任學(xué)敏, 耿利芳

(同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系,上海 200092)

0 引 言

信用風(fēng)險(xiǎn)是指在金融交易中交易對手或信用質(zhì)量潛在變化而導(dǎo)致?lián)p失的可能性,是金融風(fēng)險(xiǎn)的主要類型之一.目前,處理信用風(fēng)險(xiǎn)主要有兩種方法:結(jié)構(gòu)化方法和約化方法.結(jié)構(gòu)化方法是把公司資產(chǎn)值作為衡量標(biāo)準(zhǔn),如果資不抵債,則公司破產(chǎn)并進(jìn)入清算程序,最早由Merton(1974)[1]等人提出.而約化方法把公司違約看成是一個(gè)外在的過程,用Poisson過程來描述,即第一次發(fā)生跳時(shí)公司就違約.約化方法由Jarrow[2],Duffie[3]等提出.

可展期企業(yè)債券是指企業(yè)在發(fā)行債券時(shí)事先約定,企業(yè)有權(quán)在債券到期日T視當(dāng)時(shí)狀況決定是否將債券到期日延長.用約化方法對可展期公司債券的定價(jià)可參見[4]和[5],兩篇文章都是采用約化方法刻畫公司的違約,而約化方法明顯的缺點(diǎn)就是將公司的違約看做是一個(gè)外在的過程,與公司的資產(chǎn)狀況無關(guān).前者將利率當(dāng)做一個(gè)常數(shù)處理,后者是在前者的基礎(chǔ)上做了改進(jìn),把利率當(dāng)做和公司資產(chǎn)掛鉤的一個(gè)隨機(jī)變量.

本文作者考慮的是用結(jié)構(gòu)化模型對可展期企業(yè)債券的定價(jià),為簡化模型,僅將公司資產(chǎn)值作為隨機(jī)變量,利率當(dāng)做常數(shù)來處理.難度在于計(jì)算在首期公司資產(chǎn)不碰違約邊界的前提下公司資產(chǎn)的條件概率分布.顯然在到期日T,如果公司的資產(chǎn)下降,企業(yè)的重新融資成本將提高,企業(yè)會(huì)選擇延長債券的到期日;反之,如果公司的資產(chǎn)上升,企業(yè)的重新融資成本將下降,企業(yè)將不會(huì)延展債券的到期日.將利率作為另外一個(gè)隨機(jī)變量是本研究繼續(xù)討論的方向.

1 普通公司債券的定價(jià)

普通的零息票公司債券是發(fā)行者在到期日支付1元面值的一份債券,它可能在到期日之前發(fā)生違約,假設(shè)債券對應(yīng)的公司資產(chǎn)Vt滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng):

dVt=Vt(μdt+σdWt)，

其中μ,σ在此假設(shè)為正的常數(shù),初始資產(chǎn)是已知的正數(shù)V0.

公司發(fā)行的零息票債券(投資期內(nèi)無任何利息支付,在到期日支付票面金額),債券到期日為T,市場的無風(fēng)險(xiǎn)利率r0(r0為正的常數(shù)).在[0,T]公司的違約邊界為B1(t)=e-r0(T-t)(到期時(shí)付款的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)值),當(dāng)資產(chǎn)達(dá)到B1(t)時(shí),公司償還投資者現(xiàn)金εe-r0(T-t)(其中0<ε<1,表示回收率);若公司在到期日前沒有違約,則到期日公司支付1元給投資者.市場無套利,無摩擦.根據(jù)Δ對沖原理,得到普通零息票公司債券滿足的偏微分方程:

普通公司債券的定價(jià)可參見[6],這里直接給出結(jié)果：

2 可展期債券的定價(jià)

2.1 基本假設(shè)

(1) 公司發(fā)行m份可展期債券,每份債券對應(yīng)的公司資產(chǎn)Vt滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng):

dVt=Vt(μdt+σdWt),

其中μ,σ在此假設(shè)為正的常數(shù),初始資產(chǎn)是已知的正數(shù)V0.

(2) 公司發(fā)行的零息票債券(投資期內(nèi)無任何利息支付,在到期日支付票面金額),債券首期到期日為T1,可展期到期日為T2(T2>T1),票面利率r,市場的無風(fēng)險(xiǎn)利率r0(r0為正的常數(shù)).在[0,T1]公司的違約邊界為B1(t)=e-r0(T1-t)(首期時(shí)付款的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)值),當(dāng)資產(chǎn)達(dá)到B1(t)時(shí),公司償還投資者現(xiàn)金εe-r0(T1-t)(其中0<ε<1,表示回收率);當(dāng)債券發(fā)行公司未違約,在首期T1的資產(chǎn)值VT1小于初始資產(chǎn)V0且大于e(r-r0)(T2-T1)(如果進(jìn)行展期,公司在T1時(shí)的債務(wù))時(shí),公司按照發(fā)行時(shí)的利率r將債券延期至T2(原因是現(xiàn)在的資產(chǎn)值小于初始資產(chǎn)又沒違約,再融資成本高),在延展期[T1,T2]公司的違約邊界為B2(t)=er(T2-T1)-r0(T2-t)(可展期到期日付款的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)值).當(dāng)資產(chǎn)達(dá)到B2(t)時(shí),公司償還投資者現(xiàn)金εer(T2-T1)-r0(T2-t)元,若不違約,在到期日T2,公司支付給投資者現(xiàn)金er(T2-T1)元;其它情況,公司會(huì)終止債券并將1元現(xiàn)金支付給投資者.

(3) 市場無套利,無摩擦(無稅收,交易費(fèi)等).

