顏瑞生

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題.歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.

高三二輪復(fù)習(xí)課應(yīng)立足數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行展開，讓學(xué)生感受充滿數(shù)學(xué)思想方法的課堂.因?yàn)閿?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的精髓所在，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提升的最終層次.數(shù)學(xué)思想方法主要有：函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，而數(shù)形結(jié)合思想又是初等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，更是難點(diǎn).在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)如何滲透這些思想？下面以一課例進(jìn)行分析.

首先執(zhí)教者給出歷年高考中三角函數(shù)的位置和三角函數(shù)題型有三類：①三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；②三角函數(shù)的化簡與求值；③解三角形.并給出有關(guān)高考題進(jìn)行講練結(jié)合，效果和氛圍都很好，最后總結(jié)出三角函數(shù)中的易錯(cuò)點(diǎn)：①公式應(yīng)用（誘導(dǎo)公式、輔助角、邊角互化）.②齊次化切、配角拆角等技巧.③多解問題：角的范圍的縮小；充分挖掘已知中的隱含條件；三角形中，邊大角大正弦大；銳角三角形三個(gè)角都是銳角；注意消元前后變量之間的相互制約關(guān)系；合理選擇三角函數(shù)，利用好其單調(diào)性.

課上得非常好，知識點(diǎn)總結(jié)得也很全，就像打牌一樣一輪復(fù)習(xí)就是一個(gè)“全”即熟悉出牌的游戲規(guī)則，二輪就要總結(jié)重視出牌技巧.但是這也感覺像一輪復(fù)習(xí)過程中的總結(jié)課，似乎還缺少些什么，正如打牌打到精除了有出牌先后技巧，還要有全局的意識，更重要的還要適當(dāng)?shù)赜洃?數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的精髓所在.在我們的教學(xué)中，我們力求讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想，那么怎樣讓學(xué)生更強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)思想呢？這一節(jié)課上，學(xué)生經(jīng)歷了一題多解和遇到困惑等情況，筆者覺得此時(shí)加以比較，及時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，可能會(huì)做到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的效果.

片段1：

例1 （2011蘇州三模15改編）如圖，以O(shè)x為始邊作角α，β（0<β<α<π），它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P，Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為 - 3 5 ， 4 5 ，若OP ·OQ =0，則sin（α+β）= .

教師展示了一名學(xué)生的解題過程：

生1：設(shè)Q（x，y），則 x2+y2=1，- 3 5 x+ 4 5 y=0， 解得 x= 4 5 ，y= 3 5 ， 所以Q 4 5 ， 3 5 .

則sinβ= 3 5 ，cosβ= 4 5 .又sinα= 4 5 ，cosα=- 3 5 ，

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= 4 5 × 4 5 + - 3 5 × 3 5 = 7 25 .

在展示完生1的解答過程后，老師詢問是否還有其他解答過程.此時(shí)生2給出了第二種解答方法.

生2：因?yàn)镺P ·OQ =0，所以∠POQ= π 2 ，即α-β= π 2 ，

則sin（α+β）=sin 2α- π 2 =-cos2α=-（2cos2α-1）= 7 25 .

在展示完這兩種方法后，就進(jìn)入了下一題的訓(xùn)練.筆者認(rèn)為此處對這兩種方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^，指出其中所用的數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)讓學(xué)生更好地感受到數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值所在.

在給出兩種方法后，學(xué)生肯定感覺生2的方法簡潔，此時(shí)教師指出生2的解答過程中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想和化歸思想.運(yùn)用函數(shù)思想，求sin（α+β）的值可以看成研究函數(shù)y=sin（α+β），而此函數(shù)含有兩個(gè)自變量，而我們只會(huì)研究一個(gè)自變量的函數(shù)，所以必須進(jìn)行消元化歸為一個(gè)自變量.由此可以發(fā)現(xiàn)需要尋找兩個(gè)元α，β的相互關(guān)系，結(jié)合條件向量數(shù)量積與向量圖形的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合得出α-β= π 2 .至此學(xué)生就會(huì)感受到在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)解題會(huì)更簡潔.

片段2：

例2 （2013重慶9改編）4cos50°-tan40°= .

