徐 蘭

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

設(shè)(X，d)是緊度量空間，f：X→X是X上的連續(xù)變換，φ：X→R是X上的連續(xù)函數(shù)(有時(shí)也稱φ為勢(shì)函數(shù))，考慮空間X的重分形分解

式中：Kα為水平集；為Birkhoff平均不存在的點(diǎn)組成的集合.稱集合Lφ={α∈R|Kα≠φ}為φ的重分形譜.

對(duì)水平集Kα的研究是動(dòng)力系統(tǒng)的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，比如通過(guò)水平集Kφ的拓?fù)潇豩top(f，Kα)[1]來(lái)刻畫集合Kα的“尺寸”等.記εφ(α)=htop(f，Kα)，稱εφ(α)為函數(shù)φ的重分形熵譜，關(guān)于εφ(α)的一些性質(zhì)，比如光滑性、凸性、與動(dòng)力系統(tǒng)其他動(dòng)力學(xué)特征的關(guān)聯(lián)性等，目前已有很多研究成果[1-4].

2003年Takens和Verbitski證明了如果f具有specification性質(zhì)，且滿足熵映射μ→hμ(f)上半連續(xù)，則當(dāng)α是集合Lφ的內(nèi)點(diǎn)時(shí)，εφ(α)是(拓?fù)?壓函數(shù)Pφ(q)=P(qφ)的勒讓德變換，其中P(·)是拓?fù)鋲?當(dāng)α是Lφ的邊界點(diǎn)時(shí)，此形式的勒讓德變換是εφ(α)的一個(gè)上界[5].

本文主要工作是將Takens和Verbitski的結(jié)論從Lφ內(nèi)部推廣至整個(gè)Lφ，證明了當(dāng)α是Lφ的邊界點(diǎn)時(shí)，壓函數(shù)Pφ(q)=P(qφ)的勒讓德變換同時(shí)也是εφ(α)的一個(gè)下界，從而在Lφ的邊界上，進(jìn)而在整個(gè)Lφ上，εφ(α)仍然是壓函數(shù)Pφ(q)=P(qφ)的勒讓德變換.

1 連續(xù)函數(shù)的重分形熵譜

以下總假設(shè)f有有限的拓?fù)潇?先介紹一些定義和現(xiàn)有結(jié)果.

1.1 specification 性質(zhì)和重分形譜

記M(X)是X上所有Borel概率測(cè)度的集合，M(X，f)是X上所有f-不變的Borel概率測(cè)度的集合.

定義1設(shè)f：X→X是連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)任意ε＞0，存在整數(shù)m=m(ε)，使得對(duì)任意滿足dist(Ii，Ij)≥m(ε)(i≠j)的有限區(qū)間Ij= [aj,bj]?N(j= 1,2,… ,k)和任意x1，x2，…，xkX，存在xX，使得對(duì)任意p=0，…，bj-aj和任意j=1，…，k，總有d(fp+aj(x),fpxj)＜ε成立，則稱f具有specification性質(zhì)[5].

定理1設(shè)f：X→X連續(xù)且滿足specification性質(zhì)，φ是X上的連續(xù)函數(shù)，則φ的重分形譜Lφ是一個(gè)非空有界區(qū)間，即Lφ=[a，b]，其中：a= inf { ∫φdμ|μ∈M(X,f)}；b= sup { ∫φdμ|μ∈M(X,f)}[5-6].

1.2 對(duì)重分形熵譜εφ(α)的估計(jì)

對(duì)熵譜εφ(α)有類似于熵的變分原理[7]的結(jié)論.

定理2設(shè)f：X→X連續(xù)且滿足specification性質(zhì)，φ是X上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意αLφ，總有εφ(α)=Hφ(α)，其中Hφ(α)= sup {hμ(f)|μ∈M(X,f)且 ∫φdμ=α}[5].

下面介紹熵譜εφ(α)與壓函數(shù)Pφ(q)的勒讓德變換之間的關(guān)系.

設(shè)φ：X→R是連續(xù)函數(shù)，P(φ)是φ的拓?fù)鋲?，根?jù)經(jīng)典變分原理[7]有

因?yàn)閒有有限的拓?fù)潇?，所以由?1)可知對(duì)任意X上的連續(xù)函數(shù)φ，P(φ)＜+∞.

