“變教為學”倡導學生的學習不是被動地接受，而是主動地思考。這種思考的過程實質(zhì)就是建立知識間聯(lián)系的過程。因此在為學生設計學習目標、學習活動和學習任務時，就應當努力并且充分地挖掘這樣的聯(lián)系。

計算教學歷來是小學數(shù)學教學中的重點，其中筆算的一個重要內(nèi)容是學習加、減、乘、除四種運算的豎式算法。豎式教學的困難主要有三個方面，第一是對于加法、減法和乘法運算，為什么一定要從低位到高位計算？第二是進位和借位數(shù)字如何處理？第三是除法豎式為什么與加法、減法和乘法豎式不一致？運用聯(lián)系的觀點和歷史的視角可以找到這些問題的答案。

一、讓豎式計算“雙向可行”

知識間的聯(lián)系多種多樣，其中一種是不同概念間“是”與“非”的并存關系。比如在自然數(shù)的范圍內(nèi)有“質(zhì)數(shù)”這一概念，同時就有“非質(zhì)數(shù)”（也就是“1”與“合數(shù)”）概念的存在；在有理數(shù)范圍內(nèi)有“整數(shù)”，同時就有“非整數(shù)”（分數(shù)或小數(shù)）的存在；在幾何中有直線，同時就有“非直線”（也就是曲線）的存在；等等。這種“是”與“非”的并存關系，就是概念之間的一種聯(lián)系方式。

這種聯(lián)系最主要的特征是“相對”和“并存”，也就是失去了一方，另一方就隨之消失。這種成雙成對意義的聯(lián)系，不妨叫作“相對意義的聯(lián)系”。類似的例子在日常用語中也不罕見，比如描述方向時所用的左右、前后和上下等，都是具有相對意義聯(lián)系的概念。

相對意義的聯(lián)系不僅體現(xiàn)在概念及其表述方面，同時也在方法的使用方面有所體現(xiàn)。比如利用“豎式”進行運算時，一般習慣“從個位算起”，也就是按照“從右到左”的順序計算，教科書中通常也會給出這樣的提示。如果按照相對意義聯(lián)系的觀點思考，自然就會產(chǎn)生這樣的想法：既然有“從右到左”的計算方法，就應該有反過來“從左到右”的方法，二者應當是并存的。事實確實如此，在19世紀前后的歐洲對于“3709+8540+2618+706”的計算，就同時存在著從左到右和從右到左的豎式計算方法（見圖1）[1]。

圖1中左側(cè)豎式就是按照從左到右的順序計算的，右側(cè)算式則是從右到左的順序計算的。與現(xiàn)在不同的是，每一位上的各個數(shù)相加后的總和要全部寫出，并且單占一行。這樣做的好處在于將現(xiàn)在所說的“進位數(shù)”全部寫出來，避免了對“進位數(shù)”的記憶，當然書寫格式顯得冗長，不如現(xiàn)在的寫法簡潔。對于乘法的計算也類似，歷史上出現(xiàn)過很多方法，與前面加法類似的雙向可行的方法都在歐洲出現(xiàn)過，比如對于“748×632”就有如圖2的兩種方法（見圖2）。

圖中第一種方法從低位算起，第二種方法從高位算起。其原理與前面的加法豎式基本一致。相對意義的聯(lián)系在知識以及過程與方法上的體現(xiàn)，歸根到底都是人的思維方式的表現(xiàn)。教學中應當充分利用這樣的知識以及過程與方法，適時、適當、適量地讓學生經(jīng)歷這種思維方式的思考活動，同時也能感受到算法的多樣性。

二、加、減豎式一碼事

事物之間另外一種聯(lián)系的方式是不同事物之間存在著的共性，如果發(fā)現(xiàn)了這樣的共性，就意味著建立了事物之間的某種聯(lián)系。比如兩個數(shù)“10”和“17”，表面看沒什么關系，但是如果在一個月歷表中看，就會發(fā)現(xiàn)這兩個數(shù)對應日期的星期數(shù)是相同的，如果10號是星期三，那么當月17號一定也是星期三。其原因就是這兩個數(shù)除以7的余數(shù)是相同的。在這個意義下，“10”和“17”之間就有了聯(lián)系。

通常所說的“探索規(guī)律”實際上就是在運動與變化中尋找不變因素[2][3]，也就是在尋找不同事物或者變化著的事物的共性，一旦發(fā)現(xiàn)了共性，就意味著建立了事物之間的聯(lián)系，也就是發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。這種聯(lián)系在邏輯學中叫作“相合意義的聯(lián)系”。

眾所周知，小學數(shù)學計算教學中學生在進位和退位時極易出現(xiàn)錯誤。翻閱古代印度由Bhascara Acharya所著的《算術與幾何》[4]中可以發(fā)現(xiàn)，對加法的進位和減法的退位有一種統(tǒng)一的處理方法。對于“3709+8540+2618+706”的計算寫為圖3的豎式（見圖3）：

