Hom-Leibniz代數(shù)的直和

張永平, 王欣彥

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 數(shù)理系， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

Hom-代數(shù)是代數(shù)形變理論中的一類(lèi). 最早，Hom-代數(shù)理論是19世紀(jì)Hartwing、Larsson和Silvestrov在研究Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)的一種量子形變時(shí)引進(jìn)的[1].李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本研究對(duì)象.Hom-Lie代數(shù)相對(duì)于李代數(shù)多了一個(gè)雙線性同態(tài)映射α，且滿足Hom-Jacobi等式,當(dāng)α=id時(shí)， Hom-Lie代數(shù)即為李代數(shù).因此， Hom-Lie代數(shù)包含了李代數(shù). Hom-Leibniz代數(shù)是Hom-Lie代數(shù)的定義中少了一個(gè)條件：不滿足反對(duì)稱性.這說(shuō)明Hom-Leibniz代數(shù)是比Hom-Lie代數(shù)更廣的一類(lèi)代數(shù)[2].

Hom-代數(shù)有Hom-Lie代數(shù)、Hom-Lie超代數(shù)、Hom-Leibniz代數(shù)、Hom-Lie color代數(shù)等. Leibniz代數(shù)滿足反交換時(shí)是Lie代數(shù),類(lèi)似地可以想到與Hom-Leibniz代數(shù)聯(lián)系比較密切的是Hom-Lie代數(shù). Hom-Leibniz代數(shù)作為一種代數(shù)體系相對(duì)于Hom-Lie代數(shù)的條件有所放寬，一般情況下,這會(huì)使兩個(gè)代數(shù)的性質(zhì)有所不同.Hom-Leibniz代數(shù)的同調(diào)和泛中心擴(kuò)張、Hom-Leibniz代數(shù)的性質(zhì)在文獻(xiàn)[3-4]中已有研究.本文證明了Hom-Lie代數(shù)的某些性質(zhì)[5]在Hom-Leibniz代數(shù)上仍然是成立的.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[6]Leibniz代數(shù)L是一個(gè)向量空間,其上定義了一個(gè)括積運(yùn)算[,]:L×L→L,滿足等式:

[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]

?x,y,z∈L

定義2[6]Hom-代數(shù)是一個(gè)三元組(g,[,],α)，g是一個(gè)K向量空間，“[,]”是g上的一個(gè)二元運(yùn)算，α是一個(gè)線性映射，α:g→g，滿足

α[x,y]=[α(x),α(y)] ?x,y∈g

(1)

定義3[6]一個(gè)左Hom-Leibniz代數(shù)是一個(gè)Hom-代數(shù)(g,[,],α)滿足如下等式:

[α(x),[y,z]]=

[[x,y],α(z)]+[α(y),[x,z]]

(2)

以下將左Hom-Leibniz代數(shù)簡(jiǎn)稱為Hom-Leibniz代數(shù).

定義4 Hom-Leibniz代數(shù)的同態(tài)φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個(gè)線性映射φ:g→h滿足

φ[u,v]=[φ(u),φ(v)] ?u,v∈g

φ°α=β°φ

(3)

記Dφ=(u,φ(u))?g⊕h

例1 設(shè)(L,[,])是一個(gè)Leibniz代數(shù)，α:L→L是L的自同態(tài),

α([x,y])=[α(x),α(y)],?x,y∈L.

令[,]α=α([x,y])，則(L,[,]α,α)是Hom-Leibniz代數(shù).

2 主要結(jié)果

命題1 給出兩個(gè)Hom-Leibniz代數(shù)(g,[,],α)和(h,[,],β)，那么得到一個(gè)新的Hom-Leibniz代數(shù)(g⊕h,[,],α+β).定義二元運(yùn)算和線性映射如下：

Λ2:g⊕h→g⊕h

[(u1,v1),(u2,v2)]=([u1,u2],[v1,v2])

?u1,u2∈g,v1,v2∈h

α+β:g⊕h→g⊕h

(α+β)(u,v)=(α(u),β(v))

