董 晨，晁 濤，王松艷，楊 明

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制與仿真中心，哈爾濱 150080)

0 引言

攻擊地面目標(biāo)的飛行器在保證終端脫靶量滿足指標(biāo)要求的同時(shí)，還要根據(jù)目標(biāo)類型達(dá)到特定的落角，以獲得最佳的毀傷效果。這種需求促使帶落角約束的制導(dǎo)問題得到廣泛研究。目前，研究的制導(dǎo)律包括改進(jìn)的比例導(dǎo)引律、最優(yōu)制導(dǎo)律、變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律及復(fù)合制導(dǎo)律等[1]。改進(jìn)的比例導(dǎo)引律是通過在經(jīng)典的比例導(dǎo)引律中增加偏置項(xiàng)[2]、引入變比例系數(shù)[3]等方法實(shí)現(xiàn)終端角度約束，對制導(dǎo)輸入信息要求較少，易于工程實(shí)現(xiàn)。最優(yōu)制導(dǎo)律是在一定的假設(shè)和簡化基礎(chǔ)上，將帶落角約束的制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為帶終端約束的最優(yōu)控制問題，并利用最優(yōu)控制方法得到的[4-6]。最優(yōu)制導(dǎo)律能夠得到顯式的制導(dǎo)方程，算法較簡單，但對模型的精確性要求較高，且推導(dǎo)過程中的簡化與假設(shè)限制其應(yīng)用范圍。為此，利用變結(jié)構(gòu)控制具有的強(qiáng)魯棒性，根據(jù)落角約束設(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)，推導(dǎo)得到變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[7-9]。變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律能有效抑制參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)，但存在抖震現(xiàn)象，降低制導(dǎo)精度與性能[10]。復(fù)合制導(dǎo)律則通過將若干種制導(dǎo)控制方法相結(jié)合，產(chǎn)生較好的制導(dǎo)效果，如最優(yōu)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)制導(dǎo)律[12]等。然而，目前對同時(shí)考慮落角約束和控制約束的制導(dǎo)問題鮮有研究。在末制導(dǎo)階段飛行器的航向一般已對準(zhǔn)目標(biāo)，在保持航向的同時(shí)，制導(dǎo)系統(tǒng)會(huì)給出較大幅值的攻角指令，使飛行器在縱向平面內(nèi)快速下降，并獲得期望落角。但由于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、氣動(dòng)特性等因素的制約，攻角指令存在幅值限制。因此，有必要對帶落角約束和控制約束的縱向制導(dǎo)問題進(jìn)行研究，在控制受限的情況下保證終端脫靶量和落角滿足指標(biāo)要求。

針對帶落角約束與控制約束的制導(dǎo)問題，本文提出一種攻擊地面固定目標(biāo)的縱向制導(dǎo)律。利用非線性系統(tǒng)的反饋線性化和坐標(biāo)變換得到用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的線性模型。在此基礎(chǔ)上，將制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為存在控制飽和的線性定常系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。基于參量Lyapunov方程方法為該線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)低增益狀態(tài)反饋律，推導(dǎo)得到帶落角約束和控制約束的縱向制導(dǎo)律。給出制導(dǎo)律參數(shù)的在線整定方法，保證視線角及其轉(zhuǎn)率在一定時(shí)間內(nèi)分別收斂至期望落角和零，且控制約束得到滿足。以某飛行器為例，針對多種攻擊任務(wù)，利用數(shù)值仿真驗(yàn)證本文提出制導(dǎo)律的有效性。

1 帶落角約束和控制約束的制導(dǎo)問題

1.1 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)、彈目運(yùn)動(dòng)及制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型

假設(shè)平面地球，并忽略地球自轉(zhuǎn)和飛行器側(cè)向運(yùn)動(dòng)，以時(shí)間t為自變量，慣性系下的飛行器縱向質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程[13]如下所示：

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

式中v、θ、x、y分別為速度、彈道傾角、水平方向位置、高度；m為質(zhì)量；g為重力加速度；L與D分別為升力和阻力，L=ρv2SrefCL(α，Ma)/2，D=ρv2SrefCD(α，Ma)/2；Sref為參考面積；ρ為大氣密度，由標(biāo)準(zhǔn)大氣(1976美國)模型計(jì)算；CL、CD分別為升力系數(shù)與阻力系數(shù)，是攻角α和Ma的函數(shù)，由擬合多項(xiàng)式計(jì)算。

不失一般性，設(shè)地面固定目標(biāo)位于慣性系(x-y)原點(diǎn)，飛行器初始位置在慣性系的第二象限內(nèi)，則彈目距離r及其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)、視線角λD及其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可通過下式計(jì)算：

