雷騰飛，陳 恒，王 榮，任林政，孟 敬

（西京學(xué)院研究生部,陜西 西安 710123）

變形Rikitake雙盤耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)分析與控制

雷騰飛，陳 恒，王 榮，任林政，孟 敬

（西京學(xué)院研究生部,陜西 西安 710123）

以Rikitake雙盤發(fā)電機(jī)為研究對象，結(jié)合工程中的機(jī)電系統(tǒng)，重寫該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型．驗(yàn)證了在一定范圍與外部輸入條件下雙盤發(fā)電機(jī)會產(chǎn)生混沌與極限環(huán)現(xiàn)象．利用極點(diǎn)配置方法對系統(tǒng)的混沌運(yùn)動進(jìn)行控制, 因此具有很好的動態(tài)響應(yīng)特性．仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性與控制方法的有效性．

雙盤發(fā)電機(jī)；混沌控制；狀態(tài)反饋

1 引 言

上世紀(jì)60年代，lorenz在天氣預(yù)報(bào)的模型中發(fā)現(xiàn)了“蝴蝶效應(yīng)”，從此許多科研工作者走進(jìn)了非線性研究領(lǐng)域中有關(guān)混沌的研究[1].

混沌現(xiàn)象在工程中普遍存在,尤其在電機(jī)系統(tǒng)中[2-13].1958年Rikitake首先提出的雙盤發(fā)電機(jī)的模型曾作為最早解釋地磁的起源與地磁場長期變化中極性反轉(zhuǎn)現(xiàn)象的模型，為此地磁理論中需要且最難說明的問題得以解決.文[14]驗(yàn)證了該模型含有豐富的混沌現(xiàn)象.近幾年，雙盤發(fā)電機(jī)的模型已應(yīng)用到工程中，文[15]對該系統(tǒng)的混沌運(yùn)動進(jìn)行了分析，且采用比例微分方法控制，但很難在工程與實(shí)際系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn).自1990年Ott、Grebogi和Yorker提出控制混沌的思想以來，混沌控制的方法與理論不斷涌現(xiàn).現(xiàn)階段對于永磁同步電機(jī)的控制方法已經(jīng)有很多報(bào)道與研究[10-13]，但對于具體雙盤發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)甚至變形的雙盤發(fā)電機(jī)有效的控制方法報(bào)道卻還不多，在眾多的控制方法中采用一種有效的控制方法，使系統(tǒng)避免混沌產(chǎn)生顯的極為重要且具有現(xiàn)實(shí)意義[14].

本文針對雙盤發(fā)電機(jī)混沌系統(tǒng)，結(jié)合工程中機(jī)電耦合系統(tǒng)，重新建立變形雙盤耦合發(fā)電機(jī)模型.利用相位圖、分岔圖，Lyapunov指數(shù)等分析了該混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性，驗(yàn)證了其豐富的混沌動力學(xué)行為；在考慮控制方法能夠有效的應(yīng)用到工程及實(shí)際背景下，本文采用極點(diǎn)配置控制方法對變形耦合發(fā)電機(jī)混沌運(yùn)動進(jìn)行了控制，并通過仿真對控制策略進(jìn)行了驗(yàn)證.

2 變形雙盤耦合發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型與混沌特性

地磁學(xué)家Rikitake在1958年首次提出了雙盤發(fā)電機(jī)的模型，雙盤發(fā)電機(jī)由兩個圓盤與兩個耦合在一起的線圈組成.該模型的無量綱方程[15]

其中x1, x2表示無量綱的電流，x3表示兩圓盤的角速度，μ和σ表示正的可調(diào)參數(shù).

結(jié)合雙盤發(fā)電系統(tǒng)，也為了研究工程中的耦合發(fā)電機(jī)，重新改寫得到新的模型：

a和b、c、d表示正的可調(diào)參數(shù).參數(shù)a=2，b=3，c=1，d=0.75，得到系統(tǒng)的吸引子，如圖1.