圖4中前兩行分別是被減數(shù)和減數(shù)，第三行“384689”是依次減得的結(jié)果，第四行“11011”就是借位行，最后的結(jié)果“274579”是第三行“384689”與借位行“11011”的差。這樣的計算同樣可以是雙向的，既可以從左到右，也可以從右到左。

加法豎式中的“進位行”與減法豎式中的“借位行”，古代印度人統(tǒng)稱為“Khuti Mahi”，英譯為“Obliterating Line”，意思是“可刪除的線”?，F(xiàn)代數(shù)學課程中，這一條線真的被刪除了，因此使得豎式計算中的進位和借位不可見了，這或許是學生計算過程中易錯的一個重要原因。

對比古代印度人加法和減法豎式，發(fā)現(xiàn)三個共同點。第一是每一步計算僅使用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，無需對現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行改變；第二是雙向可行，既可以從右到左，也可以從左到右；第三是將進位或者借位數(shù)字另起一行書寫。這三點都是現(xiàn)在數(shù)學課程中的標準豎式所不具備的，也恰恰應當成為計算教學中重點研究的問題。

三、除法豎式源于減法

事物之間聯(lián)系的第三種形式表現(xiàn)為事物之間的“依賴與制約”，也可以叫作“因果關系”。其基本觀點是任何事物的發(fā)生與發(fā)展不可能是孤立的，一定伴隨著其他事物的發(fā)生與發(fā)展。事物之間一定是相互依賴、相互制約，也就是互為因果的。

“除法豎式”在西方國家的數(shù)學課程中叫作“長除（Long Division）”，其難教與難學是舉世公認的，美國數(shù)學教育界于20世紀就掀起過關于“小學生要不要學長除”的大討論。小學生學習除法豎式遇到的第一個困難是其書寫形式與已經(jīng)熟悉的加法、減法和乘法不同。如果讓學生自己寫出“20÷2”的豎式，學生通常會模仿先前乘法豎式的寫法，寫為如圖5的形式。教師無奈之下只能通過示范，而后學生通過模仿、記憶與練習進行教學。

運用“因果關聯(lián)”的思考，應當相信如今數(shù)學課程中除法豎式絕不可能是空穴來風，一定與其他計算方法有依賴與制約的聯(lián)系。歷史上眾多算法中可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今除法豎式的書寫格式應當來源于減法。以“1554÷37”為例，在18世紀前后的歐洲就有如圖6的算法。見圖6）endprint

計算“1554÷37”實際是求1554中包含有多少個37。計算的基本思路是用1554反復減去37，直到剩余不夠減為止。減法的次數(shù)就是除法的結(jié)果。為了使減法的次數(shù)盡量少，因此首先從1554的高位看，哪一位開始的兩位數(shù)比37大，就從哪里開始減。

圖6就是從1554中的“55”開始依次反復減去37（實際上是減去370）。第一次減法后的結(jié)果是118，實際上應當是1184，其中的個位數(shù)字“4”省略沒寫。說明已經(jīng)從1554中減去10個37。以下類推，四次后減得的結(jié)果是7（實際上是剩余74，其中的4省略沒寫），這個剩余的7已經(jīng)不夠繼續(xù)減37了。此時從1554中減去40個37后還剩余74。接下來連續(xù)兩次減法就恰好減完，說明1554中一共包含了（40+2）42個37，也就是“1554÷37”的商是42。

類似于此的方法如今在歐洲部分國家的數(shù)學課程中仍在使用，在首都師范大學初等教育學院留學的瑞士學生就將“24÷2”寫成圖7的形式（見圖7）。

其中是用比號“：”表示除號“÷”。計算過程與前面圖6的算法思路是一樣的，從被除數(shù)高位看起，首先能夠減去除數(shù)2的就是24的十位數(shù)字2，因此第一步從十位減去2，相當于減去10個2，剩余4。第二步從4中減去4，相當于減去2個2，恰好減完，說明24中包含了（10+2）12個2，也就是“24÷2”的結(jié)果是12。在德國的小學數(shù)學教科書中可以看到類似的計算過程，比如“945÷5”計算過程的寫法為（見圖8）：

圖9的計算過程是首先在最左邊縱向羅列出除數(shù)423的1至9倍，而后從被除數(shù)高位看，發(fā)現(xiàn)除數(shù)423的5倍2115最接近被除數(shù)的前四位2202，這時就（上接第6頁）

