許 皓，孫燕紅，卞亦文

（1.安徽大學(xué)商學(xué)院，安徽合肥 230039；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院，安徽合肥 230026；3.上海大學(xué)悉尼工商學(xué)院，上海 201800）

基于主從博弈的兩部門(mén)并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)

許 皓1，孫燕紅2，卞亦文3

（1.安徽大學(xué)商學(xué)院，安徽合肥 230039；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院，安徽合肥 230026；3.上海大學(xué)悉尼工商學(xué)院，上海 201800）

本文研究了一類典型并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)問(wèn)題：（1）決策單元由兩個(gè)并行的子單元組成；（2）在整個(gè)系統(tǒng)中，某一子單元居于主導(dǎo)地位，另一子單元居于從屬地位；（3）兩個(gè)子單元之間存在部分共享的投入資源，且無(wú)法明顯區(qū)別該資源在不同子單元之間的分配比例。在分析決策單元整體效率及內(nèi)部子單元效率的基礎(chǔ)上，基于主從博弈思想，提出一種能同時(shí)確定系統(tǒng)整體效率及內(nèi)部子單元效率的評(píng)價(jià)方法，該方法能夠在評(píng)價(jià)系統(tǒng)效率的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)共享資源的有效分配。最后，采用一個(gè)實(shí)例分析說(shuō)明了所提方法的合理性和有效性。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）；主從博弈；并行系統(tǒng)；共享投入

