袁勝萬(wàn)，崔崗衛(wèi)，李朝萬(wàn)，余正斌，聶艷

(沈機(jī)集團(tuán)昆明機(jī)床股份有限公司，云南昆明650203)

0 前言

高速主軸單元是機(jī)床的核心功能部件，直接決定著高檔數(shù)控機(jī)床的性能水平。主軸單元的動(dòng)態(tài)性能，對(duì)工件的加工質(zhì)量和機(jī)床的生產(chǎn)效率都有重要影響。近年來(lái)，各國(guó)學(xué)者對(duì)影響主軸動(dòng)態(tài)性能的諸多因素(包括軸承的剛度軟化、主軸的離心效應(yīng)、預(yù)緊力、主軸的回轉(zhuǎn)力矩)進(jìn)行了深入的研究，2003年，美國(guó)的LIN［1］分析了主軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的離心效應(yīng)與陀螺力矩對(duì)主軸轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)特性的影響，并指出轉(zhuǎn)子的離心力效應(yīng)是主軸系統(tǒng)剛度下降的主要原因。2007年，瑞典的RANTATALO 等［2］建立了銑床主軸的有限元模型，指出軸承的剛度軟化比轉(zhuǎn)子陀螺力矩對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響更明顯。2010年，CAO［3］研究了幾種預(yù)緊方式對(duì)于主軸性能的影響。

某公司研發(fā)的高精度臥式加工中心TGK46100 主軸－軸承系統(tǒng)如圖1所示。以該系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用Timoshenko 梁?jiǎn)卧獙?duì)主軸進(jìn)行有限元建模，系統(tǒng)地分析了主軸離心效應(yīng)、軸承預(yù)緊力對(duì)于主軸動(dòng)態(tài)性能的影響，并設(shè)計(jì)開發(fā)了機(jī)床主軸－軸承性能測(cè)試平臺(tái)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明:提高預(yù)緊力可有效增加主軸軸承剛度，提高主軸動(dòng)態(tài)性能。此外，預(yù)緊力可有效減少主軸剛度的軟化，提高主軸動(dòng)態(tài)性能。

圖1 TGK46100 主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1 軸承剛度測(cè)量

1.1 測(cè)量原理

球軸承支撐的軸承轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，質(zhì)量盤的不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生的不平衡力是與轉(zhuǎn)速同步的徑向載荷，測(cè)試主軸軸承中心所產(chǎn)生相應(yīng)的渦動(dòng)量即徑向位移，從而得到球軸承的等效剛度及等效阻尼系數(shù)，若質(zhì)量盤的不平衡量在軸承上產(chǎn)生的激勵(lì)力Q 與軸頸中心的徑向渦動(dòng)量δ 的相位差為φ，球軸承的動(dòng)力特性Z(ω)［4］可表示為:

式中:Q 為剛性圓盤不平衡量的激勵(lì)力，N;Q =Δmeω2;ω 為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的角頻率，rad/s;δ 為軸頸中心徑向渦動(dòng)量，m;φ 為激勵(lì)與徑向渦動(dòng)量的相位差，rad;Δm 為剛性圓盤的不平衡質(zhì)量，kg;e 為剛性圓盤的偏向距，m。

實(shí)際試驗(yàn)中，很難在球軸承的對(duì)稱平面內(nèi)附加不平衡質(zhì)量以及測(cè)試相應(yīng)平面內(nèi)軸頸中心產(chǎn)生的徑向渦動(dòng)量，因此有必要進(jìn)行相應(yīng)的修正。若不平衡力作用位置與被測(cè)軸承對(duì)稱平面及支撐軸承對(duì)稱平面的距離分別為l1和l2，如圖2所示，由此可換算得到待測(cè)軸承上的載荷為:

圖2 球軸承等效剛度測(cè)試原理圖

由于傳感器不能安裝在軸承的對(duì)稱平面位置上，因而傳感器所測(cè)得的徑向位移δm包含轉(zhuǎn)軸在不平衡質(zhì)量的作用下的撓曲變形δs及軸頸中心的變形δb在傳感器位置處引起的撓曲變形。

根據(jù)材料力學(xué)可得轉(zhuǎn)軸靜止時(shí)不平衡質(zhì)量引起的撓曲變形，由此可得轉(zhuǎn)軸運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)在不平衡質(zhì)量的作用下的撓曲變形δs有:

式中:r 為轉(zhuǎn)速與臨界轉(zhuǎn)速的比值。

將式(4)代入式(3)，可得待測(cè)軸承實(shí)際軸頸中心在不平衡質(zhì)量作用下的徑向變形δb:

將式(2)、(5)代入式(1)可得球軸承的等效剛度系數(shù)Kb:

