馮東敏

在人教版的各冊數(shù)學教材中，編者均有針對性地設置了課后拓展材料。主要有 “你知道嗎”和思考題兩種形式。第一種形式主要包含四個方面：數(shù)學史、數(shù)學知識介紹、生活中的數(shù)學以及生活常識與信息；第二種形式是數(shù)學思考題。這些思考題一般出現(xiàn)在課后鞏固練習題或練習課之中，主要是對書本知識的拓展與提高。這些拓展材料豐富了教材內容，增加了知識容量，擴大了學生的知識面，在激發(fā)學生學習興趣和提高學生能力上，起到了不可小視的作用。但由于教材篇幅有限，涉及的內容較少，只能起到一種導引的作用，因此，就需要教師在面上加以補充，在量上適度增加，在深度上加以拓展。

那么，教師如何在課堂教學中創(chuàng)造性地使用課后材料，并進行有效的拓展，使課堂因拓展而流光溢彩呢？筆者結合自己平時的教學實踐，談一些具體做法。

一、溯根追源，豐富學生的情感與視野

數(shù)學是一門有著悠久歷史的學科，它的好多知識往往有著其特有的背景知識。課后的“你知道嗎”就是試圖通過讓學生接觸有關數(shù)學家的故事、數(shù)學趣題與數(shù)學史料，幫助學生了解數(shù)學知識的產生與發(fā)展。但由于教材的篇幅有限，教師不可能長篇介紹。那么，這些課后材料該以怎樣的形式走進課堂與學生對話，讓學生在學習的過程中感受數(shù)學呢？

（一）融于新知教學

“你知道嗎”通常安排在教材的“做一做”或練習的最后部分，因為一般不作為考查的內容，所以在實際教學中往往被一帶而過，這樣，它所肩負的數(shù)學史教育價值功能就無法落到實處。其實，有相當一部分的“你知道嗎”可以結合新知教學，作為新知的引入，也可以穿插在新知教學過程中，幫助學生對新知的理解。如在“年、月、日”一課的教學中，學生在認識時間單位年、月、日時，可利用手頭的年歷探究平年、閏年，得出一般規(guī)律。

例如，教師可用課件出示相關資料：

我們現(xiàn)在用的日歷叫陽歷，也叫太陽歷，把地球繞太陽一周的時間定為一年，而地球繞太陽一周的時間是365天5小時48分46秒，這樣按365天來計算的話，每年將近多出6小時，積4年就加1天在2月份。這樣平年一年365天，4年一閏年，這年是366天。但是每年如果均按多6小時計算，這樣就多算了11分14秒，為了避免積累的誤差，就規(guī)定碰到整百年時，只有除以400沒余數(shù)的才是閏年。概括起來說，就是：“四年一閏，百年不閏，四百年又一閏?！?/p>

在鞏固練習小結后再出示資料：

我們現(xiàn)在用的陽歷，是從西方傳來的。最早采用陽歷的是羅馬。每年12個月，大月31天，小月30天，是人定的，2月有時28天、有時29天也是人定的，這人就是羅馬皇帝。他們不喜歡2月，2月要殺犯人，所以天數(shù)少一些。7月、8月都是大月，那是因為它們是兩個皇帝出生的月份。只有一年365天5小時48分46秒是大自然定的。

全課總結時出示：

聰明的人總是善于利用時間，愚昧的人則善于消磨時間。

勤奮的人抓緊時間，懶惰的人浪費時間。

嚴律的人珍惜時間，散漫的人虛度時間。

在上述的教學中，筆者就是把課后材料“你知道嗎”有機整合到教學中，并補充羅馬歷與惜時教育，整個教學過程有效地促進了學生對數(shù)學知識的深刻理解，也使課堂更具有啟迪智慧與傳承文化的意蘊。

（二）另辟閱讀時空

看書閱讀，似乎與數(shù)學課八竿子打不著，但數(shù)學作為科學的皇后，她有著深厚的歷史背景、文化底蘊。課堂中進行拓展材料的閱讀只是微微打開一扇通往數(shù)學世界的窗口，而倡導課外閱讀，能讓學生真正在數(shù)學世界中遨游。

要開展數(shù)學閱讀，首先需要解決閱讀材料的問題。但教材中出現(xiàn)的閱讀材料次數(shù)可以說是屈指可數(shù)，因此可根據(jù)學生所處的年級段，訂閱相匹配的數(shù)學雜志或報紙，如《數(shù)學大王》《數(shù)學小靈通》《小學生數(shù)學報》等；也可向學生推薦數(shù)學的專著與書籍，如《小學生學好數(shù)學教材的新數(shù)學課資料大王》、張景中院士的《數(shù)學家的眼光》《幫你學數(shù)學》《新概念幾何》和李毓佩教授的《愛克斯探長》《荒島歷險》《奇妙的數(shù)王國》等等。有了閱讀材料，學生會自覺地、饒有趣味地利用課余時間進行閱讀。同時，結合閱讀開展一些展示活動，如展示自編的“數(shù)學小報”“數(shù)學剪貼本”，在每期黑板報中開辟數(shù)學專欄“我+數(shù)學=聰明”等，也可每一學期安排幾節(jié)數(shù)學閱讀課，組織學生進行專題閱讀和主題交流，使數(shù)學閱讀的資源更加豐富。