1 引言

生產(chǎn)與服務(wù)系統(tǒng)往往呈現(xiàn)兩大共性：具有復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和多種投入/產(chǎn)出要素［1］；此外，系統(tǒng)中所有子系統(tǒng)往往共享某些公共資源。一種典型的系統(tǒng)是具有共享資源的兩部門(mén)（子系統(tǒng)）并行結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)或服務(wù)系統(tǒng)。例如，高校中的教學(xué)與科研兩大職能部門(mén)，為完成各自職能，都投入一定的專職教師和業(yè)務(wù)經(jīng)費(fèi)，且兩部門(mén)還共同使用一些共享的投入要素，如身兼兩職的教師和圖書(shū)館、實(shí)驗(yàn)室以及后勤服務(wù)人員等資源［2］；銀行的銷(xiāo)售與服務(wù)部門(mén)，除了各自人員、設(shè)備和經(jīng)費(fèi)外，也會(huì)使用公共的設(shè)備終端和服務(wù)支持人員等公共資源［3］。這類系統(tǒng)往往呈現(xiàn)一個(gè)顯著特征：某個(gè)部門(mén)優(yōu)于另一個(gè)部門(mén)而處于主導(dǎo)地位，如研究型高校的科研往往優(yōu)于教學(xué)而處于主導(dǎo)地位，教學(xué)型高校的教學(xué)則優(yōu)于科研而處于主導(dǎo)地位；銀行主要以銷(xiāo)售各種理財(cái)產(chǎn)品及放貸而獲取利潤(rùn)，因而銷(xiāo)售部門(mén)往往居于主導(dǎo)地位。因此，在這類系統(tǒng)中，居于主導(dǎo)地位的部門(mén)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行效率具有重要影響。低投入高產(chǎn)出的運(yùn)行效率是任何生產(chǎn)與服務(wù)系統(tǒng)追求的目標(biāo)，為分析這種具有共享投入的兩部門(mén)并行系統(tǒng)的效率，必須同時(shí)考慮各部門(mén)自身的投入/產(chǎn)出要素、部門(mén)共享資源（投入）以及部門(mén)之間的關(guān)系。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是一種評(píng)價(jià)具有多投入多產(chǎn)出系統(tǒng)效率的重要方法。在現(xiàn)有的DEA文獻(xiàn)中，有眾多關(guān)于并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)方法，這些方法主要分為三類：網(wǎng)絡(luò)DEA方法［4-7］、多部門(mén)DEA方法［3，8-12］和關(guān)聯(lián)DEA方法［13-15］。網(wǎng)絡(luò)DEA方法假定各子單元獨(dú)立運(yùn)行，且效率評(píng)價(jià)時(shí)各子單元擁有自身的一組投入/產(chǎn)出權(quán)重；多部門(mén)DEA方法假定系統(tǒng)效率是各子單元效率的加權(quán)組合，并假定各子系統(tǒng)的投入/產(chǎn)出權(quán)重各不相同；關(guān)聯(lián)DEA方法則認(rèn)為系統(tǒng)中相同的投入/產(chǎn)出應(yīng)該賦予相同的權(quán)重。此外，段永瑞等［16］基于規(guī)模收益、組內(nèi)合作與組間合作假設(shè)，提出了三種并行系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)的DEA模型。楊鋒等［17］在研究并行系統(tǒng)前沿生產(chǎn)能力的基礎(chǔ)上，提出了并行系統(tǒng)的乘數(shù)和包絡(luò)模型，此后，又進(jìn)一步研究了子單元之間存在中間要素的情形［1］。葛虹等［18］則討論了現(xiàn)有主要并行DEA模型及選擇應(yīng)用問(wèn)題。畢功兵等［19］在并行系統(tǒng)中引入了環(huán)境變量，并提出了相應(yīng)模型。趙萌［20］在并行系統(tǒng)中引入了時(shí)間因素，構(gòu)建了動(dòng)態(tài)并行DEA模型，研究了中國(guó)制造業(yè)的生產(chǎn)效率問(wèn)題。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，部分研究探討了并行系統(tǒng)的共享投入要素問(wèn)題。Beasley［2］在研究教學(xué)與科研效率時(shí)引入了共享的經(jīng)費(fèi)要素，并假設(shè)一種共享要素在整個(gè)系統(tǒng)中具有同樣的權(quán)重，提出了一種非線性的評(píng)價(jià)模型；而Cook［3，8］和Jahanshahloo等［11-12］則假定共享投入在不同部門(mén)中具有不同的權(quán)重。陳凱華等［21］基于多部門(mén)DEA方法，在固定和可變規(guī)模收益下分別研究了共享投入并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)與分解問(wèn)題。這些研究主要是在現(xiàn)有并行系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)的DEA模型中，引入共享投入，并在不同假設(shè)下研究了效率評(píng)價(jià)與資源分配的問(wèn)題。但現(xiàn)有研究，并未考慮系統(tǒng)各子單元之間的相互關(guān)系，無(wú)法揭示出對(duì)系統(tǒng)效率具有主導(dǎo)作用的關(guān)鍵部門(mén)和關(guān)鍵要素，因而難以合理評(píng)價(jià)并行系統(tǒng)的效率，也難以為系統(tǒng)效率改善和資源配置提供科學(xué)的決策依據(jù)。

并行系統(tǒng)中不同部門(mén)的作用差異和相互關(guān)系導(dǎo)致其效率評(píng)價(jià)問(wèn)題變得更加復(fù)雜，而共享資源的配置則進(jìn)一步加劇了問(wèn)題的復(fù)雜性。為有效解決這種并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)問(wèn)題，本文基于非合作主從博弈思想，提出一種兩部門(mén)共享投入的并行系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)方法，其能在有效處理部門(mén)之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，合理評(píng)價(jià)部門(mén)及系統(tǒng)的效率，并實(shí)現(xiàn)資源的有效配置。最后，采用一個(gè)銀行實(shí)例分析說(shuō)明了所提方法的合理性和有效性。

2 并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)問(wèn)題

為了便于問(wèn)題描述，假定存在n個(gè)相互獨(dú)立的并行系統(tǒng)，又稱為決策單元（Decision Making U-nits，DMU），系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 并行系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)

圖1中，一個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)平行的子系統(tǒng)A和B組成；XA和YA分別是子系統(tǒng)A的投入向量和產(chǎn)出向量，XB和YB分別是子系統(tǒng)B的投入向量和產(chǎn)出向量；XS是子系統(tǒng)A和B共享的投入向量。需要說(shuō)明的是，子系統(tǒng)A、B的投入向量和產(chǎn)出向量中可能既包含同種類型的投入/產(chǎn)出要素，又包含獨(dú)有的投入/產(chǎn)出要素。