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

記常量λD*為期望落角，基于式(2c)與式(2d)取坐標(biāo)變換：

(3)

可得線性制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型：

(4a)

(4b)

其中,控制量u為

(4c)

x與y的二階導(dǎo)可通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程(1)得到：

(4d)

1.2 制導(dǎo)問題描述

帶落角約束和控制約束的制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為存在輸入飽和的線性定常系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。

設(shè)計(jì)控制律，使系統(tǒng)

(5)

的狀態(tài)由初值Z0收斂至原點(diǎn)。

定義Uu為

Uu={u∈|umin≤u≤umax}

(6)

(7)

其中，umax與umin可由式(4c)與式(4d)根據(jù)氣動(dòng)數(shù)據(jù)及攻角的允許范圍計(jì)算。

2 帶落角及控制約束的制導(dǎo)律

2.1 基于參量Lyapunov方程的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對所描述的制導(dǎo)問題，通過一個(gè)定理給出基于參量Lyapunov方程的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，得到帶落角和控制約束的制導(dǎo)律。在給出定理及證明前，首先給出如下的引理。

引理(基于PLE的低增益反饋)[14]對存在控制飽和的線性系統(tǒng)：

(8)

其中，x∈n，u∈m，飽和函數(shù)sat()：m→m。設(shè)(A，B)可控且A的所有特征值均位于虛軸上，則如下的一組低增益狀態(tài)反饋律

u(t)=-R-1BTP(γ)x(t)，γ>0

(9)

以不低于e-(γ/2)t的收斂速率半全局鎮(zhèn)定系統(tǒng)(8)。其中，P(γ)=W-1(γ)，W(γ)為PLE

(10)

的唯一正定解，即對于任一給定的有界集合X∈n，存在γ*>0，使得對任意γ∈(0，γ*)，閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，X位于吸引域中，且閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)收斂至原點(diǎn)的速度不低于e-(γ/2)t。

基于引理，由如下的定理給出帶落角約束及控制約束的制導(dǎo)律，使飛行器的視線角轉(zhuǎn)率收斂至0，同時(shí)視線角收斂至期望的落角，且收斂速率可通過取合適的制導(dǎo)律參數(shù)保證。

定理(帶落角約束及控制約束的制導(dǎo)律) 對于所描述的制導(dǎo)問題，制導(dǎo)律

(11)

使視線角及視線角轉(zhuǎn)率以不低于e-(γ/2)t的速度分別收斂于期望落角λD*和0。其中，γ為可調(diào)的制導(dǎo)律參數(shù)，aLOSy為總加速度在視線坐標(biāo)系y軸的分量。

證明：易知總加速度在視線坐標(biāo)系y軸的分量為

(12)

聯(lián)立式(11)與式(12)，整理可得

(13)

基于式(3)，取坐標(biāo)變換方程：

(14)

將式(2)與式(4d)代入式(13)，并利用式(14)進(jìn)行坐標(biāo)變換，經(jīng)整理有

(15)

取R=1，I∈2×2為單位陣，式(15)滿足：

(16)

其中，P(γ)∈2×2為

?γ>0

(17)

取W(γ)=P(γ)-1，則

(18)

易知，W(γ)為PLE(10)的唯一正定解。結(jié)合系統(tǒng)(5)可見，式(16)為系統(tǒng)(5)的低增益狀態(tài)反饋律。系統(tǒng)階數(shù)n=2，控制量數(shù)m=1，(A，B)可控，且A的2個(gè)特征值λ1，2(A)=0(均位于虛軸上)。由引理，狀態(tài)反饋律(16)以不低于e-(γ/2)t的速率半全局鎮(zhèn)定系統(tǒng)(5)。因此，制導(dǎo)律(11)使視線角及視線角轉(zhuǎn)率以不低于e-(γ/2)t的速度分別收斂于期望落角和零。

注1(系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時(shí)間) 不失一般性設(shè)初始時(shí)刻為0，?γ>0，則式(5)與式(16)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可由如下的二階常系數(shù)齊次線性微分方程描述：

(19)

該微分方程特解為

(20)

記z(t)的收斂時(shí)間為tγ，|z(t)|≤δ，?t≥tγ，δ為一給定的小正數(shù)。tγ為γ的函數(shù)，但函數(shù)|z(tγ)|-δ=0不存在解析解。由z(t)的收斂速度隨γ單調(diào)遞增可知，tγ隨γ單調(diào)遞減，故tγ可由數(shù)值算法快速計(jì)算。

注2(與最優(yōu)制導(dǎo)律比較) 由帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律[1]整理可得

(21)

(22)

