對(duì)高考試題中兩個(gè)平面向量小題的再思考

于彬

平面向量的知識(shí)靈活多變，可以與高中的很多知識(shí)相結(jié)合，同時(shí)很多題目的條件也可以通過(guò)平面向量的形式告訴我們，因而我們?cè)谄匠５膹?fù)習(xí)備考中應(yīng)引起足夠的重視.下面就對(duì)高考試題中出現(xiàn)的兩個(gè)與平面向量的知識(shí)有關(guān)的兩個(gè)小題進(jìn)行簡(jiǎn)單的探討.

（1）2011年大綱全國(guó)卷（理科）第12題：

設(shè)向量■，■，■滿足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，則■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本題以平面向量為依托，考查四點(diǎn)共圓的知識(shí)，由于此知識(shí)在初中學(xué)習(xí)過(guò)，從而在老教材中沒(méi)有出現(xiàn)，而在新課標(biāo)教材選修4-1中重新提出，對(duì)于大綱全國(guó)卷的考生比較生疏.同時(shí)本題還考查了平面向量的基本知識(shí)和數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想.

解：設(shè)向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■

由題意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共圓.也就是說(shuō)，當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)（如圖1），■最大，此時(shí)∠OAC=∠OBC=90°，進(jìn)而Rt△AOC≌Rt△BOC，從而解得■的最大值等于2，故正確答案為A.

進(jìn)一步思考：■的最小值為多少？

此時(shí)還要考慮圓的知識(shí)，我們知道同一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半.

分析：設(shè)向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■.

顯然當(dāng)點(diǎn)C位于以O(shè)為圓心，半徑R=1的圓的以A，B為端點(diǎn)（不含A，B）的優(yōu)弧上時(shí)（如圖2），此時(shí)■取到最小值1（此時(shí) ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圓心角）.

綜上所述，■的最大值和最小值分別為2和1.

■

（2）2003年新課標(biāo)全國(guó)卷（理科）第4題：

O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）

A.外心 B.內(nèi)心

C.重心 D.垂心

分析：本題與解析幾何相結(jié)合，這種形式在高考中出現(xiàn)的非常多.對(duì)于本題的解法在很多資料中主要是通過(guò)向量運(yùn)算法則中的平行四邊形法則來(lái)給出的，在這里我們考慮另一種方法，給人以更明顯的感覺(jué)?！鲲@然是與■同向的單位向量，對(duì)于單位向量我們一般有兩種表示方法：一個(gè)是坐標(biāo)軸上的單位向量，一般表示為（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一個(gè)是坐標(biāo)間的單位向量，一般表示為（cosθ，sinθ），其中θ為單位向量與x軸正方向的夾角。下面我們給出本題的解析法.

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量■所在的直線為x軸，正方向與■同向，過(guò)點(diǎn)A且與向量■垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），∠CAB=θ，則■可表示為（1，0），■可表示為（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），計(jì)算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0為參數(shù)，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是過(guò)∠CAB的角平分線的直線的斜率，于是直線y=tan■x必經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，故正確答案為B.

（作者單位 山東省東營(yíng)市勝利第六中學(xué)）

編輯 韓 曉

平面向量的知識(shí)靈活多變，可以與高中的很多知識(shí)相結(jié)合，同時(shí)很多題目的條件也可以通過(guò)平面向量的形式告訴我們，因而我們?cè)谄匠５膹?fù)習(xí)備考中應(yīng)引起足夠的重視.下面就對(duì)高考試題中出現(xiàn)的兩個(gè)與平面向量的知識(shí)有關(guān)的兩個(gè)小題進(jìn)行簡(jiǎn)單的探討.

（1）2011年大綱全國(guó)卷（理科）第12題：

設(shè)向量■，■，■滿足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，則■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本題以平面向量為依托，考查四點(diǎn)共圓的知識(shí)，由于此知識(shí)在初中學(xué)習(xí)過(guò)，從而在老教材中沒(méi)有出現(xiàn)，而在新課標(biāo)教材選修4-1中重新提出，對(duì)于大綱全國(guó)卷的考生比較生疏.同時(shí)本題還考查了平面向量的基本知識(shí)和數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想.

解：設(shè)向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■

由題意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共圓.也就是說(shuō)，當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)（如圖1），■最大，此時(shí)∠OAC=∠OBC=90°，進(jìn)而Rt△AOC≌Rt△BOC，從而解得■的最大值等于2，故正確答案為A.

進(jìn)一步思考：■的最小值為多少？

此時(shí)還要考慮圓的知識(shí)，我們知道同一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半.

分析：設(shè)向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■.