二、題組推進，拓展思維的廣度與深度

數(shù)學知識不是孤立存在的，這些課后材料往往是所學知識與能力的拓展與提升。倘若讓學生就題解題，那估計有多數(shù)學生找不到北，一部分學生雖能解答，但對“為什么這么做”還模模糊糊。如果教師能把握教材，善于利用觀察和聯(lián)想，引領學生從一個點生發(fā)出去，連點成線，那在整合的過程中，學生的思維將變得更加縝密與深刻。

（一）溝通聯(lián)系，拓展廣度

挖掘習題中隱含的思維價值，做到以一題帶出一片，盡可能讓練習價值得到最大化的發(fā)揮，使學生儲存在大腦中休眠的知識被激活，得到有效的融合。如五年級上冊“多邊形的面積”課后設計了這么一道題：

你能在一組平行線間畫出與△ABC面積相等的三角形嗎？

拿到這類題，學生首先想到的就是同底等高、等底等高的兩個三角形面積相等。這時，教師只要順勢引導，學生就不難想到的是圖1、圖2兩種。

這個時候，教師還可將習題中隱含的思維價值加以挖掘：“要是讓你畫一個形狀、大小相同的三角形，你有哪些方法可以做到？”這樣就打開了學生的思路。在教師的進一步引導下，學生還會想到利用學過的平移、對稱等知識來解決出現(xiàn)的新問題，這樣就打通了各知識點之間的通路。

（二）開放改編，拓展深度

拓展題往往帶有一定開放性，如果把其中的條件或問題稍加改編，便可改造出一組由易到難、由淺入深的習題，達到以點帶面、循序漸進地訓練學生思維的目的。如五年級下冊第37頁帶“﹡”的題。endprint

“如何把這個長方體木塊分成兩個棱長為4厘米的正方體？兩個棱長為4cm的正方體總表面積與這個長方體的表面積相等嗎？”

改編1：計算長方體的表面積與體積。

改編2：將“如何把這個長方體木塊分成兩個棱長為4厘米的正方體”改為“切一刀，把這個長方體分成兩個完全相同的小長方體，有幾種切法？哪種切法表面積增加得最多，是多少”。

改編3：將教材中把長方體木塊分成兩個完全相同的正方體，求表面積增加了多少，改編成“兩個完全相同的正方體拼成一個長方體，表面積有什么變化”，這樣一正一反、一增一減，學生的發(fā)散性思維得到了很好的鍛煉。

改編4：如果在這個長方體木塊上挖去一個小正方體，表面積會有什么變化？

改編5：至少要拿幾塊這樣的長方體才能拼成一個較大的正方體？

像這樣，將一道題經過改造帶出了一組題。并且這組題，不同思維層次的學生均能找到屬于他的那片天空，通過層層演練，思維被誘向縱深地帶。

三、深度挖掘，滲透數(shù)學的思想與方法

思考題往往蘊含豐富的數(shù)學思想、方法和解題技巧，其核心價值在于引發(fā)學生的數(shù)學思考，提升學生的數(shù)學思維水平。實際教學中，往往需要教師“借題發(fā)揮”，巧妙改編，適度引申，開啟學生的思考之門，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

如人教版新教材一年級上冊有這樣一道思考題：在○里分別填上3、4、5、6、7，使每條線上的三個數(shù)相加都得12。

師：對呀！因為三角形每個頂點上的數(shù)都要用到兩次，因此，填數(shù)時先確定三個角上的數(shù)就比較方便。

師：剛才，同學們都很棒，闖過了第一關，現(xiàn)在到了第二關：如果每條線上的三個數(shù)相加和是13，你會填嗎？

因為有了剛剛的經驗，學生也知道先確定頂點上的三個數(shù)，邊上的數(shù)再進行微調，不久就得出了答案。

師：要是不固定2的位置，只要每條線上的三個數(shù)相加和都相等，你還能想出幾種辦法？你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學生經過嘗試、討論、交流、觀察、概括等過程，發(fā)現(xiàn)三個頂點上的數(shù)無非有這么幾種情況：一是放開頭或結尾的三個數(shù)，即2、3、4或5、6、7；二是三個連續(xù)的雙數(shù)或單數(shù)，即2、4、6或3、5、7。每條線中間的那個數(shù)需要根據(jù)頂點上那兩個數(shù)來放，如果頂點上的數(shù)是兩個比較小的，那中間就放剩下數(shù)中最大的那一個；頂點上兩個數(shù)比較大的就放剩下數(shù)中最小的那一個。