對比式(21)與式(22)可見，本文提出的制導(dǎo)律與最優(yōu)制導(dǎo)律有相同的反饋項(xiàng)，2種制導(dǎo)律計(jì)算所需的信息是一致的；本文的制導(dǎo)律可由參數(shù)γ調(diào)整制導(dǎo)律中視線角速率與視線角偏差的權(quán)重，參數(shù)γ對制導(dǎo)的影響將在第3節(jié)中做具體分析。

2.2 制導(dǎo)律參數(shù)在線整定

在得到如式(11)所示制導(dǎo)律后，需要確定制導(dǎo)律參數(shù)γ，使得系統(tǒng)(5)的狀態(tài)由初值收斂至原點(diǎn)，且控制量滿足約束條件。

參數(shù)γ影響控制量的幅值以及系統(tǒng)狀態(tài)收斂的速度。若要以期望的落角擊中目標(biāo)，需使收斂時(shí)間小于等于飛行時(shí)間，則γ應(yīng)取足夠大的值；但增大γ會(huì)使控制量增大，可能導(dǎo)致控制飽和破壞閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[15]。此外，攻擊階段的飛行狀態(tài)大范圍急劇變化，采用常值γ難以獲得良好的制導(dǎo)效果。故需要對制導(dǎo)律參數(shù)γ進(jìn)行在線整定，權(quán)衡對收斂時(shí)間和控制量的要求，獲得最佳的制導(dǎo)效果。

為此，給出制導(dǎo)律參數(shù)在線整定方法。制導(dǎo)律參數(shù)整定原理如圖1所示。

圖1 制導(dǎo)律參數(shù)整定

在參數(shù)整定過程中，對控制未飽和與控制飽和情況作如下處理。

(1)當(dāng)控制未飽和時(shí)，取參數(shù)整定方程

tr(γ)-tg=0

(23)

由式(23)整定制導(dǎo)律參數(shù)γ，使由式(5)與式(16)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)在終端時(shí)刻收斂至原點(diǎn)，進(jìn)而保證終端視線角等于期望落角，且視線轉(zhuǎn)率為零。

(2)當(dāng)控制飽和時(shí)，取參數(shù)整定方程

(24)

其中，us為控制飽和時(shí)起作用的控制量邊界值(umax或umin)，方程(24)的2個(gè)解為

(25)

取γ1，2中大于零的解作為控制飽和時(shí)的制導(dǎo)律參數(shù)γ，保證控制量滿足約束條件的限制。

基于整定后的制導(dǎo)律參數(shù)γ，由式(11)計(jì)算制導(dǎo)指令。制導(dǎo)律(11)得到的是總加速度在視線坐標(biāo)系y軸上的分量?；谏ο禂?shù)和阻力系數(shù)的擬合多項(xiàng)式以及飛行速度、高度、彈道傾角等狀態(tài)，通過求解非線性代數(shù)方程，即可解得相應(yīng)的攻角指令。

3 數(shù)值仿真與分析

以某飛行器為例，假設(shè)其在飛行過程中保持零傾側(cè)，以方程(1)模擬其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。對于制導(dǎo)問題研究，可忽略飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，以攻角指令代替攻角作為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型的輸入。仿真初始條件按照表1設(shè)定。當(dāng)彈目距離小于100 m時(shí)，飛行器轉(zhuǎn)為無控飛行。終端約束要求脫靶量小于1 m，落角誤差小于2°。將本文提出的制導(dǎo)律(22)記為PLEG。作為對比，在式(21)的最優(yōu)制導(dǎo)律上附加由攻角指令約束轉(zhuǎn)化的控制約束，保證攻角指令在給定范圍內(nèi)，將此制導(dǎo)律記為OPTG。針對多組具有不同落角約束和攻角指令約束的任務(wù)，對2種制導(dǎo)律進(jìn)行仿真。考慮到飛行器姿控系統(tǒng)的能力限制，仿真中加入20°/s的攻角指令速率限制。

3.1 控制未受限時(shí)的仿真

取期望的落角λD*=-60°，并假設(shè)攻角指令幅值不受限制。仿真結(jié)果如表2和圖2所示。

表1 仿真初始條件

表2 控制未受限仿真結(jié)果

(a)飛行軌跡 (b)攻角指令-時(shí)間曲線

(c)制導(dǎo)律參數(shù)γ與剩余飛行時(shí)間

由表2可見，PLEG與OPTG的脫靶量及落角均滿足要求，且PLEG的制導(dǎo)精度優(yōu)于OPTG。由圖2(a)可見，2種制導(dǎo)律導(dǎo)引下的軌跡均按期望的角度擊中目標(biāo)，且圖2(b)中的攻角指令-時(shí)間曲線未受約束。由圖2(c)可見，PLEG的參數(shù)γ在初始時(shí)刻位于1/tg與2/tg中間偏上，飛行過程中γ逐漸向2/tg接近，直至最后階段γ超過2/tg。故由式(21)與式(22)，在飛行過程中PLEG的視線轉(zhuǎn)率反饋項(xiàng)系數(shù)和視線角反饋項(xiàng)系數(shù)均大于OPTG。因此，PLEG是較OPTG以更大控制作用進(jìn)行控制，取得了更好的制導(dǎo)效果。

