馬 姍，李國麗，錢 喆，王群京，過希文，劉阿娟

(1.安徽大學(xué)，合肥230601;2.安徽安納達(dá)鈦業(yè)股份有限公司，銅陵240024)

0 引 言

多自由度運(yùn)動系統(tǒng)有著廣泛的運(yùn)用，比如機(jī)器人機(jī)械臂、紅外與激光跟蹤系統(tǒng)、自動化制造等。當(dāng)前的多自由度運(yùn)動系統(tǒng)由單個(gè)自由度驅(qū)動和傳動機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)龐大、復(fù)雜。由于受轉(zhuǎn)動慣量、間隙、非線性摩擦和齒輪彈性形變等因素影響，難以獲得高的動態(tài)性能。隨著對多自由度執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的要求日益提高，科研人員積極參與研制具有多自由度運(yùn)動功能的精密執(zhí)行器。Lee K M 等人提出了變磁阻型球形步進(jìn)電動機(jī)［1］，Wang J，Jewell G W 提出了兩自由度電機(jī)［2-3］，Kahlen K 和Week E M等人研發(fā)了一種三自由度永磁球形電動機(jī)［4-5］。國內(nèi)也積極推進(jìn)多自由度電動機(jī)的研究。比如，蘇仲飛、劉昌旭等人設(shè)計(jì)出無刷直流球形電動機(jī)［6］;黃聲華等人提出雙饋感應(yīng)球形電動機(jī)［7-8］;程樹康、蔡鶴皋等人設(shè)計(jì)研制了非球形結(jié)構(gòu)的正交圓柱結(jié)構(gòu)三自由度電機(jī)［9-10］，夏長亮、李洪鳳、郭辰等提出了基于Halbach 陣列的永磁球形電動機(jī)［11-13］。

為了達(dá)到精確控制多自由度電機(jī)的目的，需要實(shí)時(shí)掌握轉(zhuǎn)子的位置。文獻(xiàn)［14］中，Lee K M 提出了采用一套由兩個(gè)半圓形滑軌支架、固定輸出軸和3 個(gè)旋轉(zhuǎn)編碼器組成的滑軌支架測量系統(tǒng)來檢測轉(zhuǎn)子位置的方法。該方法引入了轉(zhuǎn)子與導(dǎo)軌相連接產(chǎn)生的摩擦，影響轉(zhuǎn)子的定位精度。Chirikjian G S 等人提出了基于光電傳感器的轉(zhuǎn)子位置檢測方法［15-16］;王群京、錢喆等人提出了基于機(jī)器視覺的永磁球形步進(jìn)電動機(jī)的轉(zhuǎn)子位置檢測方法［17］，這些方法雖然克服了接觸式測量帶來的摩擦，但測量原理和結(jié)構(gòu)復(fù)雜，而且難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)位置檢測。

本文提出了基于永磁體作磁源、通過三個(gè)固定檢測點(diǎn)檢測到的三維磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)來計(jì)算轉(zhuǎn)子位置的方法。

1 檢測基本原理

置于轉(zhuǎn)軸上的永磁體隨轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時(shí)，永磁體將在其周圍建立一個(gè)穩(wěn)態(tài)磁場。而轉(zhuǎn)軸相對于參考坐標(biāo)系的方位信息，包含在空間固定點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)中。圖1 展示了坐標(biāo)系中一個(gè)長度l，半徑α，均勻軸向磁化且剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度為M0的圓柱永磁體。永磁體中心點(diǎn)Pm至坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為Lm。永磁體所在軸線與z 軸的夾角以及軸線在xoy 平面上的投影與x 軸的夾角分別為θ 與φ。z 軸上PS點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0，Ls)，將PS點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B 分解為平行轉(zhuǎn)軸方向的Bl和垂直轉(zhuǎn)軸方向的Bρ，則PS點(diǎn)x 軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx和y 軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度By與Bl和Bρ的關(guān)系可由下式表達(dá):

圖1 闡述永磁體位置的坐標(biāo)系

位于永磁體所在轉(zhuǎn)軸上的P 點(diǎn)在xyz 坐標(biāo)系的坐標(biāo)P(x，y，z)可用式(3)表述。

式中:L 為P 點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。顯然，P 點(diǎn)坐標(biāo)P(x，y，z)由θ，φ 唯一決定。

式(1)和式(2)提供了求解角度φ 的方法。在PS點(diǎn)放置三維磁感應(yīng)強(qiáng)度傳感器S，測得磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx，By，Bz。則φ 可由下式求得:

