張俊

【摘要】在數(shù)學(xué)的天地里，證明和反例共同構(gòu)成了壯觀的數(shù)學(xué)大廈，作為問題另一方面的反例往往隨著命題的否定而被遺忘.在教學(xué)過程中，教師對反例作用重視不夠，教材中提到的也很少，其實(shí)反例同證明一樣，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有同樣重要作用.

【關(guān)鍵詞】反例；作用；數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)中的反例，是指命題的條件符合而結(jié)論不符合例子.在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，思維方式上我認(rèn)為反例同證明一樣重要.美國數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H.奧姆斯特德指出 ：“ 冒著過于簡單化的風(fēng)險，我們可以說數(shù)學(xué)由兩大類——證明與反例組成，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也是朝著兩個主要目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例.”

當(dāng)前，教師和學(xué)生對反例作用不夠重視，教材上關(guān)于反例的說明也較少，同學(xué)們大多不清楚反例的作用.其實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，一般用的思維方式是直接思維，而直接思維并不嚴(yán)密，所以直接思維下的猜想可能伴有差錯.此時，適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)反例，就可以修改學(xué)習(xí)過程中因猜想帶來的錯誤結(jié)論.教學(xué)過程中，克服思維定式的有效辦法可以通過反例，這樣學(xué)生的創(chuàng)造力和發(fā)散思維能力就能得到培養(yǎng).

一、反例有利于深刻理解概念

數(shù)學(xué)概念本身是抽象的，在引入概念后，還必須有一個去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及里的深化.需對概念作辯證分析，用不同的方式揭示概念的本質(zhì)屬性.通過列舉或構(gòu)造反例，往往能從反方面消除一些容易出現(xiàn)的錯誤認(rèn)識，把握概念的要素和本質(zhì).教育心理學(xué)家認(rèn)為：概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息.

例： 在學(xué)習(xí)過數(shù)列極限的ε-N定義后，可以提出：

若對任意的ε>0，存在 N>0，當(dāng)n>N時，{xn}中有無窮多項滿足：

|xn- A|<ε，是否有 limn→∞xn=A ？答案是否定的.

對數(shù)列極限概念，我們往往忽視“{xn}中所有項滿足|xn- A|<ε”這一條件，誤認(rèn)為“{xn}中有多項滿足：|xn- A|<ε就可以了”.對此，可舉反例如下：

設(shè)xn=1+（-1）n-1，則：

對任意的ε>0，有 |x2k-0|=0<ε.又因?yàn)?limk→∞x2k+1≠0.故該數(shù)列無極限.

二、反例有利于明確、牢記定理的應(yīng)用條件與范圍

數(shù)學(xué)中有許多定理結(jié)構(gòu)復(fù)雜，條件結(jié)論犬牙相制，我們理解起來有困難.而反例可以把定理中的條件結(jié)論之間的關(guān)系顯示清楚，也可說明定理正確的使用范圍，加深記憶.

例 在羅爾中值定理中，若[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足三條件中的任意兩個，試問：有沒有同樣的結(jié)論呢？

如 令f（x）=1-|x|，（-1≤x≤1）.

則f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上連續(xù)，且f（-1）=f（1）=0，即滿足定理條件的（Ⅰ）和（Ⅲ），還有對（-1，1）中除x=0外所有x，f′（x）存在且有限.

有f′（x）=-1，0

1，-1

然而，在（-1，1）中不存在ξ使f′（ξ）=0.

三、反例有助于激發(fā)學(xué)生的求知欲

在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中，對有些問題稍加變化，往往能引起大家的興趣.學(xué)生的積極思考討論和教師有效的引導(dǎo)，讓我們可以舉出許多反例，這些反例能讓學(xué)生的求知欲得到激發(fā).

例： 在學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則時，滿足洛必達(dá)法則是否一定能求出極限呢？

如： limx→∞ex+e-xex-e-x，在使用洛必達(dá)法則時，總是出現(xiàn)不定式且出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.這會引起學(xué)生的興趣，自動尋求新的方法.

易犯卻不易注意到的錯誤，往往讓我們有強(qiáng)烈的想了解“為什么”的愿望，從而激起我們求知的欲望.難怪前人會說：一個數(shù)學(xué)問題用反例予以解決給人的刺激猶如一出好的戲劇.

四、應(yīng)用反例可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)思維能力

實(shí)踐證明：教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用反例，可以幫助學(xué)生深入透徹理解和掌握所學(xué)知識，培養(yǎng)他們思維的發(fā)散性、靈活性、縝密性和創(chuàng)新性.經(jīng)過幾年數(shù)學(xué)教學(xué)，我覺得在反例的探索過程中，學(xué)生面對新的問題情景，能享受到創(chuàng)造的樂趣，從而能激發(fā)起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時地引進(jìn)一些簡明生動、擊中要害的反例或適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們鞏固和掌握定理、公式和法則，培養(yǎng)他們思維的靈活性、發(fā)散性、縝密性、深刻性、創(chuàng)新性和全面性.

【參考文獻(xiàn)】

[1] B R蓋爾鮑姆，J M H奧姆斯特德.分析中的反例.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983.

[2]易良斌.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視的幾個問題.教育科研論壇，2010.

[3]張鑫浩，盧蕊，華芳.反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用.鎮(zhèn)江教育學(xué)報，18（1）.