1.2 軸承剛度測(cè)量結(jié)果

利用主軸軸承試驗(yàn)臺(tái)，采用“米勒貝姆”數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)獲取軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)，通過計(jì)算得到不同預(yù)緊力下的軸承剛度，如圖3—4所示?？芍?，在相同預(yù)緊力作用下，前軸承的軸向剛度和徑向剛度均比后軸承的大，這主要是因?yàn)榍拜S承靠近主軸前端，承受主要切削載荷。增大預(yù)緊力后，前后軸承的軸向剛度和徑向剛度均增加。理論上滾動(dòng)軸承由于預(yù)緊力的作用，滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸處產(chǎn)生彈性變形，使接觸面積增大，參與承受力的滾動(dòng)體增多。預(yù)緊后的軸承工作時(shí)再承受同樣的負(fù)荷，其接觸變形肯定比未預(yù)緊軸承的接觸變形要小，軸承的支撐剛度提高，軸系剛度增大。

圖3 預(yù)緊力與支撐軸承徑向剛度的關(guān)系

圖4 預(yù)緊力與支撐軸承軸向剛度的關(guān)系

2 主軸－軸承系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析

主軸支承軸承剛度軟化和主軸離心力效應(yīng)是影響主軸－軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的主要因素，梁?jiǎn)卧Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于編程且可達(dá)到較高的精度，是建立軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)有限元模型的首選。主軸系統(tǒng)的加工穩(wěn)定性主要由其徑向剛度決定，因此忽略軸向自由度。

2.1 主軸－軸承系統(tǒng)有限元建模

主軸－軸承系統(tǒng)可以由沿軸線劃分為節(jié)點(diǎn)處連接的離散圓盤、彈性軸段及軸承支撐等單元，并將軸承和主軸理論模型進(jìn)行集成，得到整個(gè)主軸－軸承系統(tǒng)的有限元數(shù)學(xué)模型，不考慮梁的內(nèi)部阻尼，主軸單元的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為:

式中:［M］為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣;［C］為系統(tǒng)阻尼矩陣;［K］為系統(tǒng)剛度矩陣;［Mb］為彈性軸質(zhì)量矩陣;［Md］為圓盤質(zhì)量矩陣;Ω 為主軸轉(zhuǎn)速;［Cs］表示結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，因結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響較小，可忽略。 ［Gb］表示彈性軸回轉(zhuǎn)矩陣;［Gd］表示圓盤回轉(zhuǎn)矩陣;［Mb］C表示彈性軸離心力的質(zhì)量矩陣;［Kb］表示彈性軸剛度矩陣;［KB］表示支撐軸承動(dòng)剛度矩陣;F(t)表示系統(tǒng)所受的外力向量;Q(t)表示彈性軸載荷向量;Fd表示不平衡力向量。以上矩陣和向量的推導(dǎo)過程與轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)常用的方法類似［5－6］。

2.2 主軸－軸承系統(tǒng)固有頻率

代入主軸參數(shù)及支撐軸承剛度，采用子空間迭代法求取主軸系統(tǒng)固有頻率，其前3 階固有頻率如表1所示。

表1 主軸固有頻率計(jì)算結(jié)果

可以看出，主軸具有較高的動(dòng)態(tài)特性。能夠滿足機(jī)床高速、高動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性要求。

2.3 主軸－軸承系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)

對(duì)于方程(6)，將已知的主軸前端所受的偏心力為F(t)= meω2sinωt 代入方程，采用Newmark－β法進(jìn)行求解。

其結(jié)果如圖5—6所示，在1 200 r/min 和2 400 r/min 兩種載荷下，主軸系統(tǒng)徑向位移響應(yīng)分別為4.81 μm 和13.46 μm。

圖5 1 200 r/min 時(shí)的主軸前端位移響應(yīng)

圖6 2 400 r/min 時(shí)的主軸前端位移響應(yīng)

2.4 主軸前端動(dòng)剛度計(jì)算

對(duì)于軸對(duì)稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，為了求解轉(zhuǎn)子上某處的動(dòng)剛度，首先假設(shè)在此處上存在一個(gè)不平衡質(zhì)量m，距離軸截面中心點(diǎn)長(zhǎng)度為e。當(dāng)主軸以角速度ω 旋轉(zhuǎn)時(shí)，在此截面上將產(chǎn)生離心力，大小為meω2，在主軸－軸承轉(zhuǎn)子對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處添加響應(yīng)預(yù)緊力向量F，在有限元模型中采用數(shù)值積分法可以計(jì)算出這個(gè)截面上主軸中心的變形量為δ。按照剛度的定義，在某個(gè)轉(zhuǎn)速下的動(dòng)剛度值為［7］:

主軸徑向剛度隨預(yù)緊力的變化結(jié)果如圖10所示，可以看出，主軸徑向剛度隨預(yù)緊力增大而增大。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 模態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)

用錘擊法對(duì)該臥式加工中心主軸進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，以得到主軸的固有頻率，實(shí)驗(yàn)采用比利時(shí)LMS 16 通道模態(tài)實(shí)驗(yàn)分析系統(tǒng)，錘擊點(diǎn)選擇為主軸前端［8］，如圖7所示。