當(dāng)Ls取恰當(dāng)值時(shí)，B 值與θ 成單值函數(shù)關(guān)系，即B=f(θ)為單調(diào)函數(shù)，θ∈［0，θ0］。當(dāng)S 測得點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B^時(shí)，確定Bk+1＜B^＜Bk(k∈［1，n -1］)。則此時(shí)轉(zhuǎn)軸與z 軸的夾角θ^可由下式求得:

式中:θk∈［0，θ0］，Bk=f(θk)(k =1，2，…，n -1)。θ^的精度取決于n 的大小和Bk的精確度。

根據(jù)式(4)和式(5)，求得θ 和φ，確定球形電動機(jī)轉(zhuǎn)子位置。據(jù)此，下文構(gòu)思設(shè)計(jì)了球形電動機(jī)的位置檢測系統(tǒng)。

1.1 球形電動機(jī)位置檢測系統(tǒng)設(shè)計(jì)

圖2 為是本文研究的球形電動機(jī)實(shí)體模型，詳細(xì)參數(shù)如表1 所示。圖3 和圖4 展示了檢測系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理念，三維磁感應(yīng)強(qiáng)度傳感器分別置于x1y1z1，x2y2z2，x3y3z3坐標(biāo)系中的z1，z2，z3軸上。檢測點(diǎn)到原點(diǎn)O 的距離為Ls。x1y1z1坐標(biāo)系由XYZ 坐標(biāo)系逆時(shí)針繞X 軸旋轉(zhuǎn)α 角得到;XYZ 坐標(biāo)系繞Z 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后再繞x 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α 角得到x2y2z2坐標(biāo)系;x3y3z3坐標(biāo)系由XYZ 坐標(biāo)系繞Z 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°后再繞x 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α 角得到。

圖2 球形電動機(jī)實(shí)體模型

圖3 檢測系統(tǒng)立體示意圖

表1 永磁球形電動機(jī)參數(shù)

將檢測區(qū)域劃分為圖4 中A，B，C 三塊區(qū)域。轉(zhuǎn)軸運(yùn)動至A 區(qū)域時(shí)，由SA負(fù)責(zé)檢測轉(zhuǎn)軸上P 點(diǎn)位于x1y1z1坐標(biāo)系中的位置P(x1，y1，z1)。通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)移變換可得到P 點(diǎn)在絕對參考坐標(biāo)系XYZ 中的坐標(biāo)。式(6)給出了P(X，Y，Z)的求解方法。

式中:L 為轉(zhuǎn)軸上P 點(diǎn)到原點(diǎn)O 的距離;θ1和φ1分別為球形電動機(jī)轉(zhuǎn)軸與z1軸的夾角和轉(zhuǎn)軸在x1y1z1平面內(nèi)的投影與x1軸的夾角。

同理，轉(zhuǎn)軸運(yùn)動至區(qū)域B 時(shí)點(diǎn)P 在XYZ 坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)可由下式求得:

轉(zhuǎn)軸運(yùn)動至區(qū)域C 時(shí)P 點(diǎn)在XYZ 坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)由式(8)求得。θ3和φ3分別為球形電動機(jī)轉(zhuǎn)軸與z3軸的夾角和轉(zhuǎn)軸在x3y3z3平面內(nèi)的投影與x3軸的夾角。

1.2 圓柱永磁體產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算

預(yù)知PS點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B 是前文提出算法實(shí)現(xiàn)的前提，而且掌握了解PS點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx和By的變化范圍對角θ0的大小及三維磁感應(yīng)強(qiáng)度傳感器的選擇至關(guān)重要。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以通過分布式磁偶極子法按照式(9)～式(12)求得［18］。

上述公式中，μ0是真空磁導(dǎo)率，k 和n 分別為分布式磁偶極法模擬的永磁體的圓周對數(shù)目以及每對圓周上含有的磁偶極子對數(shù)目，mj是位于第j 個(gè)圓周上的磁偶極子的磁偶極矩。γ 角為相鄰的兩個(gè)磁偶極子對應(yīng)的圓心角。為第j 個(gè)圓周的半徑，且

1.3 檢測點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算分析

永磁體運(yùn)動在A 區(qū)域內(nèi)SA檢測的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況與永磁體運(yùn)動在B、C 區(qū)域SB、SC感知的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況完全一樣。因此可僅分析運(yùn)動于區(qū)域A 內(nèi)SA檢測的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況。

表2 磁源及固定檢測點(diǎn)參數(shù)