本題學(xué)生均化簡到 2sin80°-sin40° cos40° ，接下來大部分學(xué)生就不知道該怎么辦.有一名學(xué)生給出了自己的解答：

生3：

2sin80°-sin40° cos40° = 2cos10°-sin40° cos40° = 2cos10°-sin（30°+10°） cos（30°+10°） = 3 2 cos10°- 3 2 sin10° 3 2 cos10°- 1 2 sin10° = 3 .

在學(xué)生的驚嘆聲中，此題講解也就結(jié)束了.此時(shí)，生3也只是知道了一種解題方式，并不明白這種方法的本質(zhì)，其余學(xué)生就更是如此了.

如果在生3的解答過程展示結(jié)束后，讓學(xué)生去分析下生3采用了什么處理方式解決了這個(gè)難點(diǎn)，那么學(xué)生肯定很有積極性，并且在發(fā)現(xiàn)的過程中會(huì)提升思維的品質(zhì).生3的解答過程中，體現(xiàn)了消元的思想，在式子 2cos10°-sin40° cos40° 中主要涉及兩個(gè)元：10°和40°，不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)元之間滿足關(guān)系：40°-10°=30°，由此消去一元即可.在此分析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生簡化生3的簡答過程，會(huì)出現(xiàn)以下方法：（1）由40°-10°=30°得10°=40°-30°，消去10°，計(jì)算明顯減少；（2）直接由式子 2sin80°-sin40° cos40° 中的兩元80°和40°，由80°+40°=120°消去一元80°即可得到結(jié)果.在這個(gè)過程中，學(xué)生明白了方法的本質(zhì)，通過運(yùn)用，體會(huì)了數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，真正意義上地提高了能力.

隨后筆者讓學(xué)生證明三角形中大邊對大角，學(xué)生說A

其實(shí)整個(gè)三角乃至整塊數(shù)學(xué)都貫穿著函數(shù)思想，如下簡圖：

查閱必修一介紹了映射和函數(shù)的概念，對于多對一函數(shù)只研究了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于周期性和單調(diào)性沒有過多的強(qiáng)調(diào)，到必修四先定義了三角函數(shù)概念，研究其函數(shù)圖像和性質(zhì)再解三角形研究其難點(diǎn)多解問題.教材這樣安排可見三角函數(shù)二輪中點(diǎn)睛之筆應(yīng)該是函數(shù)與方程思想，那么三角問題從全局出發(fā)基本可以化歸成函數(shù)問題，或者多個(gè)小函數(shù)問題，需要記憶的就是三角化同角同名、正余弦邊角互化等公式的熟練（本質(zhì)也是函數(shù)中的消元思想），接下來就是研究定義域問題，這一問題往往是解題的關(guān)鍵，縮小角的范圍或者求出確切的定義域才是解題重心，這其中包含函數(shù)中的多個(gè)技巧，如：①換元消元時(shí)的范圍；②條件中范圍可能在構(gòu)造函數(shù)求出值域?yàn)榇蠛瘮?shù)的定義域；③三角形ABC中的關(guān)系等；④角與值的正負(fù)對應(yīng)關(guān)系.最后就是利用函數(shù)圖像研究其值或值域.其實(shí)縱觀高中數(shù)學(xué)最終研究的都是值與范圍問題，遇到值與范圍問題一般轉(zhuǎn)化成：

處理最值與取值范圍問題需要建立模型（函數(shù)、不等式、代數(shù)式、方程）外還需要變量處理，特別是多個(gè)變量參與時(shí)，這類問題往往是同學(xué)們出現(xiàn)較大分差的地方，即優(yōu)秀與普通的分界點(diǎn).對于這類問題的處理手段，通常是：①通過消元、換元轉(zhuǎn)化成函數(shù)求值域；②對于含有多變量且多個(gè)等號（兩個(gè)以上）可以利用線性規(guī)劃；③消元、換元利用基本不等式；④利用代數(shù)方法較難入手的可以考慮數(shù)形結(jié)合如建系、代數(shù)式的幾何意義等.

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論，既分析其幾何意義，又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化，第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)學(xué)結(jié)合的應(yīng)用往往伴隨著化歸思想即等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的產(chǎn)生，使數(shù)和形之間達(dá)到轉(zhuǎn)化.在二輪復(fù)習(xí)中應(yīng)滲透這樣的函數(shù)思想形成通法.古語有云：授之以魚，只供一飯之需；授之以漁，則一生受用.