3.2 控制受限時(shí)的垂直落角約束攻擊仿真

在帶垂直落角約束的攻擊任務(wù)中，取期望的落角λD*=-90°，設(shè)攻角指令范圍分別為-12°～12°和-9°～9°。仿真結(jié)果如表3與圖3所示。

表3 垂直落角約束攻擊仿真結(jié)果

(a)-12°～12°，飛行軌跡 (b)-12°～12°，攻角指令-時(shí)間曲線

(c)-9°～9°，飛行軌跡 (d)-9°～9°，攻角指令-時(shí)間曲線

由表3可見，在不同攻角指令范圍內(nèi)，2種制導(dǎo)方法的脫靶量和落角均滿足指標(biāo)要求，PLEG的脫靶量與落角偏差均小于OPTG。由圖3(a)、(b)可見，PLEG的飛行軌跡較OPTG的飛行軌跡平緩，PLEG的攻角指令較OPTG的變化平緩，有利于姿態(tài)控制系統(tǒng)跟蹤攻角指令。如圖3(c)所示，由于攻角指令受限，OPTG導(dǎo)引下的飛行軌跡未能快速下壓，軌跡由目標(biāo)上空穿過并被“拉回”，導(dǎo)致了較大的落角偏差(約1.06°)；而在同樣情況下，PLEG由于采用了制導(dǎo)律參數(shù)在線整定，其飛行軌跡能夠快速下壓，落角偏差(約0.16°)小于OPTG。而圖3(d)所示的OPTG攻角指令-時(shí)間曲線長期處于飽和狀態(tài)，且飛行末段攻角指令變化較大，因而影響了制導(dǎo)精度；而PLEG的攻角指令-時(shí)間曲線則相對平緩，且末端攻角指令幅值較小，易于獲得良好的制導(dǎo)精度。

3.3 控制受限時(shí)的水平落角約束攻擊仿真

在帶水平落角約束的攻擊任務(wù)中，設(shè)期望落角λD*=0°，攻角指令范圍分別為-12°～12°和-9°～9°時(shí)的仿真結(jié)果如表4與圖4所示。

表4 水平落角約束攻擊仿真結(jié)果

(a)-12°～12°，飛行軌跡 (b)-12°～12°，攻角指令-時(shí)間曲線

(c)-9°～9°，飛行軌跡 (d)-9°～9°，攻角指令-時(shí)間曲線

由表4可見，在不同攻角指令范圍內(nèi)，在2種攻角指令受限的情況下，PLEG的制導(dǎo)精度均優(yōu)于OPTG的制導(dǎo)精度，脫靶量和落角誤差滿足指標(biāo)要求。由圖4(a)和圖4(c)所示的飛行軌跡可見，對于帶水平落角約束的攻擊任務(wù)，PLEG與OPTG導(dǎo)引下的飛行軌跡均能夠擊中地面目標(biāo)。由圖4(b)和圖4(c)所示的攻角指令-時(shí)間曲線可見，PLEG和OPTG的攻角指令-時(shí)間曲線變化趨勢大體相同，但在飛行末段PLEG的攻角指令趨于零，其終端攻角指令幅值較小，易于獲得較高的制導(dǎo)精度；OPTG的攻角指令在飛行末段變化較大，且終端攻角指令幅值大于PLEG，致使OPTG的脫靶量和落角誤差均大于PLEG。

4 結(jié)論

(1)提出的制導(dǎo)律對多種帶落角約束及控制約束的對地攻擊任務(wù)具有良好的適應(yīng)性。在所有考察的任務(wù)中，飛行過程中的攻角指令以及軌跡終端的落角均滿足指標(biāo)要求，獲得了良好的制導(dǎo)精度。

(2)提出的制導(dǎo)律參數(shù)在線整定方法能夠根據(jù)過程約束及剩余飛行時(shí)間自動(dòng)的對制導(dǎo)律參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)整，保證控制約束及落角約束的滿足。同時(shí)，避免了針對不同任務(wù)重新調(diào)整參數(shù)、離線湊試參數(shù)等問題，使制導(dǎo)律具有良好的工程適用性。

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