游仁道

摘 要：高考是學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)上演的一曲“對”“錯”交響曲、一場“快”“慢”競技賽. 為了“又對有快”，乃至“對快好省”地贏得這場比賽，高考前要歷經(jīng)多次的模擬練習(xí)，以減少考場上的失誤.每次模擬練習(xí)后又要進(jìn)行認(rèn)真的試卷評講，評講的方法多種多樣. 本文結(jié)合一些具體例子，就高考數(shù)學(xué)模擬練習(xí)題的評講方法做一些探究.

關(guān)鍵詞：模擬；練習(xí)；評講方法

[?] 審題評講

審題評講一般包括兩方面的內(nèi)容：審題審什么？怎么審？

審題審什么？主要有下列三個要點：（1）弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何？（2）弄清題目的結(jié)論是什么，一共有幾個，其數(shù)學(xué)含義如何？（3）弄清題目和結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)？

審題怎么審？主要可以分為下列四個步驟：（1）讀題——弄清字面含義；（2）理解——弄清數(shù)學(xué)含義；（3）表征——識別題目類型；（4）深化——接近深層結(jié)構(gòu).

例1 （2011年高考數(shù)學(xué)重慶文科卷）若實數(shù)a，b，c滿足2a+2b=2a+b（*），2a+2b+2c=2a+b+c（**），則c的最大值是______.

分析：問1：條件是什么？一共有幾個？其數(shù)學(xué)含義如何？

答：條件是兩個等式，等式（*）含a，b；等式（**）含a，b，c.

問2：結(jié)論是什么？一共有幾個？其數(shù)學(xué)含義如何？

答：結(jié)論是求c的最大值；它可以是c的不等式，或是函數(shù)的最值.

問3：條件和結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系？是一種什么樣的結(jié)構(gòu)？

答：通過理解條件和結(jié)論，我們的腦子呈現(xiàn)這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：等式（**）提供關(guān)于c的表達(dá)式，再結(jié)合條件（*），求出c的最大值.

明確了上面的三個問題后，易得本題的解題策略：（1）解題方向——化歸為函數(shù)求最值；（2）解題方法——求出函數(shù)的表達(dá)式和定義域，然后用不等式法或求導(dǎo)法求最值；（3）解題操作——由2a+b=2a+2b≥2·=2+1，得a+b≥2. 由題設(shè)2c==1+≤1+=，所以c≤log2=2-log23.

[?] 鑒錯評講

解題中的“對”往往出奇的相似，而解題中的“錯”卻各有各的不同，若模擬練習(xí)時出現(xiàn)一定數(shù)量“同樣的錯”，則不容教師小覷，因為其背后可能潛伏著學(xué)生“思維的某種錯誤的默契”.

例2 已知函數(shù)f（x）=x2+1，x≥0，

1，x<0，則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的取值范圍是______.

這是某次模擬練習(xí)中的一道題，在筆者任教的班級中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生得出了 0≤x≤-1的錯誤答案，這不免引起了筆者的警覺. 如何揭示和剖析隱藏在錯誤背后的真正原因呢？“解鈴還需系鈴人”，筆者采用讓學(xué)生“鑒賞錯解”的方法，收到了意想不到的效果. 以下是情境回放：

教師：這次考試學(xué)生1、學(xué)生2取得了好成績，下面讓我們一起“鑒賞”他們對這道題的解答，現(xiàn)在請兩位同學(xué)上臺板演.

學(xué)生1：先畫出函數(shù)草圖（圖略），由圖象知當(dāng)x≥0時，f（x）單調(diào)遞增，所以要使f（1-x2）>f（2x）成立，必須1-x2>2x≥0，解得0≤x<-1.

學(xué)生2：分段討論，當(dāng)x≥0時，1-x2>2x≥0，得0≤x<-1；當(dāng)x<0時，f（x）=1，則f（1-x2）>f（2x）不成立，綜上，得0≤x<-1.

