袁 媛，楊戀波

（馬鞍山師范高等?？茖W(xué)校，安徽馬鞍山243041）

DOI：10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.02.013

算子Dn＋p－1在亞純p葉星象函數(shù)上的性質(zhì)

袁 媛，楊戀波

（馬鞍山師范高等?？茖W(xué)校，安徽馬鞍山243041）

在復(fù)分析中，亞純?nèi)~函數(shù)有很好的性質(zhì)和應(yīng)用。利用Hadamard卷積為f（z）∈∑p定義了一個(gè)新的線性算子Dn＋p－1f（z）＝φp（n＋p，1；z）＊f（z），然后研究線性算子Dn＋p－1在亞純p葉星象函數(shù)上的一些性質(zhì)。

復(fù)分析；線性算子Dn＋p－1；亞純p葉星象函數(shù)

1 線性算子Dn＋p－1的定義

用∑p表示在D＝｛z：0＜｜z｜＜1｝內(nèi)是解析和p葉的，且具有形式f（z）＝z－p＋∑∞k＝1ak－pzk－p的全體函數(shù)組成的類。

根據(jù)函數(shù)f（z），定義fj（z）（j＝1，2）

用f1（z）和f2（z）表示Hadamard卷積（或乘積）

隨后定義函數(shù)φp（n＋p，1；z）

其中，（x）k是Pochhammer符號(hào)。記

對(duì)應(yīng)函數(shù)φp（n＋p，1；z），用Hadamard卷積為f（z）∈∑p定義一個(gè)新的線性算子Dn＋p－1

Dn＋p－1f（z）＝φp（n＋p，1；z）*f（z）

2 線性算子Dn＋p－1定義在亞純p葉星象函數(shù)上的性質(zhì)

為了給出相關(guān)性質(zhì)定理，需下列引理。

引理1［1，2］若f（z）∈∑p，則有>

其中，n是大于－p的任意整數(shù)。

引理2［3，4］令Ω是復(fù)平面C上的一個(gè)集合，b是一個(gè)滿足Re b＞0的復(fù)數(shù)。假設(shè)函數(shù)Ψ：C2×E→C滿足條件其中，所有的實(shí)數(shù)x，y≤－｜b－ix｜2／（2Re b），且所有的z∈E。若函數(shù)p（z）滿足p（z）＝b＋a1z＋a2z2＋…在E上解析且Ψ（p（z），zp′（z）；z）∈Ω，則在E上Re p（z）＞0。

由此可以導(dǎo)出線性算子Dn＋p－1的一些性質(zhì)。

推出

證明：由（1）和（3），有

即

令

p（z）＝[zpDn＋p－1f（z）]－1／2（1－α），

則（5）可寫為

對(duì)（6）使用［5，6］中的已知結(jié)論，可發(fā)現(xiàn)

即

其中，ω（z）在E上解析，ω（0）＝0且當(dāng)z∈E時(shí)｜ω（z）｜＜1。

相應(yīng)地，Re（t1／β）≥（Re t）1／β其中Re t＞0且β≥1，由（7）推出進(jìn)一步，我們發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果對(duì)函數(shù)

是精確的。證畢。

推出

則p（z）在E上解析且p（0）＝1。對(duì)（11）求微分并根據(jù)引理1，推出其中，β∈［α，＋∞）是下列等式的正根證明：令

其中，

根據(jù)（8）和（12），有｛Ψ（p（z），zp′（z））：z∈E｝?Ω＝｛ω∈C：Reω＜α｝。

其中，β是等式（10）中的正根。

記0≤λ＜n＋p＋1和f（α）＝－λ（2α－1）（α－1）≤0，則有β∈［α，＋∞。因此，對(duì)任意的z∈E，Ψ（ix，y）?Ω。由引理2，我們得到Re p（z）＞0。（9）得證。

性質(zhì)3令λ，α是實(shí)數(shù)且λ≥0，α＞1，n是大于－p的任意整數(shù)。設(shè)g（z）∈∑p滿足

若f（z）∈∑p滿足

則有

函數(shù)u（z）在E上解析且u（0）＝1。設(shè)B（z）＝Dn＋p－1g（z）／Dn＋pg（z），則Re B（z）＞δ。對(duì)u（z）求微分并使用引理1，有

則根據(jù)（14）式，我們推出

｛Ψ（u（z），zu′（z））：z∈E｝?Ω＝｛ω∈C：Reω＜α｝。

現(xiàn)在對(duì)所有實(shí)數(shù)x，y≤－（1＋x2）／2得

因此，對(duì)每一個(gè)z∈E，Ψ（ix，y）?Ω。根據(jù)引理2，在E上Re u（z＞0）。證畢。

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［責(zé)任編輯 賀小林］

Nature of Operator Dn＋p－1on M eromorphic p－Valent Starlike Functions

YUAN YUAN，YANG Lian-bo
（Maanshan Teachers College，Maanshan 243041，China）

In complex analysis，meromorphic p leaf function has the well properties and application.Hadamard product is defined a new linear operator Dn＋p－1for f（z），and to study the new linear operator Dn＋p－1on some properties ofmeromorphic p－valent starlike function.

complex analysis；linear operator Dn＋p－1；meromorphic p－valent starlike function

O177.99

A

1004－602X（2014）02－0013－03

2014 01 10

袁 媛（1984—），女，安徽蕪湖人，馬鞍山師范高等?？茖W(xué)校講師，碩士。