2.1 耗散性

變形雙盤耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的耗散性，由系統(tǒng)（2）導(dǎo)出：

2.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

設(shè)系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為E0=(x0,y0,z0)為了方便書寫，將平衡點(diǎn)分為兩部分E10=(x10,y10,z10)，E20=(x20,y20,z20)=(0,0,0)

為了分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[15]，可以得到平衡點(diǎn)E0的Jacobian矩陣：

將平衡點(diǎn)E0=(x10,x20,x30)代入式子（3） ，求出在此平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣的特征方程：

則求出三個根，有兩個根是焦結(jié)點(diǎn)與一個鞍結(jié)點(diǎn).根據(jù)穩(wěn)定性判定可知，無論兩參數(shù)取什么值，平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的.從圖2可看出最大的Lyapunov指數(shù)大于零，說明系統(tǒng)（1）存在混沌行為[16].

圖1 系統(tǒng)的吸收引子圖Fig.1 Phase graph of system

圖2 系統(tǒng)（1）Lyapunov指數(shù)譜Fig 2 Lyapunov exponent of system

2.3 參數(shù)對系統(tǒng)的影響

參數(shù)的變化，從系統(tǒng)的三個方向的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，可以直觀看出系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的變化，下面就我們增加的兩個參數(shù)下系統(tǒng)的Lyaunov指數(shù)與分岔圖進(jìn)行討論研究.

參數(shù)a受環(huán)境，工作條件等因素影響比較大，隨著參數(shù)a的變化系統(tǒng)呈現(xiàn)出非常豐富的非線性，當(dāng)a∈[1,10]系統(tǒng)進(jìn)入了混沌狀態(tài).

在實(shí)際工程中，參數(shù)d為磨損參數(shù)，現(xiàn)固定參數(shù)a=2，b=3，c=1,從圖3（g）(h)可以看出，當(dāng)d∈[0.2,1.1]系統(tǒng)出現(xiàn)了一個正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，分岔圖也可以表明.當(dāng)a∈(1.1,1.5]，混沌特征下降，還有段間隔區(qū).最大的Lyapunov指數(shù)接近0，系統(tǒng)處于倍周期運(yùn)動形式.

同理可以看出其他參數(shù),通過分析可知，該系統(tǒng)易處于混沌狀態(tài).當(dāng)系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動時，電流與電壓忽高忽低，這很容易引系統(tǒng)的崩潰，通過對參數(shù)分析，改變參數(shù)是很難將其脫離混沌.因此須找一種合適有效的方法消除或抑制系統(tǒng)中混沌行為.

圖3 系統(tǒng)的分岔圖與參數(shù)變化Lyaunov指數(shù)譜Fig.3 Lyapunov exponent and Bifurcation diagram of system

3 雙盤發(fā)電機(jī)混沌運(yùn)動的狀態(tài)反饋控制

3.1 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制理論

考慮如下不受控的非線性自治系統(tǒng)：

其中X為狀態(tài)變量，α為參數(shù)；在平衡點(diǎn)附近處線性化，則系統(tǒng)（5）近似為：

其中B為對角矩陣，μ為控制向量，且

其中，K為反饋增益矩陣.

K矩陣的求解，本文利用控制論中極點(diǎn)配置的方法來確定，從而使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)[17].

3.2 控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)上述理論，考慮系統(tǒng)（1）加入狀態(tài)反饋控制項(xiàng)，u=K( X?E0)，則系統(tǒng)（1）的受控系統(tǒng)為：

根據(jù)（7），可以簡化 ，B=diag(1,1,1) .

則系統(tǒng)（9）在系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)E0下的Jacbian矩陣為：

則受控系統(tǒng)的特征方程：

其中，A1, A2,A0都是與k1, k2, k3有關(guān)系數(shù).

取希望配置的極點(diǎn)(?1,?1,?10)，則極點(diǎn)構(gòu)成的特征多項(xiàng)式為[17]：

極點(diǎn)的特征多項(xiàng)式(12)與受控系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式(11)相同，求出k1=9,k2=0,k3=7.75.當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到10s時，加入控制，仿真的結(jié)果如圖4，相位圖如圖5.從圖4、5可以發(fā)現(xiàn)，在20s控制器參與工作后，系統(tǒng)迅速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，具有良好穩(wěn)定性能.

