王正浩， 席慶泰， 熊興榮， 孟慶欣， 楊興濤

（沈陽建筑大學(xué)交通與機(jī)械工程學(xué)院 沈陽，110168）

引 言

隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械向著高性能、高效率方向發(fā)展，近年來國內(nèi)外學(xué)者針對旋轉(zhuǎn)機(jī)械從不同角度開展了廣泛研究［1-9］。在抗震設(shè)計中，研究發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子等在地震激勵下的振動特性是一個非常重要的問題，對復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析是系統(tǒng)安全可靠運(yùn)行的重要保證，但由于問題的困難和復(fù)雜性，這方面的研究較少，數(shù)值計算也不多見［10-11］。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析的方法有蒙特卡羅法和功率譜算法等，但由于其計算過程過于復(fù)雜，計算量非常大，往往使工程人員望而卻步。林家浩等提出的虛擬激勵法是對線性隨機(jī)振動系統(tǒng)進(jìn)行譜分析的有效工具［12］，該方法將平穩(wěn)隨機(jī)激勵轉(zhuǎn)化為穩(wěn)態(tài)簡諧激勵，將非平穩(wěn)隨機(jī)激勵轉(zhuǎn)化為瞬態(tài)確定性激勵，具有簡單、高效、精確等優(yōu)點(diǎn)?？紤]到現(xiàn)代機(jī)械的高速、高精度化，筆者針對計及機(jī)匣彈性、陀螺力矩并同時考慮機(jī)匣與定子間的彈性聯(lián)接的懸臂雙盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，應(yīng)用虛擬激勵法，分析了系統(tǒng)在軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵、轉(zhuǎn)子不平衡隨機(jī)激勵和地面平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵下的隨機(jī)響應(yīng)，并討論了系統(tǒng)剛度變化對隨機(jī)響應(yīng)的影響，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作參數(shù)的合理選擇和隨機(jī)振動控制提供依據(jù)。

1 軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵

在航空燃?xì)鉁u輪發(fā)動機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，由于制造誤差等原因，滾動球軸承的內(nèi)外圈與滾動體之間實(shí)際上存在有微小間隙。如果滾動體直徑不相同，則在大的滾動體插入方向上，如圖1所示，徑向間隙變小，剛度增大Δk，而在其垂直方向上徑向間隙變大，剛度減小Δk，即在相互垂直的方向上存在軸承剛度差。這種軸承剛度差隨轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系Ox′y′按滾動體的公轉(zhuǎn)角速度ω′旋轉(zhuǎn)，激發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動。在y′和x′方向上軸承的彈性恢復(fù)力大小分別為

圖1 軸承剛度差Fig.1 Model of the bearings stiffness difference

根據(jù)坐標(biāo)變換，得到

其中：φ為在［0～2π］上均勻分布的隨機(jī)變量。

在y和x方向上的彈性恢復(fù)力大小分別為

將式（2）代入式（3）得

其中：ΔFy和ΔFx分別為由于軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵引起的y和x方向上彈性恢復(fù)力大小的改變量。

轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系Ox′y′旋轉(zhuǎn)角速度ω′＝αω，其中：α＝D／［2（D＋d）］，D和d分別為軸承內(nèi)圈直徑和滾動體直徑；ω為軸旋轉(zhuǎn)角速度。軸承剛度差Δk＝εk，其中：ε為軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵參數(shù)；k為軸承剛度。

2 系統(tǒng)力學(xué)模型與隨機(jī)運(yùn)動微分方程

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型如圖2所示。設(shè)機(jī)匣為具有線性徑向接觸剛度的彈性圓環(huán)，在隨機(jī)激振力作用下，系統(tǒng)隨機(jī)運(yùn)動微分方程為

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.2 Model of rotor system

位移列陣、隨機(jī)激振力列陣、質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為

其中：

隨機(jī)激振力列陣F＝F1＋F2，其中隨機(jī)激振力列陣F1中的元素包括重力、轉(zhuǎn)子不平衡隨機(jī)激振力和軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵，隨機(jī)激振力列陣F2為地面隨機(jī)地震激勵，F(xiàn)1和F2分別為

φ，φ1，φ2為在［0～2π］上均勻分布的隨機(jī)變量。

分析表明，水平方向地震時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)相對比較強(qiáng)烈，故取慣性力指示向量為