將2115寫在2202下做減法，同時將“5”記錄在右側(cè)；減得的結(jié)果是878，在左側(cè)除數(shù)的倍數(shù)中發(fā)現(xiàn)除數(shù)423的2倍846最接近878，所以重復前面的過程，將846寫在878下面做減法，將2記錄在右側(cè)5的旁邊，依次類推。這個過程直到減法結(jié)果為0，說明被除數(shù)22028148中包含了52076個除數(shù)423，也就是這個除法的結(jié)果是52076。這個除法豎式與現(xiàn)在數(shù)學課程中的除法豎式并沒有本質(zhì)的差別，只不過現(xiàn)在的寫法中將羅列除數(shù)的倍數(shù)這個過程省略了，將商寫在了被除數(shù)的上方。

以上例子說明，除法豎式實際上來源于減法，其本質(zhì)是從被除數(shù)中逐次減去除數(shù)的倍數(shù)，最后將減去的次數(shù)統(tǒng)計出來就是除法的結(jié)果。因此在除法豎式的教學中首先應當建立除法與減法的關系，而后從減法豎式引出除法豎式的學習。

豎式是筆算的工具，屬于人發(fā)明的知識[5]，其作用是減輕計算過程中的思維負擔。按照“變教為學”的觀點，學生學習的過程應當是經(jīng)歷發(fā)明活動的過程。發(fā)明的結(jié)果一定是多樣的，教師應當對這種多樣的結(jié)果給予鼓勵，運用聯(lián)系的觀點引導學生自主評判、自主選擇，讓學生的發(fā)明從“多樣”逐步走向“統(tǒng)一”。

參考文獻

[1] John Leslie， F. R. S. E. The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh： Printed By Abernethy & Walker.

[2] 郜舒竹. 什么是“探索規(guī)律”[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學）， 2013（11）.

[3] 郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學），2013（12）.

[4] Bhascara Achary. A Treatise on Arithmetic and Geometry . Bombay： Printed by Samurl Rans， 1816.

[5] 郜舒竹. “變教為學”說備課[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學）， 2014（1～2）.

（首都師范大學初等教育學院 100070）endprint

計算“1554÷37”實際是求1554中包含有多少個37。計算的基本思路是用1554反復減去37，直到剩余不夠減為止。減法的次數(shù)就是除法的結(jié)果。為了使減法的次數(shù)盡量少，因此首先從1554的高位看，哪一位開始的兩位數(shù)比37大，就從哪里開始減。

圖6就是從1554中的“55”開始依次反復減去37（實際上是減去370）。第一次減法后的結(jié)果是118，實際上應當是1184，其中的個位數(shù)字“4”省略沒寫。說明已經(jīng)從1554中減去10個37。以下類推，四次后減得的結(jié)果是7（實際上是剩余74，其中的4省略沒寫），這個剩余的7已經(jīng)不夠繼續(xù)減37了。此時從1554中減去40個37后還剩余74。接下來連續(xù)兩次減法就恰好減完，說明1554中一共包含了（40+2）42個37，也就是“1554÷37”的商是42。

類似于此的方法如今在歐洲部分國家的數(shù)學課程中仍在使用，在首都師范大學初等教育學院留學的瑞士學生就將“24÷2”寫成圖7的形式（見圖7）。

其中是用比號“：”表示除號“÷”。計算過程與前面圖6的算法思路是一樣的，從被除數(shù)高位看起，首先能夠減去除數(shù)2的就是24的十位數(shù)字2，因此第一步從十位減去2，相當于減去10個2，剩余4。第二步從4中減去4，相當于減去2個2，恰好減完，說明24中包含了（10+2）12個2，也就是“24÷2”的結(jié)果是12。在德國的小學數(shù)學教科書中可以看到類似的計算過程，比如“945÷5”計算過程的寫法為（見圖8）：

圖9的計算過程是首先在最左邊縱向羅列出除數(shù)423的1至9倍，而后從被除數(shù)高位看，發(fā)現(xiàn)除數(shù)423的5倍2115最接近被除數(shù)的前四位2202，這時就（上接第6頁）

將2115寫在2202下做減法，同時將“5”記錄在右側(cè)；減得的結(jié)果是878，在左側(cè)除數(shù)的倍數(shù)中發(fā)現(xiàn)除數(shù)423的2倍846最接近878，所以重復前面的過程，將846寫在878下面做減法，將2記錄在右側(cè)5的旁邊，依次類推。這個過程直到減法結(jié)果為0，說明被除數(shù)22028148中包含了52076個除數(shù)423，也就是這個除法的結(jié)果是52076。這個除法豎式與現(xiàn)在數(shù)學課程中的除法豎式并沒有本質(zhì)的差別，只不過現(xiàn)在的寫法中將羅列除數(shù)的倍數(shù)這個過程省略了，將商寫在了被除數(shù)的上方。

以上例子說明，除法豎式實際上來源于減法，其本質(zhì)是從被除數(shù)中逐次減去除數(shù)的倍數(shù)，最后將減去的次數(shù)統(tǒng)計出來就是除法的結(jié)果。因此在除法豎式的教學中首先應當建立除法與減法的關系，而后從減法豎式引出除法豎式的學習。

豎式是筆算的工具，屬于人發(fā)明的知識[5]，其作用是減輕計算過程中的思維負擔。按照“變教為學”的觀點，學生學習的過程應當是經(jīng)歷發(fā)明活動的過程。發(fā)明的結(jié)果一定是多樣的，教師應當對這種多樣的結(jié)果給予鼓勵，運用聯(lián)系的觀點引導學生自主評判、自主選擇，讓學生的發(fā)明從“多樣”逐步走向“統(tǒng)一”。

參考文獻

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[2] 郜舒竹. 什么是“探索規(guī)律”[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學）， 2013（11）.

