關于模橢圓曲線上的格點計算

董祥南

(江西師范大學數學與信息科學學院，江西 南昌330022)

0 引言

設a，b，c∈Z，形如y2=x3+ax2+bx+c的曲線，稱為模橢圓曲線，這是一類非常重要的代數曲線，其在數論計算中有很重要的地位和作用，特別是曲線上的格點(即滿足曲線方程的點P(x，y)的2個坐標分量都是整數的點)的計算。本文計算了幾條模橢圓曲線，找出了這些模橢圓曲線上的所有格點。

1 引理及主要定理的證明

定理1:模橢圓曲線y2+y=x3上有且僅有2個格點(x，y)=(0，0)。

推論1:模橢圓曲線y2－y=x3上有且僅有2個格點(x，y)=(0，0)，(0，1)。

定理2:模橢圓曲線y2=x3+x上有且僅有一個格點(x，y)=(0，0)。

推論2:模橢圓曲線y2=x3－x上有且僅有3個格點(x，y)=(0，0)，(1，0)，(－1，0)。

定理3:設素數p滿足p≡3(mod 4)，則模橢圓曲線py2=x3+x2+x+1上沒有滿足x≠－1 (mod p)的格點。

證明:用反證法證。假設(x，y)是定理3中曲線上的滿足x≠－1(mod p)的格點，則滿足曲線方程py2=x3+x2+x+1=(x+1)(x2+1)，注意到(x+1，x2+1)=1或2，于是就有:

綜合上面的各種情況，即知定理3的結論成立。

定理4:設素數p≡±3(mod 8)，則模橢圓曲線py2=x3+x2－2x－2上沒有格點。

引理2［3］:設D是一個非平方數的正整數，則方程x2－Dy4=1(x，y∈N)至多有2組解。

定理5:設p≡5(mod 12)是素數，則模橢圓曲線y2=px(x2+3)上至多存在2組正整數解。

證明:設(m，n)是模橢圓曲線y2=px(x2+3)上的整數點，則有:n2=pm(m2+3)，于是就有p| n，故可令n=pk，則pk2=m(m2+3)，注意到:(m，m2+3)=(m，3)=1或3。

情形1:如果(m，m2+3)=1，則由引理1可得

情形2:如果(m，m2+3)=3，則3|m，故可令m=3r，則由于p是素數，就有3|k，令k=3s，就得到ps2=r(3r2+1)，由于(r，3r2+1)=(r，1)=1，因此由引理1就有:

綜合上述各種情況就得到:模橢圓曲線y2= px(x2+3)上至多存在2組正整數解。

［1］ 閔嗣鶴，嚴士健.初等數論(第2版)［M］.北京:高等教育出版社，1982.

［2］ 華羅庚.數論導引［M］.北京:科學出版社，1957.

［3］ Walsh P G.A note on a theorem of Ljunggrem and the Diophantine equation x2－kxy2+y4=1，4［J］.Anal.Math.(Basel)，1999，73(1):119－125.