為了分析此類并行系統(tǒng)的效率，作出如下假設(shè)：（1）子系統(tǒng)A和B之間存在非合作主從博弈關(guān)系，即某個(gè)子系統(tǒng)在整個(gè)系統(tǒng)中居于主導(dǎo)地位；（2）共享投入是兩個(gè)子系統(tǒng)共同使用的資源，但在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中無(wú)法明顯區(qū)分各子系統(tǒng)的使用量；（3）同種投入/產(chǎn)出要素具有相同的權(quán)重。為了構(gòu)建系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)模型，進(jìn)一步假設(shè)子系統(tǒng)A使用共享投入XS的份額向量為αT，則子系統(tǒng)B使用共享投入XS的份額向量為（1-α）T。

根據(jù)各子系統(tǒng)的投入/產(chǎn)出指標(biāo)，可直接定義各子系統(tǒng)的效率。子系統(tǒng)A和B的效率定義為：

對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)和整個(gè)系統(tǒng)而言，均可建立相應(yīng)的效率評(píng)價(jià)模型，但這種模型構(gòu)建方式無(wú)法體現(xiàn)子系統(tǒng)之間及子系統(tǒng)與整個(gè)系統(tǒng)之間的效率關(guān)系。為此，定義并行系統(tǒng)的效率為各子系統(tǒng)效率的加權(quán)和［1，17］，則并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)模型為：

模型（3）中，πA和πB分別是子系統(tǒng)A和B的權(quán)重；ε是一個(gè)任意小的正數(shù)向量，不妨設(shè)其元素皆為0.000001。由于共享投入指標(biāo)在整個(gè)系統(tǒng)中的權(quán)重應(yīng)保持一致，即vTA=vTB，則設(shè)vT=vTA=vTB。子系統(tǒng)權(quán)重可據(jù)其資源消耗情況進(jìn)行度量［1，22］，即：

在實(shí)際使用中共享資源的分配應(yīng)有一定的限制條件［3］，不失一般性，這里假設(shè)≤≤；其中和分別為共享資源分配比例向量的下限和上限向量。另外，根據(jù)式（4），模型（3）中的約束條件πA+πB=1成為冗余約束?；谏鲜黾僭O(shè)和分析，模型（3）可變換為下列規(guī)劃模型：

模型（5）實(shí)際上是子系統(tǒng)A和B聯(lián)合決策的情形，通過(guò)求解模型（5）雖然可得到子系統(tǒng)和整個(gè)系統(tǒng)的效率，并能確定共享資源的分配比例，但其不能體現(xiàn)各子系統(tǒng)在整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)中的具體作用。為此，必須尋求新的效率評(píng)價(jià)方法。

3 基于主從博弈的并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)

在實(shí)際問(wèn)題中，并行系統(tǒng)的子系統(tǒng)并不一定能完全實(shí)現(xiàn)聯(lián)合決策，往往存在某子系統(tǒng)占優(yōu)的情況，在這種情形下，系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)必須考慮子系統(tǒng)的作用與地位?；诜呛献鞑┺牡乃枷?，假設(shè)圖1中某個(gè)子系統(tǒng)處于主導(dǎo)地位，而另一個(gè)子系統(tǒng)居于從屬地位，則整個(gè)系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)可視為兩階段非合作主從博弈的效率評(píng)價(jià)問(wèn)題［22］。在構(gòu)建效率評(píng)價(jià)模型時(shí)，首先考慮居于主導(dǎo)地位的某個(gè)子系統(tǒng)i（i=A或B），求解該子系統(tǒng)的效率值，然后將其作為約束條件引入整個(gè)系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)模型中，通過(guò)求解該模型可得另一子系統(tǒng)的效率值，以及各共享投入資源在不同子系統(tǒng)之間的分配比例。

為構(gòu)建具體的效率評(píng)價(jià)模型，首先假設(shè)i=A，即子系統(tǒng)A居于主導(dǎo)地位，則其效率評(píng)價(jià)模型為：T