“一石激起千層浪”，看到他們得出“相同的答案”，與之答案相同的學(xué)生不禁喜笑顏開（以為自己也答對了），但教室內(nèi)出現(xiàn)更多不敢茍同的聲音，課堂內(nèi)氣氛立刻活躍起來. 在學(xué)生“共同鑒賞、自發(fā)討論、深入思考、合作交流、同伴互助”中，大家很自然地找到了錯誤答案的癥結(jié)所在. 原來學(xué)生1忽略了2x還可以小于零的情況；而學(xué)生2只按照分段函數(shù)的兩段討論，忽略了兩個數(shù)分別位居不同兩段的情況，還可以有1-x2>0，

2x<0，同時發(fā)現(xiàn)，本題雖是“分段函數(shù)問題”，卻無需分類討論求解，直接由1-x2>2x，

1-x2>0就可以得出正確答案為-1

[?] 書寫評講

克服解題中出現(xiàn)的“會而不對、對而不全”的現(xiàn)象是提高得分的有效手段. 有人建議把數(shù)學(xué)解答題的解題過程寫成詩行短語形式，筆者認(rèn)為這不失為一種好方法.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）求f（x）在區(qū)間

-，

上的最大值和最小值.

本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，涉及兩個考點：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值. 本題滿分13分，第1問6分，第2問7分. 13分的意思是答案細(xì)分之后，原則上有13個得分點. 13個得分點對應(yīng)著答案分解后的13個要點，這13個要點就是本題的13個答點.

答點分析：易得f（x）的定義域為

-，+∞；（答點1）

f ′（x）=+2x==；（答點2）

令f ′（x）=0，得x1=-1，x2=-；（答點3）

當(dāng)-0，函數(shù)遞增；（答點4）

當(dāng)-1

當(dāng)x>-時，f ′（x）>0. （補充說明）

因此，f（x）分別在區(qū)間

-，-1與

-，+∞上單調(diào)遞增，在區(qū)間-1，

-上單調(diào)遞減. （答點6）

在閱卷現(xiàn)場，閱卷人的實際操作是：拿著（幾個）答點在考生的答案上先找相關(guān)的句段，在相關(guān)的句段中，目光聚焦在“把關(guān)”的數(shù)字、符號和結(jié)論上.

為了使閱卷人能迅速清楚地看到答點，建議數(shù)學(xué)答案的行文寫成“詩行短語”，不要寫成大塊的“散文段落”.

“詩行短語”容易顯示“答點”，而“散文大段”容易“淹沒”答點.

如果一行短語含一個“答點”，閱卷人能一眼看清他所關(guān)心的幾個“答點”是否到位，這時，你的短語行數(shù)就是他應(yīng)該給你的分?jǐn)?shù).

詩行短語需要錘煉. 這雖然應(yīng)該是長期養(yǎng)成的良好習(xí)慣，但是由于學(xué)生重視程度不夠、邏輯知識有限等，成為現(xiàn)在急需解決的問題. 筆者認(rèn)為只要評講到位，模擬練習(xí)階段糾正也是有效的. 筆者的做法是，將學(xué)生的典型答案通過實物投影放在大屏幕上，由學(xué)生點評，然后再梳理自己的答案或者像語文教師講評作文一樣，學(xué)生互評，效果也很好.

[?] 流程評講

數(shù)學(xué)解題的基本模式是“觀察——聯(lián)想——變換”，只要我們善于逐句解讀，翻譯轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)求解的過程便是一個不斷的觀察、聯(lián)想、變換的和諧、流暢的過程，一旦明白了這一流程，那么數(shù)學(xué)解題便恰似山澗清泉，叮叮咚咚，自然流淌，流向遠(yuǎn)方，顯得那么輕松而自如.

例4 若直線+=1通過點M（cosα，sinα），則（ ）

A. a2+b2≤1 B. a2+b2≥1

C. +≤1 D. +≥1

這是一道選擇題，當(dāng)然可以用“特殊值法”排除求解. 現(xiàn)在我們用求解的方式來直接推算結(jié)論，發(fā)現(xiàn)其過程是那樣的自然與流暢.

流程1：由已知得+=1，即cosα+sinα=1. 于是自然“聯(lián)想”到三角函數(shù)中的輔助角公式，有·sin（α+β）=1?

sin（α+β）

=≤1?+≥1，非常自然而順利地尋找到答案D.

流程2：由cos2α+sin2α=1，知點M（cosα，sinα）在單位圓x2+y2=1上，則直線+=1與單位圓x2+y2=1有公共點，于是自然聯(lián)想到“圓與直線的位置關(guān)系”中的有關(guān)重要性質(zhì)與結(jié)論，知道圓心O（0，0）到直線的距離不大于圓的半徑，即有≤1?+≥1，也快速尋找到答案D.