其中：

其中：

其中：

C123456為8行8列對稱矩陣，主對角線上的元素為

第1行第5列元素為－C3x，第2行第6列元素為－C3y，第3行第7列元素為－C4x，第4行第8列元素為－C4y，其余元素為零。

其中：Kr1和Kr2由轉(zhuǎn)子柔度矩陣確定；K1和K2為交叉剛 度 矩 陣；K3＝diag（k3x，k3y，k4x，k4y）；K4＝diag（k3x＋k5x＋kj1x，k3y＋k5y＋kj1y，k4x＋k6x＋kj2x＋kj3x，k4y＋k6y＋kj2y＋kj3y）；K5＝diag（k7x＋kj3x，k7y＋kj3y，k8x＋kj1x＋kj2x，k8y＋kj1y＋kj2y）。

3 系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的虛擬激勵分析

按虛擬激勵法的基本原理［11-12］，應(yīng)構(gòu)造虛擬激勵，由系統(tǒng)隨機(jī)運(yùn)動微分方程式（6），得到系統(tǒng)虛擬振動微分方程

求解虛擬振動微分方程式（8），可得虛擬響應(yīng)為

其中：

進(jìn)而可得到位移隨機(jī)響應(yīng)的功率譜矩陣

其中：上標(biāo)“＊”代表取復(fù)共軛。

4 系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)數(shù)值計算

在隨機(jī)響應(yīng)數(shù)值計算中采用的計算數(shù)值為：軸材料密度ρ＝7.8×103kg／m3；彈性模量E＝210×109N／m2；三段軸直徑均為di＝30mm（i＝1，2，3）；三段軸截面慣性矩Ii＝π／64（i＝1，2，3）；三段軸長度分別為l1＝210mm，l2＝330mm和l3＝240 mm；軸頸質(zhì)量m3＝3kg，m4＝3kg；圓盤質(zhì)量mii＝24.335 3kg（i＝1，2）；圓盤等效質(zhì)量分別為m1＝25.900 9kg，m2＝24.725 1kg；半徑Ri＝120mm（i＝1，2）；厚度Bi＝69mm（i＝1，2）；極轉(zhuǎn)動慣量JPi＝mii／2（i＝1，2）；直徑轉(zhuǎn)動慣量Jdi＝Jpi／2；機(jī)匣質(zhì)量mi＝2m1（i＝5，6，7，8）；滾動軸承阻尼Cix＝Ciy＝0（i＝3，4）；滾動軸承為深溝球軸承6304，α＝0.36；機(jī)匣阻尼Cix＝Ciy＝20Ns／m（i＝5，6，7，8）；材料內(nèi)阻尼Cc＝20Ns／m，外阻尼Cei＝Ce＝350Ns／m（i＝1，2）；地震方向?yàn)樗椒较?；平穩(wěn)白噪聲地震激勵譜密度SO＝1.35×10－1m2／s3；圓盤偏心矩e1＝e2＝e＝0.02mm；軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵參數(shù)ε＝0.006；轉(zhuǎn)速n＝8kr／min。

4.1 機(jī)匣剛度kjx對隨機(jī)響應(yīng)的影響

取機(jī)匣之間的彈性聯(lián)接剛度kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝107N／m，滾動軸承剛度kix＝kiy＝k（i＝3，4）＝6×107N／m。圖3為機(jī)匣剛度分別為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝107N／m（曲線1），kjx＝108N／m（曲線2），kjx＝109N／m（曲線3）和kjx＝2×109N／m（曲線4）時圓盤和軸承的隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度。由圖3可知：機(jī)匣剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響較大，特別是對軸承的隨機(jī)響應(yīng)影響更大；當(dāng)機(jī)匣剛度大于108N／m以后，機(jī)匣剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響基本穩(wěn)定；機(jī)匣剛度的選取原則上應(yīng)該大于108N／m。

4.2 機(jī)匣聯(lián)接剛度kj對隨機(jī)響應(yīng)的影響

取機(jī)匣剛度為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝108N／m，滾動軸承剛度kix＝kiy＝k（i＝3，4）＝6×107N／m。圖4為機(jī)匣聯(lián)接剛度分別為kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝0（曲線1），kj＝106N／m（曲線2），kj＝108N／m（曲線3）和kj＝1010N／m（曲線4）時圓盤和軸承的隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度。由圖4可知：機(jī)匣聯(lián)接剛度對軸承隨機(jī)響應(yīng)的影響明顯，而對圓盤隨機(jī)響應(yīng)的影響不大；機(jī)匣聯(lián)接剛度大于108N／m比較合適。

