胡少青，鞠玉濤，韋 震，周長省

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

0 引言

HTPB彈性體是端羥基聚丁二烯與環(huán)氧類、有機二元酸或二異氰酸酯等固化劑反應生成的一種聚氨酯，以其良好的力學及工藝性能，廣泛用于復合推進劑的粘合劑，固體推進劑耐燒蝕包覆材料[1]等。此外，還用于隔振材料、密封材料等方面。掌握其力學性能及本構模型是深入研究和應用這類復合材料的基礎。

近年來，一些學者對聚氨酯材料的本構模型有了一定的研究。Shu L H[2]及劉柏峰等[3]在研究聚氨酯隔振器的靜態(tài)力學響應時，忽略了聚氨酯材料的粘性特征，將其假設為超彈性材料，用含應變能的超彈性模型來表示材料的力學特性，但該模型不能適應動態(tài)狀況下聚氨酯材料的力學性能的描述。Yang L M[4-7]等相繼提出的適應于橡膠材料的粘-超彈本構模型，這類本構模型多用于描述材料在高應變率下的動態(tài)力學性能；Pawlikowski M[8]成功地將粘-超彈本構模型成功的應用于聚氨酯納米復合的研究中。HTPB彈性體是較為常用的聚氨酯材料，在低應變率下不僅具有超彈性，而且其粘彈性特征也較顯著。目前，關于HTPB彈性體靜態(tài)及準靜態(tài)下的粘-超彈本構模型研究較少。因此，本文開展了HTPB彈性體在靜態(tài)及準靜態(tài)下的粘-超彈性本構模型的研究，以期為這類材料設計及研究提供依據。

1 HTPB彈性體粘-超彈性本構模型建立

HTPB彈性體屬于橡膠類材料，在建立這類材料粘-超彈本構模型時常用超彈性模型與粘彈性模型組合的方法。因此，合理選擇粘彈性和超彈性模型及建立準確的模型參數求解方法，是保證模型準確性的關鍵。

1.1 超彈性本構模型

聚氨酯彈性體同其他橡膠類材料一樣可認為不可壓材料。常用的超彈模型有Neo-Hookean模型、Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、Ogden模型等。Yeoh模型的剪切模量是隨應變的變化而變化，簡單變形可用于預測其他變形形式的力學性能，模型適應較寬泛的變形范圍，同時模型只考慮不變量I1對應變能函數的影響[9]，形式簡單，有利于有限元的應用。因此，本文的超彈性本構模型選用Yeoh模型。

在單軸加載下，設加載方向上的伸長比為λ，由于材料不可壓，故三向主伸長比為λ1=λ，λ2=λ3=λ-1/2。則變形梯度張量F及左Cauchy應變張量為

(1)

B的第一不變量：

I1=tr(B)=λ2+2λ-1

(2)

因此，在單軸加載條件下，HTPB彈性體超彈性特征本文采用式(3)，基于Yeoh應變能函數的不可壓各向同性彈性固體的超彈性本構模型表達[9]:

(3)

1.2 粘彈性本構模型

粘彈性材料的顯著特點是應力應變的率相關性與加載歷史相關性，對于各向同性不可壓材料的粘彈性本構可表示為[3-4]

(4)

式中σv為Cauchy應力張量；pv為不可壓作為一種約束產生的靜水壓力；C為右Cauchy變形張量C=FT·F；Ω為描述應變歷史對應力影響的張量泛函，是坐標系無關量，可寫為

(5)

(6)

式中θi為松弛時間；N為Prony級數的階數，N越大，模型就越逼近真實的材料特性。

松弛時間與微觀結構相關，一個試驗中的材料松弛時間取決于加載時間與加載速率。Yang L M認為，上述粘彈性模型中的一個松弛時間可準確描述2個數量級的應變率[4]。對于HTPB彈性體，在靜態(tài)及準靜態(tài)下主要表現為超彈性，粘彈性對其力學性能影響較一般粘彈性材料小。若直接像一般粘彈性本構中取N=6～10，則會造成模型的復雜程度增加，不利于模型的擬合，也不利于工程數值仿真的應用，且對于模型精度的提高并不顯著。為了簡化模型，本文在構建HTPB彈性體粘彈性本構模型時，取N=1。

(7)

由式(5)～(7)，不考慮加載前的效應，可得

(8)

則HTPB彈性體粘彈性特征可用式(9)表達：

(9)

1.3 粘-超彈性本構模型的建立

在建立HTPB彈性體粘-超彈性本構模型時，同樣認為材料由超彈性單元和粘彈性單元并聯組合而成，故其總的應力：

σ=σh+σv

(10)

軸向應力：

(11)

將式(3)、式(9)代入式(11)，得一維狀況下的HTPB粘-超彈本構模型：

σ11=2(λ2-λ-1)[C10+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]-

(12)