求解模型（7）即可得到子系統(tǒng)A的效率值。由于A在整個(gè)系統(tǒng)中居于主導(dǎo)地位，故首先確定子系統(tǒng)A的效率值，其次在評(píng)價(jià)整個(gè)系統(tǒng)效率時(shí)，保持子系統(tǒng)A的效率值不變。設(shè)ep*A為子系統(tǒng)A的最優(yōu)效率值，將其作為約束條件引入到并行系統(tǒng)效率評(píng)價(jià)模型中，則模型（5）可轉(zhuǎn)化為下列規(guī)劃模型：

與模型（6）類似，設(shè)ρTj=vTαTj，模型（8）可轉(zhuǎn)化為下列線性規(guī)劃：

由模型（9）可知，通過(guò)求解該模型可得并行系統(tǒng)的效率值，以及各投入/產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)重；依據(jù)這些指標(biāo)的權(quán)重值可直接得到子系統(tǒng)B的效率值，以及各共享投入在A與B兩個(gè)子系統(tǒng)中的分配比例。

若i=B（子系統(tǒng)B居于主導(dǎo)地位），此時(shí)的效率評(píng)價(jià)思想和評(píng)價(jià)過(guò)程與i=A時(shí)類似，這里不再詳述。

4 實(shí)例分析

為分析說(shuō)明本文所提方法的合理性和有效性，本節(jié)采用Cook等［3］中的加拿大某商業(yè)銀行20家支行的實(shí)例進(jìn)行詳細(xì)分析。各支行可視為一個(gè)由銷(xiāo)售與服務(wù)兩部門(mén)組成的并行系統(tǒng)，兩部門(mén)有各自的投入/產(chǎn)出指標(biāo)，以及部分共享的投入指標(biāo)，具體指標(biāo)見(jiàn)表1。

表1中，F(xiàn)SU和FST是兩部門(mén)共享的投入資源，且這兩種資源在生產(chǎn)過(guò)程中難以區(qū)分其在不同部門(mén)之間的使用量，各指標(biāo)的具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 某銀行20家支行相關(guān)指標(biāo)的具體數(shù)據(jù)

表1 某銀行20家支行的投入/產(chǎn)出指標(biāo)a

由于商業(yè)銀行所有的業(yè)務(wù)收入主要來(lái)源其金融業(yè)務(wù)產(chǎn)品銷(xiāo)售（即開(kāi)戶、資產(chǎn)抵押、擔(dān)保和非擔(dān)保貸款等），可認(rèn)為銷(xiāo)售部門(mén)在所有支行系統(tǒng)中居于主導(dǎo)地位，而服務(wù)部門(mén)居于從屬地位。為了有效確定共享投入在不同部門(mén)之間的分配比例，必須設(shè)定其有效變化范圍，設(shè)0.25≤αTj≤0.75［3］，即αTj中的每個(gè)元素都在［0.25，0.75］之間變化。為求解各支行及其銷(xiāo)售、服務(wù)部門(mén)的效率，并實(shí)現(xiàn)共享投入的有效分配，基于本文所提出的方法，首先求解銷(xiāo)售部門(mén)的效率，其次根據(jù)并行系統(tǒng)整體效率評(píng)價(jià)模型求解各支行及服務(wù)部門(mén)的效率，同時(shí)確定共享投入的分配比例。各支行與其下屬部門(mén)的效率值，以及共享投入的分配比例值如表3所示。