圖7 主軸模態(tài)測(cè)試示意圖

運(yùn)用單點(diǎn)激振，多點(diǎn)拾振的方法，按照規(guī)劃的主軸測(cè)量點(diǎn)布置加速度傳感器，根據(jù)測(cè)得的頻響函數(shù)分析得到主軸固有頻率，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 主軸固有頻率的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(1)測(cè)試結(jié)果與理論計(jì)算最大誤差為6.45%;(2)該型號(hào)機(jī)床主軸最高轉(zhuǎn)速為6 000 r/min，由此可知，主軸工作過程中不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象;(3)計(jì)算結(jié)果相比實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏大，這主要是因?yàn)橛?jì)算過程中忽略了機(jī)床本體與主軸之間的接觸剛度，對(duì)主軸上較小的零件進(jìn)行了簡(jiǎn)化建模，這些因素都會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏大。

3.2 主軸動(dòng)態(tài)響應(yīng)測(cè)試

主軸在實(shí)際工作中會(huì)承受外部載荷，此外，離心效應(yīng)、熱效應(yīng)也會(huì)引起主軸性能的變化，因此對(duì)主軸進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析是描述主軸在實(shí)際工作中的動(dòng)態(tài)性能行之有效的方法，以下介紹了主軸的動(dòng)態(tài)響應(yīng)測(cè)試，驗(yàn)證上述的理論分析［9］。其主軸在1 200 r/min、2 400 r/min 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8—9所示。

圖8 1 200 r/min 時(shí)的主軸前端位移響應(yīng)(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))

圖9 2 400 r/min 時(shí)的主軸前端位移響應(yīng)(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))

分別對(duì)比主軸在1 200 r/min、2 400 r/min 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果，由表3 可以看出，理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果在轉(zhuǎn)速較高時(shí)存在較大差距，分析誤差可能產(chǎn)生的原因，主要有以下幾點(diǎn):

(1)主軸內(nèi)部的各零件之間存在油膜阻尼或電磁阻尼以及零件之間的摩擦作用會(huì)減弱主軸在周期性激振力下的動(dòng)態(tài)響應(yīng);

(2)實(shí)驗(yàn)過程中環(huán)境溫度、噪聲等多種不可控因素都可能帶來(lái)實(shí)驗(yàn)誤差。

綜上，為更好的預(yù)測(cè)主軸性能，需要進(jìn)一步進(jìn)行主軸動(dòng)態(tài)響應(yīng)測(cè)試實(shí)驗(yàn)，同時(shí)對(duì)主軸模型進(jìn)行完善，以便能夠更準(zhǔn)確的考慮主軸的實(shí)際結(jié)構(gòu)和工作狀況。

表3 主軸動(dòng)態(tài)響應(yīng)測(cè)試及理論計(jì)算結(jié)果

3.3 預(yù)緊力對(duì)剛度影響的測(cè)試實(shí)驗(yàn)

根據(jù)主軸動(dòng)剛度定義，測(cè)得主軸前端偏心距和偏心質(zhì)量，采用3 個(gè)電渦流位移傳感器測(cè)得主軸前端面的徑向位移［10］，根據(jù)式(6)計(jì)算得到主軸前端動(dòng)剛度，實(shí)驗(yàn)值與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，最大誤差約為9.24%，計(jì)算結(jié)果比實(shí)測(cè)結(jié)果要大，主要原因是理論計(jì)算忽略主軸摩擦，如圖10所示。

圖10 主軸預(yù)緊力與主軸徑向剛度的關(guān)系

3.4 預(yù)緊力對(duì)主軸單元固有頻率的影響

軸承剛度對(duì)主軸單元?jiǎng)恿W(xué)特性的影響，具體而言就是軸承預(yù)緊力的變化對(duì)主軸單元的固有頻率的影響。文中研究了軸承預(yù)緊力對(duì)主軸前3 階固有頻率的影響［11］，如圖11所示，通過計(jì)算不同預(yù)緊力作用下主軸的固有頻率，建立主軸預(yù)緊力與固有頻率關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)，通過MATLAB軟件得到擬合關(guān)系，可知預(yù)緊力對(duì)與主軸固有頻率的影響較明顯，適當(dāng)增大預(yù)緊力可提高主軸固有頻率，進(jìn)而提高主軸的臨界轉(zhuǎn)速。

4 結(jié)論

(1)采用有限元法計(jì)算主軸軸承的剛度是一種行之有效的方法。

圖11 主軸預(yù)緊力與主軸單元固有頻率關(guān)系

(2)在主軸單元有限元分析中，把軸承簡(jiǎn)化為等效圓環(huán)模型，可以更加精確地計(jì)算預(yù)緊力對(duì)于主軸動(dòng)靜態(tài)性能的影響。

(3)主軸在低速重載工況下，可以通過提高支承軸承的預(yù)緊力，提高軸承剛度，進(jìn)而提高主軸剛度及固有頻率。

(4)對(duì)于不同載荷工況，可以通過動(dòng)態(tài)調(diào)整預(yù)緊力的大小，使主軸性能達(dá)到最佳狀態(tài)。

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