4.3 軸承剛度k對隨機(jī)響應(yīng)的影響

取機(jī)匣剛度為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝108N／m，機(jī)匣聯(lián)接剛度為kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝107N／m。圖5為軸承剛度分別為k＝1.5×107N／m（曲線1），k＝2×107N／m（曲線2），k＝1 0×107N／m（曲線3）時圓盤和軸承的隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度。由圖5可知：軸承剛度越小，隨機(jī)響應(yīng)（特別是低頻隨機(jī)響應(yīng)）越強(qiáng)烈；軸承剛度取值大于2×107N／m為宜。

圖3 機(jī)匣剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響Fig.3 The influence of casing stiffness on random responses

圖4 機(jī)匣聯(lián)接剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響Fig.4 The influence of casing connection stiffness on random responses

圖5 軸承剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響Fig.5 The influence of bearing stiffness on random responses

5 結(jié)束語

應(yīng)用虛擬激勵法，分析復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在多參數(shù)耦合隨機(jī)激勵－軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵、轉(zhuǎn)子不平衡隨機(jī)激勵和地面平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵作用下的隨機(jī)響應(yīng)是適宜的。通過數(shù)值模擬得到的主要結(jié)論是：機(jī)匣剛度、機(jī)匣聯(lián)接剛度和軸承剛度的變化對隨機(jī)響應(yīng)都有較大影響；比較合適的系統(tǒng)剛度數(shù)值為機(jī)匣剛度和機(jī)匣聯(lián)接剛度應(yīng)大于108N／m，軸承剛度應(yīng)大于2×107N／m。

［1］ 聞邦椿，武新華，丁千，等.故障旋轉(zhuǎn)機(jī)械非線性動力學(xué)的理論與試驗(yàn)［M］.北京：科學(xué)出版社，2004：2－4.

［2］ Yanbe S.Rotor vibration due to collision with annular guard during passage through critical speed［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，1998，120：544－550.

［3］ Yuan Huiqun，Li He，Wen Bangchun.Study on stability and bifurcation behavior of the rotor with local rubbing［C］∥Proceedings of the First International Conference on the Integration of Dynamics，Monitoring and Control.Manchester：［s.n.］，1999：305－308.

［4］ Wen Bangchun，Li Z P，Yao Hongliang，et al.Dynamics of rotor－bearing system with coupling faults of pedestal looseness and rub－impact［C］∥Proceedings of the 11th World Congress on Theory of Machine and Mechanism.Tianjin：［s.n.］，2004：156－165.

［5］ Sankaravelu A，Noah S T，Burger C P.Bifurcation and chaos in ball bearings［J］.Nonlinear and Stochastic Dynamics，1994，192（78）：313－325.

［6］ Wang Y.Prediction of periodic response of rotor dynamics stems with nonlinear supports［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，1997，119：346－353.

［7］ Zhang Yimin，Wen Bangchun.Reliability sensitivity for rotor－stator systems with rubbing［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，259（5）：1095－1107.

［8］ 劉長利，謝朋儒.基于有限元的呼吸裂紋轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性［J］.振動、測試與診斷，2011，31（2）：185－190.

Liu Changli，Xie Pengru.Dynamics characteristics of rotor with breathing crack using finite element method［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆Diagnosis，2011，31（2）：185－190.（in Chinese）

［9］ 張義民，何永慧，朱麗莎，等.多平行軸齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)［J］.振動、測試與診斷，2012，32（4）：527－531.

Zhang Yimin，He Yonghui，Zhu Lisha，et al.Vibration response of multi－shaft rotor system with coupled gear mesh［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆Diagnosis，2012，32（4）：527－531.（in Chinese）

［10］趙巖，林家浩，曹建華.轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)的變異性分析［J］.工程力學(xué)，2002，19（2）：26－31.

Zhao Yan，Lin Jiahao，Cao Jianhua.Variation analysis of shaft systens subjected to stationary random seismic excitations［J］.Engineering Mechanics，2002，19（2）：26－31.（in Chinese）

［11］趙巖，林家浩，曹建華.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平穩(wěn)／非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2002，19（1）：8－11.

Zhao Yan，Lin Jiahao，Cao Jianhua.Seismic analysis of rotor system under stationary nonstationary random earthquake excitations［J］.Journal of Computational Mechanics，2002，19（1）：8－11.（in Chinese）

［12］林家浩，鐘萬勰.關(guān)于虛擬激勵法與結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的注記［J］.計算力學(xué)學(xué)報，1998，15（2）：217－223.

Lin Jiahao，Zhong Wanxie.Some notes on FEM and structural random response analysis［J］.Journal of Computational Mechanics，1998，15（2）：217－223.（in Chinese）