表3 某銀行20家支行及部門(mén)的效率值

表3中，α1和α2分別表示在支行中銷(xiāo)售部門(mén)所分配的共享投入FSU和FST的比例值。由表3的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以看出：（1）支行系統(tǒng)有效，當(dāng)且僅當(dāng)其下屬兩個(gè)部門(mén)都有效，例如支行5-7，12-15，17和19；反之，當(dāng)支行下屬某部門(mén)有效時(shí)，整個(gè)支行未必有效，例如支行10和11，其銷(xiāo)售部門(mén)有效，但其服務(wù)部門(mén)無(wú)效，則整個(gè)支行是DEA無(wú)效的；這些結(jié)果說(shuō)明，若要提高支行的運(yùn)作效率，必須制定合適的策略和措施，同時(shí)提高銷(xiāo)售部門(mén)與服務(wù)部門(mén)的運(yùn)作效率，才能真正實(shí)現(xiàn)整個(gè)支行的效率優(yōu)化；（2）銷(xiāo)售部門(mén)居于主導(dǎo)地位，其平均效率值（0.8582）大于服務(wù)部門(mén)的平均效率值（0.6626）；（3）通過(guò)求解支行系統(tǒng)的效率值，可以有效得到共享投入在不同部門(mén)之間的分配比例。

值得一提的是，實(shí)例分析中可考慮各部門(mén)權(quán)重變化對(duì)部門(mén)及支行系統(tǒng)效率值的影響，具體方法是將部門(mén)權(quán)重作為約束條件引入并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)模型即可，這里也不再贅述。

基于上述分析可知，文中所提方法不僅能有效區(qū)別并行系統(tǒng)內(nèi)部各部門(mén)的作用與地位，而且有效實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)及部門(mén)之間的效率評(píng)價(jià)和共享投入資源的分配。

5 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際并行生產(chǎn)系統(tǒng)中，其下屬部門(mén)往往共享部分投入資源，且某個(gè)部門(mén)在整個(gè)系統(tǒng)中居于主導(dǎo)地位，為有效解決這一類系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)問(wèn)題，本文提出了一種具有兩部門(mén)并行系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)的DEA方法。首先，假定某個(gè)部門(mén)居于主導(dǎo)地位，則優(yōu)先評(píng)價(jià)該部門(mén)的效率；然后，將該部門(mén)效率作為約束條件引入整個(gè)系統(tǒng)的效率評(píng)價(jià)模型中，通過(guò)求解該模型即可得到另一個(gè)部門(mén)的效率及整個(gè)系統(tǒng)的效率值，并同時(shí)能得到共享投入資源在不同部門(mén)之間的分配比例。銀行的實(shí)例分析說(shuō)明本文所提方法的合理性和有效性。文中所提方法能夠在區(qū)別決策單元內(nèi)部并行子單元的作用與地位情況下，有效實(shí)現(xiàn)決策單元、內(nèi)部子單元的效率評(píng)價(jià)及共享資源的分配。

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Efficiency Evaluation of Parallel Systems with Two Components Based on Stackelberg Game Theory

XU Hao1，SUN Yan-hong2，BIAN Yi-wen3
（1.School of Business，Anhui University，Hefei 230039，China；2.School of Management，University of Science&Technology of China，Hefei 230026，China；3.Sydney Institute of Language&Commerce，Shanghai University，Shanghai 201800，China）

There exists a typical kind of efficiency evaluation problem for parallel systems，which has the following characteristics.Firstly，decision making unit（DMU）has two parallel components.Secondly，in any DMU，a component is in a dominant position，and another component living in a subordinate position. Lastly，some input resources are shared between two components and cannot be proportionally differentiated with each other.To address this kind of efficiency evaluation problem，a DEA approach is proposed to determine the efficiency of the overall system and internal components by analyzing the overall efficiency of the DMU and individual efficiency of each component，based on Stackelberg game theory.The proposed approach can not only evaluate the efficiencies of the whole system and its components，but also provide the allocation mechanism of the shared resources.A case of bank branches is presented to demonstrate the rationality and validity of the proposed approach.

Data Envelopment Analysis（DEA）；Stackelberg game；parallel system；shared input

C931

：A

1003-207（2014）05-0115-06

2012-10-15；

2013-12-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71371010，71101135，71101085）；上海市教委科研創(chuàng)新重點(diǎn)資助項(xiàng)目（12ZS099）

許皓（1964-），男（漢族），江蘇江陰人，安徽大學(xué)商學(xué)院，教授，博士，研究方向：管理科學(xué).