基于馬爾科夫模型的線路OD矩陣的研究＊

呂衛(wèi)東

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

所謂公交線路OD矩陣，是指乘客從出發(fā)地（Origin）到目的地（Destination）的出行矩陣.OD矩陣提供了流動(dòng)的車輛或人流從一個(gè)特定區(qū)域到另一個(gè)區(qū)域的基本信息，它在交通及交通運(yùn)輸管理上發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，是進(jìn)行交通流量分配的前提.而獲取OD出行分布矩陣是一項(xiàng)十分復(fù)雜而艱巨的工作.如何經(jīng)濟(jì)有效地獲取可以用于交通管理和控制的OD矩陣是近年來國(guó)內(nèi)外研究的一個(gè)熱點(diǎn)課題.傳統(tǒng)的OD矩陣的獲取是通過大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于交通量數(shù)據(jù)十分龐大，這項(xiàng)工作即使是作抽樣調(diào)查，也將耗費(fèi)大量的人力、物力、財(cái)力以及時(shí)間，而且所取得的數(shù)據(jù)精度難以保證，數(shù)據(jù)更新時(shí)間也長(zhǎng).目前利用已觀測(cè)到的路段交通量和一些先驗(yàn)信息（如歷史的OD矩陣）來估計(jì)未知的OD矩陣是一種效率高、周期短的OD矩陣獲取技術(shù).這方面的研究成果［1－6］主要有：以最大熵為原理的最大熵（ME）模型；以最小二乘為原理的最小二乘（GLS）模型；以最小信息量為基礎(chǔ)的最小信息量（IM）模型；以極大似然原理為基礎(chǔ)的極大似然（ML）模型；基于隨機(jī)模擬的遺傳算法模型等.

采用馬爾科夫模型來估計(jì)線路OD矩陣［7］的優(yōu)點(diǎn)是，在計(jì)算時(shí)需要估計(jì)的參數(shù)較少。這樣就使得該計(jì)算方法較為高效，計(jì)算方法簡(jiǎn)單，易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).并可證明，用這種方法估計(jì)出的數(shù)據(jù)與極大熵模型得出的結(jié)論是相近的.

1 基于馬爾科夫模型的線路OD矩陣的計(jì)算

考慮一條設(shè)有N個(gè)站點(diǎn)的公交線路運(yùn)送乘客上下車，在假設(shè)調(diào)查已知旅客在各站上下車的人數(shù)情況下，計(jì)算出在第i站上車第j站下車（j＞i）的乘客數(shù)量.

1.1 乘客的數(shù)量

設(shè)yi是在第i站上車的乘客的數(shù)量（i＝1，…，N），設(shè)zj是在第j站下車的乘客的數(shù)量（j＝1，…，N）.并設(shè)在第N站沒有乘客上車，即yN＝0；在第1站沒有乘客下車，即z1＝0.定義xij是需要計(jì)算的在第i站上車在第j站下車（i，j＝1，2，…，N）的乘客數(shù)量.

圖1給出了這種公交線路的圖示.

圖1 公交線路Fig.1 Bus lines

由此，容易得出如下結(jié)論［4］

1.2 馬爾科夫模型

以下通過馬爾科夫模型來估計(jì)未知的上下車概率矩陣P＝ （pij）N×N.為了利用馬爾科夫模型的無后性計(jì)算出矩陣P，因此在這里一名乘客在第i－1站上車在第i站下車的概率就是至關(guān)重要的.一旦上下車的概率矩陣P被估計(jì)出來，就可以計(jì)算出所需的OD矩陣X＝ （xij）N×N.這種方法的優(yōu)點(diǎn)就在于，計(jì)算上下車概率矩陣P只需要知道在各站上車和下車的乘客數(shù)，而這樣的數(shù)據(jù)是容易獲得的.

馬爾科夫模型是指某一變量將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān).其中將來、過去和現(xiàn)在的狀態(tài)彼此相互獨(dú)立.在馬爾科夫模型中，轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算是最為重要的.假設(shè)ξi是一個(gè)隨機(jī)變量，代表一名乘客在第i站的狀態(tài).在第i站當(dāng)乘客在車上時(shí)，記作ξi＝1，否則記作ξi＝0.

馬爾科夫模型中的馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率作如下的定義：

其中qi為一名乘客在第i－1站上車在第i站下車的概率.顯然qN＝0，由馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算原理，乘客上下車的概率矩陣P＝（pij），可由如下方法計(jì)算得出.

首先，在第1站，根據(jù)定義有p12＝q2，根據(jù)馬爾科夫模型的性質(zhì)，有

以此類推，在第i站（i＝1，…，N－1），有

一旦上下車的概率矩陣被計(jì)算出來，就可以按照如下公式計(jì)算出公交線路上從第i站上車到第j站下車的乘客數(shù)：

當(dāng)i≥j時(shí)ij＝0.

為了計(jì)算pij，首先需要計(jì)算出qj的值.以下采用極大似然估計(jì)的方法估計(jì)qj的值.車輛在第j站時(shí)乘客的總數(shù)為

所以在第j站下車的乘客數(shù)zj應(yīng)遵循二項(xiàng)分布，由極大似然估計(jì)得出的qj的值

由下式給出：

2 結(jié)束語

線路OD矩陣的調(diào)查需要耗費(fèi)大量的人力、物力、財(cái)力，利用可以獲得的數(shù)據(jù)致力于OD矩陣的研究是國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的研究領(lǐng)域.本文利用調(diào)查上下車乘客的人數(shù)，根據(jù)馬爾可夫模型給出了一種推算OD矩陣的方法.采用本文推算方法對(duì)當(dāng)?shù)毓痪€路進(jìn)行調(diào)查，得到了完整可行的OD矩陣.說明本文的推算方法是可行的.

［1］ 竇慧麗，劉好德，楊曉光.基于站點(diǎn)上下客人數(shù)的公交客流OD反推方法研究［J］.交通與計(jì)算機(jī)，2007，25（2）：79－82.

［2］ 段新宇，繆立新，江見鯨.由路段交通流量反估出行OD矩陣技術(shù)的應(yīng)用［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，40（6）：123－126.

［3］ 夏志浩，王勝奎.用公交車站上下客數(shù)推算公交OD分布的方法［J］.四川聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：工程科學(xué)版，1997，1（2）：42－48.

［4］ 王濟(jì)儒，查偉雄，李劍.由車站上下車客流量估計(jì)鐵路OD矩陣［J］.交通運(yùn)輸工程與信息學(xué)報(bào)，2004，2（4）：23－27.

［5］ 林勇，蔡遠(yuǎn)利，黃永宣.基于廣義最小二乘模型的動(dòng)態(tài)交通OD矩陣估計(jì)［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2004（1）：136－140.

［6］ 周和平，晏克非，胡列格.基于隨機(jī)模擬的遺傳算法在OD反推中的應(yīng)用研究［J］.系統(tǒng)工程，2003，21（4）：114－118.

［7］ CREMER M，KELLER H.A new class of dynamic methods for the identification of origin－destination flows［J］.Transportation Research Part B：Methodological，1987，21（2）：117－132.