流程3：觀察四個結(jié)論的右邊都是1，而已知條件右邊也是1，聯(lián)想到我們有“1的變換”技巧，最簡單的便是利用“1=1”進(jìn)行變換，于是又得到如下的求解過程：

聯(lián)想到柯西不等式，便有1=

+2≤（cos2α+sin2α）

+

=+，非常容易地尋找到答案D.

[?] 形質(zhì)評講

數(shù)學(xué)中有不少問題“形似質(zhì)異”，由于對題型“面熟”，學(xué)生在考試緊張的環(huán)境下，稍不注意就會發(fā)生混淆，從而造成解題失誤. 試卷評講時，如果能對這種“形似質(zhì)異”的題目進(jìn)行有效整合，通過對照、類比與辨析，不僅能強化學(xué)生的審題意識，而且能加深學(xué)生對問題中概念的理解，提高分析問題和解決問題的能力.

例5 高考模擬練習(xí)題改編

情形1：形似相似，本質(zhì)不同.

（1）已知A=

x

>1，x∈R

，B={x

y=}，則A∩B=______.

（2）已知A=

x

>1，x∈R

，B={y

y=}，則A∩B=______.

（3）已知A=

x

>1，x∈R

，B={（x，y）

y=}，則A∩B=______.

情形2：具有共性，個性不同

（1）在等比數(shù)列{an}中，a2=1，a8=9，則a5=________.

（2）等比數(shù)列{an}中，a2=1，a10=9，則a6=________.

情形3：細(xì)微差別，方法不同

（1）f（x）=x2-x+a，g（x）=x3-2x2+1，若任意x∈[-2，2]，都有f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍.

（2）f（x）=x2-x+a，g（x）=x3-2x2+1，若對任意的x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求a的取值范圍.

[?] 類比評講

著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人”. 數(shù)學(xué)中有些知識模塊是相近的，可謂“同類不同形”，如等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面幾何與立體幾何、圓與圓錐曲線，等等. 因此，在評講高考模擬練習(xí)題時，教師可以把某些題目進(jìn)行適度的類比.

例6 （2009年高考數(shù)學(xué)北京文科卷）設(shè)D是正△P1P2P3及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點P0是△P1P2P3的中心. 若集合S={P

P∈D，

PP0

≤

PPi

，i=1，2，3}，則集合S表示的平面區(qū)域是（ ）

A. 三角形區(qū)域 B. 四邊形區(qū)域

C. 五邊形區(qū)域 D. 六邊形區(qū)域

類比題：設(shè)D是棱長為1的正四面體P1P2P3P4及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點P0是正四面體P1P2P3P4的中心，若集合S={P

P∈D，

PP0

≤

PPi

，i=1，2，3}，則集合S表示的區(qū)域體積是________.

此題類比的主要策略是“升維”，即把原有的二維問題類比到三維問題，變“平面區(qū)域”為“空間區(qū)域”. 另外把解題要求從“定性”變?yōu)椤岸俊?，不僅要研究動點P的運動軌跡，而且還要計算該軌跡表示空間區(qū)域的體積.

[?] 拓展評講

在講評模擬練習(xí)題時，如果能把得分情況不太理想的試題通過拓展的方式編擬出一個新題，供學(xué)生訓(xùn)練，那么肯定會有利于提高講評質(zhì)量.

例7 （原題）（2003年高考數(shù)學(xué)江蘇卷）O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ

+，λ∈[0，+∞]，則點P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A. 外心 B. 內(nèi)心

C. 重心 D. 垂心

（新題）O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ

+，λ∈[0，+∞]，則點P的軌跡一定通過△ABC的 ________. （選填外心、內(nèi)心、重心、垂心）

原題側(cè)重考查平面向量的概念、加減法及共線定理，新題在原題的基礎(chǔ)上融合了三角形中的正弦定理，以熟悉的背景考查學(xué)生的思辨能力和探究能力.

總之，高考數(shù)學(xué)模擬練習(xí)題的評講方法多種多樣，沒有最好，只有更好，能發(fā)揮出好效果的，那就是好方法.