(13)

代入式(12)，可得

σ11= 2(λ2-λ-1)[C10+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]+

(14)

σ11為Cauchy(真實)應力，單軸加載情況下：

σ11=λP11

(15)

式中P11為工程應力；λ=1+ε11，ε11為加載方向上工程應變。

在單軸拉伸時，本構的兩部分均有響應，理論上可用拉伸曲線擬合全部參數。但本構中參數較多，數學方程復雜，可能會出現多解狀況，而造成參數或模型失去物理意義。由于這一本構模型在松弛試驗應變保持階段，模型中的超彈部分應力不變，松弛特性只與粘彈部分有關。所以，可用松弛實驗結果擬合模型中的與粘彈特性相關的參數A1、A2、θ，再利用單軸等速拉伸實驗結果擬合模型中與超彈特性相關的參數C10、C20、C30。這樣，可保證模型參數獲取的精度及物理意義。

2 材料制備及實驗方法

HTPB的彈性體的配方及工藝過程對材料的力學性能影響較大。本文采用的配方為：工業(yè)級HTPB、分析純異弗爾酮二異氰酸酯(IPDI)；固化參數R(—OCH/—OH)=1.05。固化工藝為：準確稱量后，先將IPDI和HTPB加入燒瓶中預混，再放入(40±1)℃的恒溫水浴中真空狀況下攪拌30 min，然后澆注到預先涂硅橡膠及二甲基硅油為脫模劑的模具中，模具尺寸為100 mm×20 mm×8 mm，放入70 ℃干燥保溫箱中，保持真空度0.1 MPa，固化168 h。

HTPB/IPDI彈性體較軟，直接進行夾持實驗，會造成試件兩端產生較大的擠壓變形，影響實驗結果。松弛實驗中，在應變保持階段，試件兩端會發(fā)生一定的流動，導致“偽松弛現象”，即實驗測得應力松弛有一部分是由于流動引起的應變減小導致的，同時使松弛時間增大。這種流動在試驗中很難避免，只能改善實驗方法減小流動。增加試件的長度可以有效減小流動的影響。改善夾持方法也可提高實驗的準確性，本文采用木板框架的粘接夾持方法，如圖1所示。

圖1 試件示意圖及膠片實物圖

HTPB彈性體由A、B兩種板材組合粘接夾持，試驗機夾具夾持A面及相對面，B板可起到支撐作用，防止試件在加持力的作用下，產生較大變形。

采用微機控制電子萬能材料試驗機在室溫30 ℃、濕度34%的環(huán)境下，以12.5、25、100 mm/min的拉伸速率，分別對試件進行單軸等速拉伸實驗；在拉伸速率為100 mm/min的速率下，拉伸到應變?yōu)?時，應變保持600 s，得到材料的松弛特性。實驗結果為5個試件的平均值。

3 試驗結果及分析

3.1 松弛實驗結果分析

理想的松弛實驗要求在t=0時給試件加載階躍應變，但實際試驗中，瞬間達到ε0是不可能的，如圖2所示。

圖2 松弛試驗應變實際加載過程

實際加載過程數學模型：

(16)

對于模量較大粘彈性材料，在松弛試驗中，由于實驗加載上升段的時間t0很小，因而可忽略加載段對松弛試驗結果的影響，而假設t0=0，對于HTPB材料而言，其模量較低，粘彈性特征在低應變率下沒有典型粘彈性材料顯著，減小松弛試驗的ε0，可減小t0的影響，但會使試驗中松弛響應測量結果誤差較大。增大ε0，勢必造成t0的增大，使加載段影響松弛結果，而不能用松弛函數直接擬合。為了解決實際加載過程中加載段對松弛模量引起的誤差。本文利用所提出的本構方程，可求得材料在上述加載條件下的應力響應，進而將這一影響消除。

在加載段，t

σ11= 2(λ2-λ-1)[C10I1+2C20(I1-3)+3C30(I1-3)2]+

(17)

當t≥t0時，可得松弛階段應力響應函數為

(18)

式中σ∞為材料在單軸等速拉伸到ε0的超彈響應，λ0=1+ε0。

利用式(18)可對松弛試驗結果進行擬合，進而獲取本構模型參數A1、A2、θ及σ∞，參數擬合結果見表1，擬合結果與實驗結果如圖3所示。

圖3 松弛曲線試驗及理論結果

由圖3可看出，HTPB/IPDI彈性體在應變保持階段初期松弛較快，但隨著時間的增加，松弛速度逐漸降低，到600 s時應力已趨于平穩(wěn)。本構模型擬合結果基本反映了材料的松弛特性，實驗曲線的偏差主要表現在松弛曲線由快速松弛向趨于穩(wěn)定的過渡階段。這是由于松弛函數階數較少導致的，但其擬合精度較文獻[4]所用本構模型擬合精度有了大幅提高，同時并未增加模型的復雜程度?？傊ㄟ^對上述松弛模型和擬合方法的改進，保證了在靜態(tài)和準靜態(tài)條件下材料粘彈性特征的描述精度，確保了本構模型中參數的物理意義。

