利用柱殼法求立體的體積

邱香蘭

(萍鄉(xiāng)學(xué)院，江西萍鄉(xiāng) 337000)

所以，本文討論一個(gè)封閉的平面圖形繞坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的直線旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)立體時(shí)，求其體積的方法，其中坐標(biāo)軸不在已知的平面圖形內(nèi)。［1］中利用已知平行截面的面積求其旋轉(zhuǎn)體的體積有過(guò)探討，本文利用柱殼法來(lái)求簡(jiǎn)便得多，也容易推廣。

1 定義及命題

旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這條直線叫旋轉(zhuǎn)軸。由［1］知，當(dāng)平面圖形是由連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形，而旋轉(zhuǎn)軸為 x軸時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 V =f (x)]2dx;當(dāng)平面圖形是由連續(xù)曲線x=φ(y)、直線y=c、y=d及y軸所圍成的曲邊梯形，而旋轉(zhuǎn)軸為y軸時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V= φ (y)]2dy。下面討論:

命題1:當(dāng)平面圖形是由連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形，而旋轉(zhuǎn)軸為y軸時(shí)，所得立體的體積為:Vy=.

命題2:當(dāng)平面圖形是由連續(xù)曲線x=φ(y)、直線y=c、y=d及y軸所圍成的曲邊梯形，而旋轉(zhuǎn)軸為x軸時(shí)，所得立體的d體積為:Vx=.

2 命題證明

利用［1］證明命題1，如圖2－1

圖 2－1

命題2同理可證.

3 命題推廣

命題3:由連續(xù)曲線y=f(x)及y=g(x)圍成的封閉平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的立體體積為(如圖3－1):

圖 3－1

命題4:由連續(xù)曲線x=φ(y)及x=ψ(y)圍成的封閉平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的立體體積為:

4 應(yīng)用舉例

圖 4－1

解:方法一 利用［1］求出，如圖4－1.

方法二 用柱殼法求出，如圖4－2.

圖 4－2

柱面面積 2πx·y，柱殼體積 2πxy·dx.

例2:求拋物線y=x2與直線y=x所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的立體體積.

解:方法一 利用［1］求出，如圖4－3.

方法二 用柱殼法求出，如圖4－4.

圖 4－3

圖 4－4

例3:設(shè)y=f(x)在x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且f(0)=0，V(t)表示y=f(x)，x=t(t＞0)及x軸所圍成圖形繞直線x=t旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積，證明:V'(t)=2πf(t).

圖 4－5

證:利用柱殼法求出，如圖4－5.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))［M］.第6版.北京:高等教育出版社，2007:278－280.