?u∈g,v∈h

證明：

(α+β)[(u1,v1),(u2,v2)]=

斯內(nèi)靈堡是以斯內(nèi)靈上校的名字命名的——斯內(nèi)靈上校曾命人在瀑布上修建磨坊和鋸木廠。在圣保羅作為貿(mào)易市鎮(zhèn)漸漸揚(yáng)名的時(shí)候，明尼阿波利斯成了著名的貨物生產(chǎn)地。就這樣，一個(gè)是生產(chǎn)中心，一個(gè)是貿(mào)易中心，明尼阿波利斯和圣保羅兩座城市就像池塘里的漣漪一樣不斷外擴(kuò)，漫過(guò)樹(shù)林和荒草，沿懸崖朝彼此慢慢延伸。野地里的土路逐漸成為一條條整齊的街道，兩座城市的房屋順著街道連接在了一起。這兩座起初由大河相連的城市現(xiàn)在成了孿生雙子城，如今行走在公園林蔭路上的外地人不時(shí)地詢問(wèn)一下自己所在的位置屬于雙子城的哪一座。

(α[u1,u2],β[v1,v2])=

([α(u1),α(u2)],[β(v1),β(v2)])=

[(α(u1),β(v1)),(α(u2),β(v2))]=

[(α+β)(u1,v1),(α+β)(u2,v2)]

表明(1)式成立.下證(2)式成立.

[(α+β)(u1,v1),[(u2,v2),(u3,v3)]]=

[(α(u1),β(v1)),([u2,u3],[v2,v3])]

又

[[(u1,v1),(u2,v2)],(α+β)(u3,v3)]+

[([u1,u2],[v1,v2])，(α(u3),β(v3))]+

[(α(u2),β(v2)),([u1,u3],[v1,v3])]=

([[u1,u2],α(u3)],[[v1,v2],β(v3)])+

([α(u2),[u1,u3]],[β(v2),[v1,v3]])=

([[u1,u2],α(u3)]+

[α(u2),[u1,u3]],[[v1,v2],β(v3)]+

[β(v2),[v1,v3]])=

([α(u1),[u2,u3]],[β(v1),[v2,v3]])=

[(α(u1),β(v1)),([u2,u3],[v2,v3])]

得證.

命題2一個(gè)線性映射φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個(gè)Hom-Leibniz代數(shù)同態(tài),當(dāng)且僅當(dāng)Dφ?g⊕h是(g⊕h,[,],α+β)的一個(gè)Hom-Leibniz子代數(shù).

證明：設(shè)φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個(gè)Hom-Leibniz代數(shù)同態(tài)，那么對(duì)于?u,v∈g，有:

[(u,φ(u)),(v,φ(v))]=

([u,v],[φ(u),φ(v)])=

([u,v],φ[u,v])

由此可知Dφ在二元運(yùn)算[,]下是封閉的.

由(3)式有:

(α+β)(u,φ(u))=(α(u),β°φ(u))=

(α(u),φ°α(u))

表明(α+β)(Dφ)∈Dφ,因此，Dφ是(g⊕h,[,],α+β)的一個(gè)Hom-Leibniz子代數(shù).

反過(guò)來(lái)：若Dφ∈g⊕h是(g⊕h,[,],α+β)的一個(gè)Hom-Leibniz子代數(shù),則運(yùn)算封閉,有：

[(u,φ(u)),(v,φ(v))]=

([u,v],(φ(u),φ(v)))∈Dφ

這個(gè)式子說(shuō)明[φ(u),φ(v)]=φ[u,v].

又因?yàn)?α+β)(Dφ)?Dφ，所以，

(α+β)(u,φ(u))=

(α(u),β°φ(u))∈Dφ

上式說(shuō)明β°φ(u)=φ°α(u),即β°φ=φ°α,因此,φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一個(gè)Hom-Leibniz代數(shù)同態(tài).

得證.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)Hom-Leibniz代數(shù)的直和做了一些討論，Hom-Leibniz代數(shù)的導(dǎo)子、表示等還有待進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

[1] Hartwig J T, Larsson D, Sliverstrov S D.Deformation of Lie Algebras Usingα-derivations[J].J Algebra, 2005,295(2):314-361.

[2] Makhlouf A, Silvestrov S D.Hom-algebra Structure[J].J.Gen.Lie Theory Appl,2008,2(2):51-64.

[3] Cheng Yongsheng,Su Yucai.(Co)Homology and Universal Central Extension of Hom-Leibniz Algebras[J].Acta Mathematica Sinica,2011,27(5):813-830.

[4] Nourou ISSA A.Some Characterizations of Hom-Leibniz algebras[DB/OL].(2010-11-08).http://arxiv.org/pdf/1011.1731.pdf.

[5] Sheng Yunhe.Representations of Hom-Lie Algebra[J].Algebras and Representation Theory,2012,15(6):1081-1098.

[6] 徐麗媛，王春月，張若蘭，等.低維Hom-Leibniz代數(shù)分類(lèi)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2013,51(1):74-82.