3.2 拉伸試驗結果分析

本構中的參數C10、C20、C30可用單軸拉伸曲線擬合，擬合方程為式(17)，參數A1、A2、θ用松弛試驗擬合的結果，對拉伸速率為12.5 mm/min的實驗結果進行擬合，參數擬合結果見表1。

將表1中參數代入式(17)，可預測不同拉伸速率下HTPB/IPDI彈性體的應力應變關系。圖4為拉伸速率為12.5、25、100 mm/min時的實驗結果與本構模型所得結果的對比。由圖4可看出，HTPB/IPDI彈性體的力學性能具有一定的率相關性，這與松弛特性所反應的粘彈特性是一致的；在初始階段應力上升較快，隨應變增加材料開始軟化，模量減低。試驗后發(fā)現，試驗試件可完全恢復形貌，且完全恢復后，其幾何尺寸沒有顯著變化，且粘彈性特征在小變形下不及大變形下明顯。這也說明在小變形和短時間加載條件下HTPB/IPDI彈性體可直接用超彈性本構模型而忽略其粘彈性特征，但在大變形及長時間加載下其粘彈性特征是不能忽略的。所以，本文對HTPB/IPDI所做的粘-超彈性假設是合理的，預測結果與試驗數據吻合較好,說明所建的本構模型能準確反映HTPB/IPDI彈性體在單軸加載下的粘-超彈性力學性能。

表1 本構中各參數擬合結果

圖4 應力-工程應變曲線實驗與預測結果

盡管如此，模型與實驗數據存在著一定偏差，主要是由于2個原因造成的。一方面，在超彈本構模型中，應變能函數選用Yeoh模型，而Yeoh模型忽略了I2對應變能的影響，盡管有部分影響折算到I1中，但這種假設仍會造成模型的誤差[9]。另一方面，如上所述，是松弛函數導致的。

4 結論

(1)實驗結果顯示，在靜態(tài)及準靜態(tài)加載下，HTPB/IPDI彈性體材料的率相關性及松弛特性明顯，材料具有顯著的粘彈性特征，加之材料的變形量較大，說明具有典型的粘-超彈性材料的特征。

(2)所建立的HTPB彈性體粘超彈性本構模型，由超彈與粘彈兩部分組成；用松弛試驗對粘彈部分的參數進行擬合，其他參數用速率為12.5 mm/min的拉伸曲線進行擬合，擬合結果與實驗結果吻合較好。

(3)用擬合所得的參數，預測25 mm/min及100 mm/min下的單軸拉伸的實驗結果，預測結果與實驗結果吻合較好，說明本文所建立的模型能夠較好地用于HTPB彈性體在有限變形下的力學性能描述中。

(4)所建立的本構模型較現有文獻中應用的模型簡單，用不同的實驗結果擬合不同的參數，求解過程物理意義明確，適用于在該類材料研究及設計中的工程數值仿真應用。

參考文獻：

[1] 鄒德榮.雙基推進劑用丁羥膠包覆層研究研制[J].含能材料,2004,12(1):52-55.

[2] Shu L H,He L,et al.Study on the finite element method for three-dimensional static property of polyurethane vibration isolators[J].Advanced Materials Research,2011,295:1586-1589.

[3] 劉柏峰,朱海潮,等.聚氨酯隔振器特性的有限元分析[J].噪聲與振動控制,2010,1:131-135.

[4] Yang L M,Shim V P W,et al.A visco-hyperelastic approach to modeling the constitutive behavior of rubber[J].International Journal of Impact Engineering,2000,24(6-7):545-560.

[5] Shim V P W,Yang L M,et al.A visco-hyperelastic constitutive model to characterize both tensile and compressive behavior of rubber[J].Journal of Applied Polymer Science,2004:92(1):523-531.

[6] 周相榮,王強,王寶珍.一種基于Yeoh函數的非線性粘超彈本構模型及其在沖擊仿真中的應用[J].振動與沖擊,2007,26(5):33-38.

[7] Li C,J Lua.A hyper-viscoelastic constitutive model for polyurea[J].Materials Letters,2009,63(11):877-880.

[8] Pawlikowski M.Non-linear approach in visco-hyperelastic constitutive modeling of polyurethane nanocomposite[J].Mechanics of Time-Dependent Materials,2013:1-20.

[9] Yeoh O H.Some Forms of the strain energy function for rubber[J].Rubber Chemistry and Technology,1993,66(5):754-771.