)整體，按照學(xué)生年段特征整體梳理、不斷衍生，在理解的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)分類和概括的手段，凸顯必要的數(shù)量關(guān)系模式，逐步做到深刻體驗(yàn)、及時(shí)抽象、合理分類、落實(shí)到位，最終形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

當(dāng)下，有的老師片面理解課標(biāo)要求，只講體驗(yàn)、感知，不談概括與分類，這要值得注意。比如，六年級(jí)教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘除法計(jì)算”之后，教材逐步安排了豐富的題材內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)了一些復(fù)雜的情景問題，其目的不僅僅是鞏固理解分?jǐn)?shù)乘除法的意義，鞏固對(duì)分?jǐn)?shù)乘除計(jì)算方法的掌握，更重要的是通過加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系知識(shí)的訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。有這樣一道練習(xí)：“一輛汽車行■千米耗油■升，行1千米耗油多少升？用1升汽油可行多少千米？”就本題的解答，不少學(xué)生對(duì)汽車耗油量與行駛路程之間的數(shù)量關(guān)系往往容易混淆，怎么處理這一難點(diǎn)？筆者以為，可以借助時(shí)間與路程之間的關(guān)系來類推理解。比如，將題目改為：“一輛汽車行■千米用去■小時(shí)，行1千米需要多少小時(shí)？1小時(shí)可行多少千米？”讓學(xué)生進(jìn)行比較兩種題材之間的共性聯(lián)系，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)耗多少油行駛多少路程可以理解為用多少時(shí)間行駛多少路程，這樣可以幫助學(xué)生建立起耗油量與行駛路程之間的數(shù)量關(guān)系，即“耗油量÷路程=1千米的耗油量”“路程÷耗油量=1升油所行駛的路程”。同時(shí)使學(xué)生掌握數(shù)量間的相互聯(lián)系，即已知“一輛汽車行■千米耗油■升”，既能求出行1千米耗油多少升，又能求出用1升汽油可行多少千米。對(duì)這樣的分析，有一些教師會(huì)提出異議：認(rèn)為現(xiàn)在新課標(biāo)反對(duì)過多地使用名詞術(shù)語(yǔ)，反對(duì)機(jī)械地套用模式，現(xiàn)在再提出“耗油量÷路程=1千米的耗油量、路程÷耗油量=1升油所行駛的路程”這樣的數(shù)量關(guān)系，是否違背新課標(biāo)精神？對(duì)此，筆者認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，總是從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和客觀事實(shí)出發(fā)，在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中學(xué)習(xí)理解和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，再進(jìn)行解釋與運(yùn)用。這其中，名詞術(shù)語(yǔ)和數(shù)量關(guān)系的產(chǎn)生與運(yùn)用，其實(shí)就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，是學(xué)生在不斷的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸加深理解與運(yùn)用拓展的過程。

三、重視數(shù)量關(guān)系隱含的策略化知識(shí)教學(xué)，尤其要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系的價(jià)值是什么，筆者認(rèn)為，不僅僅是為了“解答應(yīng)用題”，更在于能在解答應(yīng)用題中學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地解決問題。這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系知識(shí)的過程中儲(chǔ)存有關(guān)如何學(xué)習(xí)和如何思考的策略性知識(shí)。而這種策略性知識(shí)往往是和事實(shí)性知識(shí)結(jié)合在一起的，需要我們?cè)谡n堂教學(xué)中有意識(shí)地滲透、傳授，以幫助學(xué)生獲得大量的有關(guān)解決問題的一般的和特殊的策略性知識(shí)。比如，分類法、替換法、倒退法、假設(shè)法等，它們既是解決問題的基本手段，又是數(shù)學(xué)思想的直接體現(xiàn)，這其中觀察、分析、猜想、綜合、歸納、類比、抽象、概括等數(shù)學(xué)思維方法是思考的一般方法，而數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等則是高層次的數(shù)學(xué)思想方法，具有觀念性的作用。所有這些策略性知識(shí)的傳授都可以與數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)與運(yùn)用結(jié)合起來，成為一個(gè)有機(jī)的整體。

當(dāng)前，我們對(duì)具體的思維方法的訓(xùn)練較為注意，但對(duì)數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)則顯得不足，學(xué)生雖然也能運(yùn)用一些具體方法來解決一些相應(yīng)的問題，但一旦情景發(fā)生變化，特別是面對(duì)綜合性問題時(shí)，學(xué)生就不知道如何用它，這是造成應(yīng)用題教學(xué)老大難的重要原因。比如，以往的教材在講解歸一問題時(shí)，強(qiáng)調(diào)不變的多，說明變化的少。學(xué)生的思維只沿著解答這個(gè)問題一步一步推理，當(dāng)遇到反歸一應(yīng)用題還要再舉例講解，把內(nèi)在聯(lián)系的問題分解得支離破碎，因而學(xué)生也只是一題一例模仿著例題做習(xí)題?，F(xiàn)行的教材則指導(dǎo)學(xué)生用列表的方法整理?xiàng)l件，在列表的過程中分析數(shù)量關(guān)系，尋找解決問題的方法。這種思想方法一旦為學(xué)生所掌握，其作用遠(yuǎn)比解一兩道類似的題目大得多，如果學(xué)生掌握了這種列表找對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法，解題能力會(huì)大大提高。

筆者認(rèn)為，在數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，只有讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法才能真正達(dá)到融會(huì)貫通，只有掌握了深層次的數(shù)學(xué)思想，才算是掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，而這正是數(shù)量關(guān)系教學(xué)中貫徹素質(zhì)教育、提高學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的關(guān)鍵所在。