董祥南
(江西師范大學數學與信息科學學院,江西 南昌330022)
設a,b,c∈Z,形如y2=x3+ax2+bx+c的曲線,稱為模橢圓曲線,這是一類非常重要的代數曲線,其在數論計算中有很重要的地位和作用,特別是曲線上的格點(即滿足曲線方程的點P(x,y)的2個坐標分量都是整數的點)的計算。本文計算了幾條模橢圓曲線,找出了這些模橢圓曲線上的所有格點。
定理1:模橢圓曲線y2+y=x3上有且僅有2個格點(x,y)=(0,0)。
推論1:模橢圓曲線y2-y=x3上有且僅有2個格點(x,y)=(0,0),(0,1)。
定理2:模橢圓曲線y2=x3+x上有且僅有一個格點(x,y)=(0,0)。
推論2:模橢圓曲線y2=x3-x上有且僅有3個格點(x,y)=(0,0),(1,0),(-1,0)。
定理3:設素數p滿足p≡3(mod 4),則模橢圓曲線py2=x3+x2+x+1上沒有滿足x≠-1 (mod p)的格點。
證明:用反證法證。假設(x,y)是定理3中曲線上的滿足x≠-1(mod p)的格點,則滿足曲線方程py2=x3+x2+x+1=(x+1)(x2+1),注意到(x+1,x2+1)=1或2,于是就有:
綜合上面的各種情況,即知定理3的結論成立。
定理4:設素數p≡±3(mod 8),則模橢圓曲線py2=x3+x2-2x-2上沒有格點。
引理2[3]:設D是一個非平方數的正整數,則方程x2-Dy4=1(x,y∈N)至多有2組解。
定理5:設p≡5(mod 12)是素數,則模橢圓曲線y2=px(x2+3)上至多存在2組正整數解。
證明:設(m,n)是模橢圓曲線y2=px(x2+3)上的整數點,則有:n2=pm(m2+3),于是就有p| n,故可令n=pk,則pk2=m(m2+3),注意到:(m,m2+3)=(m,3)=1或3。
情形1:如果(m,m2+3)=1,則由引理1可得
情形2:如果(m,m2+3)=3,則3|m,故可令m=3r,則由于p是素數,就有3|k,令k=3s,就得到ps2=r(3r2+1),由于(r,3r2+1)=(r,1)=1,因此由引理1就有:
綜合上述各種情況就得到:模橢圓曲線y2= px(x2+3)上至多存在2組正整數解。
[1] 閔嗣鶴,嚴士健.初等數論(第2版)[M].北京:高等教育出版社,1982.
[2] 華羅庚.數論導引[M].北京:科學出版社,1957.
[3] Walsh P G.A note on a theorem of Ljunggrem and the Diophantine equation x2-kxy2+y4=1,4[J].Anal.Math.(Basel),1999,73(1):119-125.