一開始，因為數(shù)據(jù)較小，加上又是教材中的題，學生可能事先就已經進行過多次嘗試，所以基本上都能得出正確答案?？墒呛枚鄬W生基本上處于湊數(shù)的階段，他們在不斷的失敗中方才獲得成功。除了訓練了學生的計算能力外，思維層面還沒有得到很好的鍛煉。隨著問題的一個個推進，學生靠湊數(shù)已經很難解決問題，必須尋找題目中隱含的規(guī)律。最終，在學生建立了模型后，教師再提出“把3～8分別填入……”這樣的練習，從而進一步鞏固剛剛建立的模型思想。像這樣，將函數(shù)、模型、推理等思想融入習題中，學生從簡單的數(shù)學問題中探索出一般數(shù)學規(guī)律和方法，習題的價值將更加彰顯，學生的思維水平將得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悅。

總之，教材中的每一個拓展材料的安排都有一定的目的和意圖。只要教師多思考它對豐富學生的情感、提升學生思維、促進學生發(fā)展的價值，在教學中根據(jù)材料特點和內容靈活處置，再通過一定的教學手段，就使課后材料中的隱性內容顯性化，嵌入到學生的認知體系中，真正為學生所領悟。

（浙江省臨海市汛橋鎮(zhèn)中心校 317024）endprint

“如何把這個長方體木塊分成兩個棱長為4厘米的正方體？兩個棱長為4cm的正方體總表面積與這個長方體的表面積相等嗎？”

改編1：計算長方體的表面積與體積。

改編2：將“如何把這個長方體木塊分成兩個棱長為4厘米的正方體”改為“切一刀，把這個長方體分成兩個完全相同的小長方體，有幾種切法？哪種切法表面積增加得最多，是多少”。

改編3：將教材中把長方體木塊分成兩個完全相同的正方體，求表面積增加了多少，改編成“兩個完全相同的正方體拼成一個長方體，表面積有什么變化”，這樣一正一反、一增一減，學生的發(fā)散性思維得到了很好的鍛煉。

改編4：如果在這個長方體木塊上挖去一個小正方體，表面積會有什么變化？

改編5：至少要拿幾塊這樣的長方體才能拼成一個較大的正方體？

像這樣，將一道題經過改造帶出了一組題。并且這組題，不同思維層次的學生均能找到屬于他的那片天空，通過層層演練，思維被誘向縱深地帶。

三、深度挖掘，滲透數(shù)學的思想與方法

思考題往往蘊含豐富的數(shù)學思想、方法和解題技巧，其核心價值在于引發(fā)學生的數(shù)學思考，提升學生的數(shù)學思維水平。實際教學中，往往需要教師“借題發(fā)揮”，巧妙改編，適度引申，開啟學生的思考之門，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

如人教版新教材一年級上冊有這樣一道思考題：在○里分別填上3、4、5、6、7，使每條線上的三個數(shù)相加都得12。

師：對呀！因為三角形每個頂點上的數(shù)都要用到兩次，因此，填數(shù)時先確定三個角上的數(shù)就比較方便。

師：剛才，同學們都很棒，闖過了第一關，現(xiàn)在到了第二關：如果每條線上的三個數(shù)相加和是13，你會填嗎？

因為有了剛剛的經驗，學生也知道先確定頂點上的三個數(shù)，邊上的數(shù)再進行微調，不久就得出了答案。

師：要是不固定2的位置，只要每條線上的三個數(shù)相加和都相等，你還能想出幾種辦法？你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學生經過嘗試、討論、交流、觀察、概括等過程，發(fā)現(xiàn)三個頂點上的數(shù)無非有這么幾種情況：一是放開頭或結尾的三個數(shù)，即2、3、4或5、6、7；二是三個連續(xù)的雙數(shù)或單數(shù)，即2、4、6或3、5、7。每條線中間的那個數(shù)需要根據(jù)頂點上那兩個數(shù)來放，如果頂點上的數(shù)是兩個比較小的，那中間就放剩下數(shù)中最大的那一個；頂點上兩個數(shù)比較大的就放剩下數(shù)中最小的那一個。

一開始，因為數(shù)據(jù)較小，加上又是教材中的題，學生可能事先就已經進行過多次嘗試，所以基本上都能得出正確答案?？墒呛枚鄬W生基本上處于湊數(shù)的階段，他們在不斷的失敗中方才獲得成功。除了訓練了學生的計算能力外，思維層面還沒有得到很好的鍛煉。隨著問題的一個個推進，學生靠湊數(shù)已經很難解決問題，必須尋找題目中隱含的規(guī)律。最終，在學生建立了模型后，教師再提出“把3～8分別填入……”這樣的練習，從而進一步鞏固剛剛建立的模型思想。像這樣，將函數(shù)、模型、推理等思想融入習題中，學生從簡單的數(shù)學問題中探索出一般數(shù)學規(guī)律和方法，習題的價值將更加彰顯，學生的思維水平將得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悅。