定理3設(shè)f：X→X連續(xù)且滿足specification性質(zhì)，φ是X上的連續(xù)函數(shù)，則有

1)對(duì)任意αLφ有Hφ(α)≤(α)；

2)如果熵映射μ→hμ(f)是上半連續(xù)的，則對(duì)任意αintLφ(Lφ的內(nèi)部)，有

定理4設(shè)f：X→X連續(xù)且滿足specification性質(zhì)，φ是X上的連續(xù)函數(shù)，如果熵映射μ→hμ(f)是上半連續(xù)的，則對(duì)任意αintLφ，有

2 主要定理

本文主要工作是在Lφ的邊界點(diǎn)上，即α=a，b時(shí)，證明仍然成立.先給出一些引理.

引理1

證明由式(1)可知

引理2當(dāng)αLφ時(shí)，有0≤(α)＜+∞.

證明當(dāng)αLφ時(shí)，顯然(α)＜+∞，只需證明(α)≥0.

從而

所以當(dāng)αLφ時(shí)，Pφ*(α)≥0.

引理3P[q(φ-a)]，P[q(φ-b)]分別是關(guān)于q的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)，從而

證明只證P[q(φ-a)]關(guān)于q單調(diào)遞增，P[q(φ-b)]的遞減性可類似證明.

對(duì)任意q1，q2R，q1＜q2，

因?yàn)閍=inf { ∫φdμ|μ∈M(X,f)}，所以對(duì)任意μM(X，f)，總有 ∫ (φ?a)dμ≥0，從而(q1?q2)∫(φ?a)dμ≤0，所以P[q1(φ?a)]≤ s up {hμ(f)+ ∫q2(φ?a)dμ|μ∈M(X,f)} =P[q2(φ?a)]，這說(shuō) 明P[q(φ-a)]關(guān)于q單調(diào)遞增.

本文的主要結(jié)果是定理5和定理6.

定理5設(shè)f：X→X是滿足specification性質(zhì)的連續(xù)變換，φ：X→R連續(xù)，如果熵映射μ→hμ(f)是上半連續(xù)的，則有Hφ(a)=(a)，Hφ(b)=(b).

證明根據(jù)定理3，只需證明Hφ(a)≥(a)，Hφ(b)≥(b).

對(duì)任意q＜0，設(shè)μαM(X，f)是q(φ-a)的一個(gè)平衡態(tài)(因?yàn)殪赜成涞纳习脒B續(xù)性可以保證任意連續(xù)勢(shì)函數(shù)都至少有一個(gè)平衡態(tài))，也即

一方面，因?yàn)閝＜0，且對(duì)任意μM(X，f)有 ∫(φ?a)dμ≥0，所以P[q(φ?a)]≤hμq(f).設(shè)μ0M(X，f)是{μq} (q→ ?∞)的極限點(diǎn)，不妨假設(shè)μq=μ0(否則只需以qk(qk→ ?∞ )替代q即可)，由熵映射的上半連續(xù)性可知

綜上所述，存在μ0M(X，f)滿足 ∫φdμ0=a，且有hμ0(f)≥Pφ*(a)，所以Hφ(a)≥(a).同理可證H(b)≥(b).

φ

定理6設(shè)f：X→X連續(xù)且滿足specification性質(zhì)，φ是X上的連續(xù)函數(shù)，如果熵映射μ→hμ(f)是上半連續(xù)的，則對(duì)任意αLφ有εφ(α)=(α).

證明由定理3和定理5即得.

3 結(jié)論

文中主要討論了當(dāng)α是重分形譜Lφ的邊界點(diǎn)時(shí)，壓函數(shù)Pφ(q)=P(qφ)的勒讓德變換不僅是εφ(α)的一個(gè)上界[5]，同時(shí)也是εφ(α)的一個(gè)下界，從而在Lφ的邊界上，進(jìn)而在整個(gè)Lφ上，以(α)的形式給出了熵譜εφ(α)的精確估計(jì)。

[1]Pesin Y B.Dimension Theory in Dynamical Systems： Contemporary Views and Applications[M].Chicago：University of Chicago Press，1997.

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[3]Takens F，Verbitski E.Multifractal analysis of local entropies for expansive homeomorphisms with specification[J].Commun.Math.Phys.，1999，203(3)：593-612.

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[5]Takens F，Verbitskiy E.On the variational principle for the topological entropy of certain non-compact sets[J].Ergodic Theory and Dynamical Systems，2003，23(1)：317-348.

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[7]Walters P. An Introduction to Ergodic Theory[M].New York：Springer，1982.