圖4 受控系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)Fig.4 States of controlled system

圖5 受控系統(tǒng)的運(yùn)動相位圖Fig.5 Phase graph of controlled system

4 結(jié) 論

本文針對變形Rikitake雙盤耦合發(fā)電機(jī)模型，研究表明模型在一定參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)具有混沌運(yùn)動，此外，還分析了這種混沌的基本特性.針對該發(fā)電機(jī)混沌特性，應(yīng)用狀態(tài)反饋控制.并對整個系統(tǒng)進(jìn)行了仿真研究，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)在控制器的作用下能夠迅速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，理論分析與數(shù)值仿真結(jié)果相一致.表明該控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)不需要使用除系統(tǒng)狀態(tài)變量以外的受控系統(tǒng)其他有關(guān)信息.研究結(jié)果說明該方法有效，且對工程具有重要的參考價值.

[1] 陳關(guān)榮,呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析控制與同步[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[2] 馬西奎，李明，戴棟,等. 電力電子電路與系統(tǒng)中的復(fù)雜行為研究綜述[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2006 ，21(12): 1-11.

[3] 張波，李忠，毛宗源.永磁同步電動機(jī)的混沌模型及其模糊建模[J].控制理論與應(yīng)用, 2002, 19(6):841-844.

[4] 楊秀媛，肖洋，陳樹勇. 風(fēng)電場風(fēng)速和發(fā)電功率預(yù)測研究[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2005, 25(11): 1-5.

[5] 于東升，陳昊 ，盧勝利,等.開關(guān)磁阻調(diào)速電機(jī)混沌特征分析[J],電工技術(shù)學(xué)報(bào),2010,25(10)：66-80

[6] 劉婷婷，譚彧，吳剛，等. 基于SVPWM的高轉(zhuǎn)速永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的研究[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制,2009,37(12): 11-14.

[7] 王玲芝.改進(jìn)的永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)仿真實(shí)現(xiàn)[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2009, 37(19): 65-69.

[8] 吳忠強(qiáng),奧頓.線性連續(xù)系統(tǒng)混沌跟蹤控制的T-S模型方法[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào), 2007,11(2): 201-206.

[9] 陳敏，李澤軍，黎昂. 基于混沌理論的城市用電量預(yù)測研究[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2009, 37(16): 41-45.

[10] 劉棟梁, 鄭謝輝, 崔麗麗. 無速度傳感器永磁同步電機(jī)反推控制[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2011，26(6): 67-72.

[11] 陳振, 耿潔, 劉向東. 基于積分時變滑模控制的永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2011,26(6): 56-61.

[12] 王宏佳, 徐殿國, 楊明,等. 永磁同步電機(jī)改進(jìn)無差拍電流預(yù)測控制[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2010, 26(6): 39-45.

[13] 閆光亞,艾武,陳冰,等. 永磁直線同步電機(jī)ADRC控制系統(tǒng)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào),2011, 26(9): 60-66.

[14] I Keisuke . Chaos in the Rikitake two disk dynamo system [J]. Earth and Planetary Science Letters , 1980 , 51(2):451-456.

[15] 常迎春，劉曉君，李險(xiǎn)峰. Rikitake雙盤發(fā)電機(jī)模型的混沌與控制[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006.29（4）：422-426.

[16] 王發(fā)強(qiáng),劉崇新. Liu混沌系統(tǒng)的混沌分析及電路實(shí)驗(yàn)的研究[J]. 物理學(xué)報(bào), 2006, 55(10):5061-5069.

[17] 于常官.現(xiàn)代控制理論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1997:111—115.

（責(zé)任編輯 程 杰）

On Chaotic Analysis and Control of the Modified Rikitake Two-disk Dynamo

LEI Tengfei，CHEN Heng，WANG Rong，REN Linzheng ，MENG Jing
( Xijing University, Xi’an 710123, China)

Suited to the nonlinear system of Rikitake Two-disk Dynamo , the system can exhibit a variety of chaotic or limit cycle phenomenon under some choices of system parameters and external inputs. A state variable feedback controlling or suppressing chaos. The control system is excellent in the dynamic response performance, Because of the feedback gain determined by pole placement method. The simulation results demonstrate the effectiveness and realizable of the proposed methods. The research results will provide theoretical

for the study of improving control performance.

two-disk dynamo；chaos control；state variable feedback

TM315

A

1004—1877（2014）03—052—05

2014-01-18

雷騰飛（1988—），男，山東肥城人，碩士，研究方向：混沌電路系統(tǒng)與控制，電機(jī)控制.

陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2009k0940）；西京學(xué)院科研基金（XJ20130117）