顯然當(dāng)點(diǎn)C位于以O(shè)為圓心，半徑R=1的圓的以A，B為端點(diǎn)（不含A，B）的優(yōu)弧上時(shí)（如圖2），此時(shí)■取到最小值1（此時(shí) ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圓心角）.

綜上所述，■的最大值和最小值分別為2和1.

■

（2）2003年新課標(biāo)全國(guó)卷（理科）第4題：

O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）

A.外心 B.內(nèi)心

C.重心 D.垂心

分析：本題與解析幾何相結(jié)合，這種形式在高考中出現(xiàn)的非常多.對(duì)于本題的解法在很多資料中主要是通過(guò)向量運(yùn)算法則中的平行四邊形法則來(lái)給出的，在這里我們考慮另一種方法，給人以更明顯的感覺(jué)?！鲲@然是與■同向的單位向量，對(duì)于單位向量我們一般有兩種表示方法：一個(gè)是坐標(biāo)軸上的單位向量，一般表示為（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一個(gè)是坐標(biāo)間的單位向量，一般表示為（cosθ，sinθ），其中θ為單位向量與x軸正方向的夾角。下面我們給出本題的解析法.

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量■所在的直線為x軸，正方向與■同向，過(guò)點(diǎn)A且與向量■垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），∠CAB=θ，則■可表示為（1，0），■可表示為（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），計(jì)算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0為參數(shù)，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是過(guò)∠CAB的角平分線的直線的斜率，于是直線y=tan■x必經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，故正確答案為B.

（作者單位 山東省東營(yíng)市勝利第六中學(xué)）

編輯 韓 曉

平面向量的知識(shí)靈活多變，可以與高中的很多知識(shí)相結(jié)合，同時(shí)很多題目的條件也可以通過(guò)平面向量的形式告訴我們，因而我們?cè)谄匠５膹?fù)習(xí)備考中應(yīng)引起足夠的重視.下面就對(duì)高考試題中出現(xiàn)的兩個(gè)與平面向量的知識(shí)有關(guān)的兩個(gè)小題進(jìn)行簡(jiǎn)單的探討.

（1）2011年大綱全國(guó)卷（理科）第12題：

設(shè)向量■，■，■滿足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，則■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本題以平面向量為依托，考查四點(diǎn)共圓的知識(shí)，由于此知識(shí)在初中學(xué)習(xí)過(guò)，從而在老教材中沒(méi)有出現(xiàn)，而在新課標(biāo)教材選修4-1中重新提出，對(duì)于大綱全國(guó)卷的考生比較生疏.同時(shí)本題還考查了平面向量的基本知識(shí)和數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想.

解：設(shè)向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■

由題意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共圓.也就是說(shuō)，當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)（如圖1），■最大，此時(shí)∠OAC=∠OBC=90°，進(jìn)而Rt△AOC≌Rt△BOC，從而解得■的最大值等于2，故正確答案為A.

進(jìn)一步思考：■的最小值為多少？

此時(shí)還要考慮圓的知識(shí)，我們知道同一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半.

分析：設(shè)向量■=■，■=■，■=■，則■=■-■，■=■-■.

顯然當(dāng)點(diǎn)C位于以O(shè)為圓心，半徑R=1的圓的以A，B為端點(diǎn)（不含A，B）的優(yōu)弧上時(shí)（如圖2），此時(shí)■取到最小值1（此時(shí) ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圓心角）.

綜上所述，■的最大值和最小值分別為2和1.

■

（2）2003年新課標(biāo)全國(guó)卷（理科）第4題：

O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）

A.外心 B.內(nèi)心

C.重心 D.垂心

分析：本題與解析幾何相結(jié)合，這種形式在高考中出現(xiàn)的非常多.對(duì)于本題的解法在很多資料中主要是通過(guò)向量運(yùn)算法則中的平行四邊形法則來(lái)給出的，在這里我們考慮另一種方法，給人以更明顯的感覺(jué)?！鲲@然是與■同向的單位向量，對(duì)于單位向量我們一般有兩種表示方法：一個(gè)是坐標(biāo)軸上的單位向量，一般表示為（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一個(gè)是坐標(biāo)間的單位向量，一般表示為（cosθ，sinθ），其中θ為單位向量與x軸正方向的夾角。下面我們給出本題的解析法.

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量■所在的直線為x軸，正方向與■同向，過(guò)點(diǎn)A且與向量■垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），∠CAB=θ，則■可表示為（1，0），■可表示為（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），計(jì)算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0為參數(shù)，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是過(guò)∠CAB的角平分線的直線的斜率，于是直線y=tan■x必經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，故正確答案為B.

（作者單位 山東省東營(yíng)市勝利第六中學(xué)）

編輯 韓 曉