總之，教材中的每一個拓展材料的安排都有一定的目的和意圖。只要教師多思考它對豐富學生的情感、提升學生思維、促進學生發(fā)展的價值，在教學中根據(jù)材料特點和內容靈活處置，再通過一定的教學手段，就使課后材料中的隱性內容顯性化，嵌入到學生的認知體系中，真正為學生所領悟。

（浙江省臨海市汛橋鎮(zhèn)中心校 317024）endprint

“如何把這個長方體木塊分成兩個棱長為4厘米的正方體？兩個棱長為4cm的正方體總表面積與這個長方體的表面積相等嗎？”

改編1：計算長方體的表面積與體積。

改編2：將“如何把這個長方體木塊分成兩個棱長為4厘米的正方體”改為“切一刀，把這個長方體分成兩個完全相同的小長方體，有幾種切法？哪種切法表面積增加得最多，是多少”。

改編3：將教材中把長方體木塊分成兩個完全相同的正方體，求表面積增加了多少，改編成“兩個完全相同的正方體拼成一個長方體，表面積有什么變化”，這樣一正一反、一增一減，學生的發(fā)散性思維得到了很好的鍛煉。

改編4：如果在這個長方體木塊上挖去一個小正方體，表面積會有什么變化？

改編5：至少要拿幾塊這樣的長方體才能拼成一個較大的正方體？

像這樣，將一道題經過改造帶出了一組題。并且這組題，不同思維層次的學生均能找到屬于他的那片天空，通過層層演練，思維被誘向縱深地帶。

三、深度挖掘，滲透數(shù)學的思想與方法

思考題往往蘊含豐富的數(shù)學思想、方法和解題技巧，其核心價值在于引發(fā)學生的數(shù)學思考，提升學生的數(shù)學思維水平。實際教學中，往往需要教師“借題發(fā)揮”，巧妙改編，適度引申，開啟學生的思考之門，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

如人教版新教材一年級上冊有這樣一道思考題：在○里分別填上3、4、5、6、7，使每條線上的三個數(shù)相加都得12。

師：對呀！因為三角形每個頂點上的數(shù)都要用到兩次，因此，填數(shù)時先確定三個角上的數(shù)就比較方便。

師：剛才，同學們都很棒，闖過了第一關，現(xiàn)在到了第二關：如果每條線上的三個數(shù)相加和是13，你會填嗎？

因為有了剛剛的經驗，學生也知道先確定頂點上的三個數(shù)，邊上的數(shù)再進行微調，不久就得出了答案。

師：要是不固定2的位置，只要每條線上的三個數(shù)相加和都相等，你還能想出幾種辦法？你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學生經過嘗試、討論、交流、觀察、概括等過程，發(fā)現(xiàn)三個頂點上的數(shù)無非有這么幾種情況：一是放開頭或結尾的三個數(shù)，即2、3、4或5、6、7；二是三個連續(xù)的雙數(shù)或單數(shù)，即2、4、6或3、5、7。每條線中間的那個數(shù)需要根據(jù)頂點上那兩個數(shù)來放，如果頂點上的數(shù)是兩個比較小的，那中間就放剩下數(shù)中最大的那一個；頂點上兩個數(shù)比較大的就放剩下數(shù)中最小的那一個。

一開始，因為數(shù)據(jù)較小，加上又是教材中的題，學生可能事先就已經進行過多次嘗試，所以基本上都能得出正確答案。可是好多學生基本上處于湊數(shù)的階段，他們在不斷的失敗中方才獲得成功。除了訓練了學生的計算能力外，思維層面還沒有得到很好的鍛煉。隨著問題的一個個推進，學生靠湊數(shù)已經很難解決問題，必須尋找題目中隱含的規(guī)律。最終，在學生建立了模型后，教師再提出“把3～8分別填入……”這樣的練習，從而進一步鞏固剛剛建立的模型思想。像這樣，將函數(shù)、模型、推理等思想融入習題中，學生從簡單的數(shù)學問題中探索出一般數(shù)學規(guī)律和方法，習題的價值將更加彰顯，學生的思維水平將得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悅。

總之，教材中的每一個拓展材料的安排都有一定的目的和意圖。只要教師多思考它對豐富學生的情感、提升學生思維、促進學生發(fā)展的價值，在教學中根據(jù)材料特點和內容靈活處置，再通過一定的教學手段，就使課后材料中的隱性內容顯性化，嵌入到學生的認知體系中，真正為學生所領悟。

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