圖5 x 方向磁感應(yīng)強(qiáng)度

圖6 y 方向磁感應(yīng)強(qiáng)度

圖7 隨θ 變化的磁感應(yīng)強(qiáng)度B

圖8 φ1 與θ1 的函數(shù)關(guān)系

1.4 轉(zhuǎn)子永磁體以及通電線圈對檢測點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度影響分析

轉(zhuǎn)子永磁體以及通電線圈對檢測點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度影響會降低位置檢測的精度。因此，選擇檢測點(diǎn)位置時(shí)應(yīng)以盡量減少轉(zhuǎn)子永磁體和通電線圈對檢測點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度影響為原則。圖9 是用MagNet 建立的本文研究的球形電動機(jī)模型，基于此模型分析轉(zhuǎn)子永磁體以及通電線圈對本文選取的檢測點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度影響。

圖9 球形電動機(jī)仿真模型

轉(zhuǎn)軸與Z 軸重合時(shí)記α 角為0°，轉(zhuǎn)子繞X 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)記為正，反之為負(fù)。圖10 刻畫了α 角變化范圍為［-20°，20°］時(shí)，固定檢測點(diǎn)A 的由轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況。由于將整個(gè)檢測區(qū)域等分為三個(gè)部分，所以當(dāng)轉(zhuǎn)子順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，雖檢測點(diǎn)A 受到的來自轉(zhuǎn)子永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度影響較大，但此時(shí)檢測點(diǎn)B 或C 檢測到的磁源永磁體產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大于前者，轉(zhuǎn)子的位置檢測通過B 或C獲得。轉(zhuǎn)子逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，從圖中可以看出，轉(zhuǎn)子永磁體對檢測點(diǎn)的磁場影響在5 ×10-4T 以下，而此時(shí)磁源永磁體作用于檢測點(diǎn)A 的磁感應(yīng)強(qiáng)度較大，轉(zhuǎn)子永磁體對檢測結(jié)果的準(zhǔn)確度有微弱的影響。

圖10 轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

圖11 分析的是一個(gè)通以電流1 A，1 200 匝的線圈，在檢測點(diǎn)所在圓周產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。從圖中可以看出，通電線圈在圓周上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在1 ×10-4T 左右，對檢測點(diǎn)的影響可以忽略。由于定子線圈與檢測點(diǎn)是相對靜止的，將檢測點(diǎn)選擇在過兩個(gè)定子線圈中間線的平面與圓周的交點(diǎn)處可以最大限度降低通電線圈對檢測點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響。

圖11 通電線圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

2 仿真分析

本文選取了轉(zhuǎn)軸運(yùn)動在A 區(qū)域內(nèi)的不同位置的P 點(diǎn)的一系列坐標(biāo)P(Xi，Yi，Zi)(L 取100 mm)，通過MagNet 軟件，求解出PS點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上P 點(diǎn)處于這些位置時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bxi、Byi以及Bi。再通過公式求解出相應(yīng)的點(diǎn)P 的坐標(biāo)P(，，)。圖12和圖13 展示了三維和二維的定位結(jié)果。圖14 展示了P 在不同位置時(shí)的定位誤差。仿真結(jié)果表明，轉(zhuǎn)軸運(yùn)動在A 區(qū)域內(nèi)時(shí)，定位誤差在2 mm 以內(nèi)。另外，前20 個(gè)采樣點(diǎn)的定位誤差比剩余采樣點(diǎn)的小，這是由于前者這些點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)軸與z1軸的夾角θ較后者小;前者采樣點(diǎn)對應(yīng)的檢測點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度較強(qiáng)，計(jì)算結(jié)果精確度高。提高θ 角較大時(shí)的定位精度以及擴(kuò)大檢測區(qū)間范圍，取決三維磁感應(yīng)強(qiáng)度傳感器測量下限的提高。

圖12 三維空間位置

圖13 二維空間位置

圖14 位置誤差

3 結(jié) 語

本文用分布式磁偶極子法分析了磁源永磁體隨轉(zhuǎn)軸在檢測區(qū)域轉(zhuǎn)動時(shí)空間固定點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況。以此為基礎(chǔ)，通過固定檢測點(diǎn)的三個(gè)正交方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)的處理計(jì)算，獲得轉(zhuǎn)軸位于相對坐標(biāo)系中的方位信息，再通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)移變換，得到球形電動機(jī)轉(zhuǎn)軸位于絕對坐標(biāo)系中的位置。仿真結(jié)果表明了該方法的可行性。本文提出的非接觸式檢測方法能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)二自由度位置檢測，為以后進(jìn)一步研究基于磁場的三自由度位置檢測提供了參考。

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