2.2 定價(jià)公式

T1時(shí)刻債券的現(xiàn)金價(jià)值：

(1) 若違約事件發(fā)生在(0,T1),在T1時(shí)刻債券的價(jià)值為ε元;

(2) 在T1時(shí)刻前未發(fā)生違約,但資產(chǎn)值VT1大于或等于初始資產(chǎn)V0,或VT1小于延展期到期日的債務(wù)貼現(xiàn)e(r-r0)(T2-T1)時(shí),發(fā)行公司不進(jìn)行展期,債券的價(jià)值為1元;

作變換:Q1=Q-ε,τ=T2-t,y=lnx,便有:

上面的定解問題轉(zhuǎn)化為下面半無界問題:

利用Green函數(shù)法可直接求出上述齊次半無界熱傳導(dǎo)方程的解:

綜合上面3種情況,得到在T1時(shí)刻,債券的價(jià)值:

(1)

2.3 [0,T1]內(nèi)公司沒有違約的概率和T1時(shí)刻布朗運(yùn)動(dòng)的條件概率分布

Vt≥B1(t)～Wt≥g(t),

Prob(τ

引理設(shè){W(t),t≥0}為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),f(s),0≤t1

(2)

引理的證明參見[7],也可由Feymann-Kac公式結(jié)合障礙期權(quán)得到.利用引理的結(jié)論可得:

(3)

由{-W(t),t≥0}仍為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),故其概率密度:

(4)

由(3)式和(4)式進(jìn)一步可以計(jì)算[0,T1]內(nèi)公司沒有違約的概率:

(5)

由式(3)、(4)和(5)式可得:

(6)

記Q1=Prob(τ

記Q2=1·Prob(VT1>V0|τ≥T1)+1·Prob(VT1

Q2=1·Prob(VT1>V0|τ≥T1)+1·Prob(VT1

其中

將T1時(shí)刻債券價(jià)值(1)貼現(xiàn)到初始時(shí)刻,則得到初始價(jià)值:

(7)

其中:

在為債券定初始價(jià)值時(shí)包含了票面利率r,而票面利率的決定應(yīng)根據(jù)債券的初始價(jià)值,應(yīng)滿足下面的超越方程:

e-rT1=P0(V0,T1,T2,r).

(8)

其中等式右端的P0(V0,T1,T2,r)為式(7).

3 數(shù)值結(jié)果和分析

影響可展期企業(yè)債券名義收益率的因素有很多,如發(fā)行時(shí)的利率水平,到期日,可展期限,公司的資產(chǎn)值和一旦違約時(shí)的回收率等.以下分析單個(gè)因素對可展期債券的收益率的影響,取參數(shù)V0=1.5,σ=0.1,T1=3,T2=6,ε=0.4,r0=0.025在對某參數(shù)進(jìn)行分析時(shí),其他參數(shù)保持不變.

從圖1可以看出,由于可展期債券的投資者需要承擔(dān)更多的違約風(fēng)險(xiǎn),因此在其他條件相同的情況下,可展期債券的收益率會(huì)高于普通的企業(yè)債券.而收益率差隨名義到期日遞減是因?yàn)橥顿Y者可能受到的展期后的風(fēng)險(xiǎn)被分?jǐn)偟搅苏蛊谥暗某掷m(xù)期.

從圖2可以看出,回收率越大,可展期債券的收益率越小,在其他條件不變的情況下,可展期的期限越長,收益率越大,因?yàn)榭烧蛊谄谙拊介L,公司破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)越大,投資者需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)更大,所以需要給投資者更高的補(bǔ)償.

圖1 名義到期日與收益率之間的關(guān)系

圖2 回收率和可展期期限對收益率影響

圖3和圖4分別考慮了可展期期限,利率和名義到期日,利率對債券的影響.

圖3 可展期期限和初始利率對收益率的影響

圖4 名義到期日和初始利率對收益率的影響

從圖5可以看出,隨著公司的初始資產(chǎn)值的增大,收益率差先增大后減小,成駝峰狀,這是因?yàn)槌跏假Y產(chǎn)值很大時(shí),可展期債券的公司比較安全,很可能不展期,這樣與普通債券的收益率差就會(huì)變小.

圖5 公司初始資產(chǎn)值對收益率差的影響

4 結(jié) 論

本文作者用結(jié)構(gòu)化模型中的首次通過模型對可展期公司債券定價(jià),主要計(jì)算了公司在可展期債券首期期間沒有違約的概率以及在此條件下公司資產(chǎn)的條件分布.并通過數(shù)值分析考慮了各因素對可展期債券價(jià)格的影響.

參考文獻(xiàn):

[1] MERTON R.On the pricing of corporate debt:the risk structure of interest rates[J].Journal of Finance,1974,29(2):449-470.

[2] JARROW R,TURNBULL S.Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk[J].Journal of Finance,1995,50(1):50-53.

[3] DUFFIE D,SINGLETON K J.Modeling term structures of defaultable bonds[J].Review of Financial Studies,1999,12(4):687-720.

[4] 任學(xué)敏,劉紅梅.用約化方法對可展期的企業(yè)債券定價(jià)[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,39(7):1088-1092.

[5] 任學(xué)敏,施林嵩.隨機(jī)違約強(qiáng)度下可展期公司債券的定價(jià)[J].上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,41(5):449-453.

[6] 姜禮尚,徐承龍,任學(xué)敏,等.金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的數(shù)學(xué)模型與案例分析[M].北京:高等教育出版社,2008.

[7] 徐潤,呂玉華.標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)關(guān)于曲線邊界通過概率[J].數(shù)學(xué)研究與評論,2005,25(4):709-715.

[8] 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

[9] 王沫然.MATLAB與科學(xué)計(jì)算[M].2版.北京:電子工業(yè)出版社,2003.

[10] BLACK F,COX J C.Valuing corporate securities:some effects of bond indenture provisions[J].Journal of Finance,1976,31(2):351-367.