[3] 郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學），2013（12）.

[4] Bhascara Achary. A Treatise on Arithmetic and Geometry . Bombay： Printed by Samurl Rans， 1816.

[5] 郜舒竹. “變教為學”說備課[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學）， 2014（1～2）.

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計算“1554÷37”實際是求1554中包含有多少個37。計算的基本思路是用1554反復減去37，直到剩余不夠減為止。減法的次數(shù)就是除法的結(jié)果。為了使減法的次數(shù)盡量少，因此首先從1554的高位看，哪一位開始的兩位數(shù)比37大，就從哪里開始減。

圖6就是從1554中的“55”開始依次反復減去37（實際上是減去370）。第一次減法后的結(jié)果是118，實際上應當是1184，其中的個位數(shù)字“4”省略沒寫。說明已經(jīng)從1554中減去10個37。以下類推，四次后減得的結(jié)果是7（實際上是剩余74，其中的4省略沒寫），這個剩余的7已經(jīng)不夠繼續(xù)減37了。此時從1554中減去40個37后還剩余74。接下來連續(xù)兩次減法就恰好減完，說明1554中一共包含了（40+2）42個37，也就是“1554÷37”的商是42。

類似于此的方法如今在歐洲部分國家的數(shù)學課程中仍在使用，在首都師范大學初等教育學院留學的瑞士學生就將“24÷2”寫成圖7的形式（見圖7）。

其中是用比號“：”表示除號“÷”。計算過程與前面圖6的算法思路是一樣的，從被除數(shù)高位看起，首先能夠減去除數(shù)2的就是24的十位數(shù)字2，因此第一步從十位減去2，相當于減去10個2，剩余4。第二步從4中減去4，相當于減去2個2，恰好減完，說明24中包含了（10+2）12個2，也就是“24÷2”的結(jié)果是12。在德國的小學數(shù)學教科書中可以看到類似的計算過程，比如“945÷5”計算過程的寫法為（見圖8）：

圖9的計算過程是首先在最左邊縱向羅列出除數(shù)423的1至9倍，而后從被除數(shù)高位看，發(fā)現(xiàn)除數(shù)423的5倍2115最接近被除數(shù)的前四位2202，這時就（上接第6頁）

將2115寫在2202下做減法，同時將“5”記錄在右側(cè)；減得的結(jié)果是878，在左側(cè)除數(shù)的倍數(shù)中發(fā)現(xiàn)除數(shù)423的2倍846最接近878，所以重復前面的過程，將846寫在878下面做減法，將2記錄在右側(cè)5的旁邊，依次類推。這個過程直到減法結(jié)果為0，說明被除數(shù)22028148中包含了52076個除數(shù)423，也就是這個除法的結(jié)果是52076。這個除法豎式與現(xiàn)在數(shù)學課程中的除法豎式并沒有本質(zhì)的差別，只不過現(xiàn)在的寫法中將羅列除數(shù)的倍數(shù)這個過程省略了，將商寫在了被除數(shù)的上方。

以上例子說明，除法豎式實際上來源于減法，其本質(zhì)是從被除數(shù)中逐次減去除數(shù)的倍數(shù)，最后將減去的次數(shù)統(tǒng)計出來就是除法的結(jié)果。因此在除法豎式的教學中首先應當建立除法與減法的關系，而后從減法豎式引出除法豎式的學習。

豎式是筆算的工具，屬于人發(fā)明的知識[5]，其作用是減輕計算過程中的思維負擔。按照“變教為學”的觀點，學生學習的過程應當是經(jīng)歷發(fā)明活動的過程。發(fā)明的結(jié)果一定是多樣的，教師應當對這種多樣的結(jié)果給予鼓勵，運用聯(lián)系的觀點引導學生自主評判、自主選擇，讓學生的發(fā)明從“多樣”逐步走向“統(tǒng)一”。

參考文獻

[1] John Leslie， F. R. S. E. The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh： Printed By Abernethy & Walker.

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[3] 郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學），2013（12）.

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[5] 郜舒竹. “變教為學”說備課[J]. 教學月刊小學版（數(shù)學）， 2014（1～2）.

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